数学卷·2019届天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等六校高二上学期期中联考（2017-11）

数学卷·2019届天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等六校高二上学期期中联考（2017-11）

‎2017～2018学年度第一学期期中联考 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上。‎ ‎2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。其他答案，写在答题卡上，不能答在试卷上。‎ 一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎（1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是（ ）.‎ ‎（A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）不确定 ‎（2）在梯形中，，，.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）.‎ ‎（A） 错误！未找到引用源。 （B）错误！未找到引用源。 （C） （D） ‎ ‎（3）已知平面a，b，直线l，m，且有l⊥a，mÌb，则下列四个命题正确的个数为（ ）．‎ ‎①若a∥b，则l⊥m； ②若l∥m，则l∥b；‎ ‎③若a⊥b，则l∥m； ④若l⊥m，则l⊥b；‎ ‎（A）1 （B）2 ‎ ‎（C）3 （D）4‎ ‎（4）已知点(‎4a，2b)(a>0，b>0)在圆C：x2＋y2＝4和圆M：(x－2)2＋(y－2)2＝4的公共弦上，则的最小值为（ ）.‎ ‎（A）1 （B）2 ‎ ‎（C）4 （D）8‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．‎ ‎ ‎ ‎[]‎ A A1‎ ‎（6）如图，直三棱柱ABC-A1B‎1C1，，且CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为（ ）．‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（7）设点P是函数的图象上的任意一点，点Q(‎2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最大值为（ ）.‎ ‎（A）＋2 （B）＋2 （C） （D）‎ ‎（8）已知圆x2+y2+x–6y+3=0上的两点P，Q关于直线kx–y+4=0对称，且OP⊥OQ（O为坐标原点），则直线PQ的方程为（ ）．‎ ‎（A）y= –x+ （B）y= –x+或y= –x+ ‎（C）y= –x+ （D）y= –x+或y= –x+‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡上）‎ z A1‎ B1‎ C1‎ A B C y x ‎（9）如图，直三棱柱ABC-A1B‎1C1的所有棱长都是2，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点B1的坐标 是__________．[]‎ ‎（10）经过点M(–2，m)、N(m，4)的直线的斜率等于1，‎ 则m的值为__________．‎ 第13题图 正视图 侧视图 俯视图 ‎（11）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为__________．‎ ‎（12）一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l：x–y+1=0上 的P点，再从P点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行 的最短路程是__________．‎ ‎（13）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体 的体积为__________m3．‎ ‎（14）若圆C1：x2+y2+2ax+a2–4=0（a∈R）与圆C2：x2+y2–2by–1+b2=0（b∈ R）恰有三条公切线，则a+b的最大值为__________．‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 已知圆C：x2+y2+2x–2y–2=0和直线l：3x+4y+14=0．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及半径；‎ ‎（Ⅱ）求圆C上的点到直线l距离的最大值．‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ P A D C B F E 如图，四棱锥P―ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥平面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAB； ‎ ‎（Ⅱ）求证：BF∥平面PDE．‎ ‎[]‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ 已知点P(2，–1)．‎ ‎（Ⅰ）求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少?‎ ‎（18）（本小题满分13分）‎ E F B A C D 如图，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）若二面角的大小为120°，‎ 求直线与平面所成的角．‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 如图，三棱柱ABC-A1B‎1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE⊥平面A1BD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角D-BA1-A的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）求点B1到平面A1BD的距离．[]‎ ‎（20）（本小题满分14分）‎ 已知圆M：x2+(y–2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）当Q的坐标为（1，0）时，求切线QA，QB的方程；‎ ‎（Ⅱ）求四边形QAMB面积的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若|AB|=，求直线MQ的方程． ‎ 高二数学参考答案 一、选择题： ‎ 题 号 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ 答 案 B C A D A A C D 二、填空题：‎ ‎（9）（，1，2）； （10）1； （11）a3；‎ ‎（12）2； （13）6+； （14）3‎ 三、解答题：（其他正确解法请比照给分）‎ ‎（15）解：（Ⅰ）圆的方程化为(x+1)2+(y–1)2=4， ……………4分 ‎∴圆心C的坐标为(–1，1)，半径r=2． ……………6分 ‎（Ⅱ）圆心C到直线l的距离d==3， ……………10分 ‎∴圆C上的点到直线l距离的最大值为d+r=5． ……………13分 ‎（16）解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，‎ ‎∴△ABD为正三角形，‎ ‎∵E是AB的中点，DE⊥AB． ……………2分 ‎∵PA⊥面ABCD，DE Ì面ABCD，‎ ‎∴DE⊥AP， ……………3分 ‎∴DE⊥面PAB，‎ ‎∵DE Ì面PDE，‎ ‎∴面PDE⊥面PAB． ……………6分 ‎（Ⅱ）取PD的中点G，连结FG，GE， ……………7分 ‎∵F，G是中点，∴FG∥CD且， ……………9分 ‎∴FG与BE平行且相等，‎ ‎∴BF∥GE， ……………11分 ‎∵GEÌ面，‎ ‎∴BF∥面PDE． ……………13分 ‎（17）解：（Ⅰ）①当l的斜率k不存在时l的方程为x=2，符合题意． ……………2分 ‎②当l的斜率k存在时，设l：y+1=k(x–2)，即kx–y–2k–1=0，‎ 由点到直线的距离公式得=2，解得k=，……………7分 所以l：3x–4y–10=0．‎ 故所求l的方程为x=2或3x–4y–10=0． ……………8分 ‎（Ⅱ）数形结合可得，过点P且与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线．‎ 由l⊥OP，得klkOP= –1，所以kl= –=2． ……………10分 由直线方程的点斜式得直线l的方程为y+1=2(x–2)，即2x–y–5=0，‎ 即直线2x–y–5=0是过点P且与原点O距离最大的直线，最大距离为=． ……………13分 ‎（18）解: （I）∵四边形为矩形，∴，‎ 又∵，是平面内的两条相交直线，‎ ‎∴平面 ……………2分 ‎∵平面，∴ ……………3分 ‎（II）在上取一点，使，连，∵∥，∴∥‎ ‎∴四边形为平行四边形 ……………