【数学】四川省宜宾市第四中学校2020届高三第一次高考适应性考试试题（理）

【数学】四川省宜宾市第四中学校2020届高三第一次高考适应性考试试题（理）

四川省宜宾市第四中学校2020届高三第一次高考适应性考试数学试题（理）‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合A为自然数集N，集合B＝{x|x2＜3，x∈N}，则 （ ）‎ A．A∩B＝{1} B．A∩B＝{0，1} C．A∪B＝B D．A∪B＝A ‎2．已知复数z满足（3i﹣4）z＝1﹣2i（i是虚数单位），则其共轭复数在复平面位于 （ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知平面向量＝（1，2），＝（﹣2，m），且，则||＝ （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半 马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了 别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人 说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？‎ 在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿 （ ）‎ A．斗粟 B．斗粟 C．斗粟 D．斗粟 ‎5．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工 为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），其部分图象如图所示，则f（x）‎ 的解析式为 （ ）‎ A．f（x）＝3sin（x+） B．f（x）＝3sin（x﹣） ‎ C．f（x）＝3sin（x+） D．f（x）＝3sin（x﹣）‎ ‎7．某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2‎ 人负责拖地，则不同的分工共有 （ ）‎ A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 ‎8．已知函数y＝f（x），若对其定义域内任意x1和x2均有，则 称函数f（x）为“凸函数”；若均有，则称f（x）函数为“凹函数”．下 列函数中是“凹函数”的是 （ ）‎ A． B． C．y＝log2x D．‎ ‎9．设，若f（x）在上为增函数，则ω的取值范围是 （ ）‎ A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，]‎ ‎10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 （ ）‎ A．4π B．6π ‎ C．8π D．2π 11． 若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的 弦长为2，则C的离心率为 （ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎12.已知函数y＝f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y＝x对称，记 g（x）＝f（x）[f（x）+f（2）﹣1]，若y＝g（x）在区间[，2]上是增函数，则实数a的取值范围是 （ ）‎ A．[2，+∞） B．（0，1）∪（1，2） ‎ C．[，1） D．（0，]‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若x，y满足约束条件则z＝x﹣2y的最大值为　 　．‎ ‎14．（x+y）（2x﹣y）5的展开式中x3y3的系数为　 　．（用数字填写答案）‎ ‎15．过抛物线y2＝8x的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，正三角形ABC的顶点C在 直线x＝﹣2上，则△ABC的边长是　 　‎ ‎16．若函数f（x）＝的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m的 最大值是　 　．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设，且＝2acosA．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若b＝4，c＝5，D在BC上，AD是∠BAC的角平分线，求|AD|．‎ ‎18．（12分）某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200‎ 元/次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠，标准如下：‎ 体检次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次及以上 收费比例 ‎1‎ ‎0.95‎ ‎0.90‎ ‎0.85‎ ‎0.8‎ 该休检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如表：‎ 检次数 一次 两次 三次 四次 五次及以上 频数 ‎60‎ ‎20‎ ‎12‎ ‎4‎ ‎4‎ 假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）已知某顾客在此体检中心参加了3次体检，求这3次体检，该体检中心的平均利润；‎ ‎（Ⅱ）该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中抽取2人，每人发放现金200元．用5表示体检3次的会员所得现金和，求ξ的分布列及E（ξ）．‎ ‎19．（12分）如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，且AB＝AE＝2，将△ABE沿BE折起 到△A'BE，使得A'C＝A'D．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面A'BE⊥平面BCDE；‎ ‎（Ⅱ）若ED＝3，求平面A'BE与平面A'CD所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0）为椭圆E：的右焦点，过F的直线与椭圆E交于A、B两点，线段AB的中点为P（）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线OM、ON斜率的乘积为，两直线OM，ON分别与椭圆E交于C、M、D、N四点，求四边形CDMN的面积．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）＝sinx﹣aln（x+b），g（x）是f（x）的导函数．‎ ‎（Ⅰ）若a＞0，当b＝1时，函数g（x）在有唯一的极大值，求a的取值范围．‎ ‎（Ⅱ）若a＝1，，试研究f（x）的零点个数．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知直线l的参数方程为（其中t为参数），以原点O为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．‎ ‎（Ⅰ）若点P（x，y）在直线l上，且＝3，求直线l的斜率；‎ ‎（Ⅱ）若a＝，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．‎ ‎（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；‎ ‎（Ⅱ）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围． ‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎1-5:BCCDB 6-10:DBBDC 11-12:AD ‎13．﹣3． 14．40． 15．24． 16．e2+1．‎ ‎17解：（1）由题意可得bcosC+ccosB＝2acosA，‎ 由正弦定理可得；sinBcosC+sinCcosB＝2sinAcosA，即sin（B+C）＝2sinAcosA，‎ 在三角形中可得cosA＝，所以A＝，‎ ‎（2）在三角形ABC中，由（1）得由余弦定理可得BC＝＝＝，cosC＝＝＝，‎ 由角平分线性质可得＝，所以＝，BD+CD＝，所以CD＝，‎ 在三角形ADC中，由余弦定理可得AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD•cosC ‎＝16+﹣2××＝，解得|AD|＝．‎ ‎18．解：（1）医院3次体检的收入为200×（1+0.95+0.9）＝570，‎ 三次体验的成本为150×3＝450，‎ 故平均利润为（570﹣450）÷3＝40元；‎ ‎（2）根据题意抽取的5个人中3人体检三次，1人体检四次，1人体验5次及以上，‎ ξ＝0，200，400，P（ξ＝0）＝，P（ξ＝200）＝．P（ξ＝400）＝分布列如下：‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 200‎ ‎ 400‎ ‎ P ‎ 0.1‎ ‎ 0.6‎ ‎0.3‎ E（ξ）＝0+200×0.6+400×0.3＝120+120＝240．‎ ‎19．（1）证明：取BE，CD的中点M，N，则A'M⊥BE，A'N⊥CD，‎ 注意到MN∥BC，从而MN⊥CD，因此CD⊥平面A'MN，故CD⊥A'M，‎ 注意到BE与CD为梯形的两腰，必相变，故A'M⊥平面BCDE，又A'M⊂平面A'BE，‎ 因此平面A'BE⊥平面BCDE．‎ ‎（2）解：∵ED＝3，∴BC＝AD＝AE+ED＝2+3＝5，‎ 以M为坐标原点，MF，MN，MA'所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则各点坐标为，N（0，4，0），C（1，4，0），B（1，﹣1，0），‎ ‎，，平面A'BE的法向量为，‎ 设平面A'CD的法向量为，则，即，取y＝1，得，因此，‎ 即两平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎20．解：（1）由题意可知，c＝1，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，，‎ 又∵点A，B在椭圆上，∴，两式相减得：，‎ ‎∴，即直线AB的斜率为：﹣，‎ 又∵直线AB过右焦点F（1，0），过点P（），∴直线AB的斜率为：＝﹣1，‎ ‎∴﹣＝﹣1，∴a2＝2b2，又∵a2＝b2+c2，c＝1，∴a2＝2，b2＝1，‎ ‎∴椭圆E的方程为：；‎ ‎（2）设点M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 由题意可知，＝﹣，即x1x2+2y1y2＝0，①当直线MN的斜率不存在时，显然x1＝x2，y1＝﹣y2，‎ ‎∴，又，∴，，‎ ‎∴四边形CDMN的面积S＝4|x1||y1|＝2，‎ ‎②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为：y＝kx+m，‎ 联立方程，消去y得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，‎ ‎∴，，‎ ‎∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝＝，‎ ‎∵x1x2+2y1y2＝0，∴＝0，‎ 整理得：1+2k2＝2m2，‎ 由弦长公式得：|MN|＝＝＝，原点（0，0）到直线MN的距离d＝，‎ ‎∴S△MON＝＝××＝，‎ 由椭圆的对称性可知：四边形CDMN的面积为4S△MON＝2，综上所述，四边形CDMN的面积为2．‎ ‎21．解：（1）当b＝1时，，‎ 则在上是减函数，‎ 且，‎ ‎①当时，g′（x）≥0恒成立，g（x）在上是增函数，无极值；‎ ‎②当时，存在使得g′（x0）＝0，且x∈（0，x0），g′（x）＞0，g（x）单增，单减，‎ 故x0为g（x）唯一极大值点，符合题意；‎ 综上，实数a的取值范围为；‎ ‎（2）依题意，f（x）＝sinx﹣ln（x+b），x∈（﹣b，+∞），，可知，‎ ‎（i）x∈（π，+∞）时，f（x）＜0，无零点；故只需研究x∈（﹣b，π），，‎ ‎（ii）时，＜0，可知此时f（x）单减，‎ 又，‎ 故存在唯一的，使得f（s）＝0；‎ ‎（iii）当时，是减函数，‎ 且，‎ 则存在，则f′（x）在（﹣b，x1）是增函数，在是减函数，并且，‎ 故存在x2∈（﹣b，0），f′（x2）＝0，存在，且f（x）在（﹣b，x2）是减函数，在（x2，x3）是增函数，在是减函数，‎ 又因为，故存在m∈（﹣b，0），‎ 使得f（m）＝0，存在，使得f（n）＝0；综上所述，f（x）有3个零点．‎ ‎22．解：（Ⅰ）设点P（1+1cosa，﹣1+1sina），‎ 则，整理可得2sinα＝﹣cosα，即，‎ ‎∴直线l的斜率为．‎ ‎（Ⅱ）曲线C的方程可化为ρ2＝2ρsinθ，‎ 化成普通方程可得x2+y2＝2y，即x2+（y﹣1）2＝1，曲线C表示圆心为C（0，1），‎ 半径为1的圆，‎ 直线l的参数方程化成普通方程可得x﹣y﹣2＝0，‎ 圆心C到直线l的距离为，‎ 则曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．‎ ‎23．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），‎ ‎∵f（x）＜0，∴当x＜1时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2＜0，恒成立，∴x＜1；‎ 当x≥1时，f（x）＝（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0恒成立，∴x∈∅；‎ 综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；‎ ‎（2）当a≥1时，f（x）＝2（a﹣x）（x﹣1）＜0在x∈（﹣∞，1）上恒成立；‎ 当a＜1时，x∈（a，1），f（x）＝2（x﹣a）＞0，不满足题意，‎ ‎∴a的取值范围为：[1，+∞）‎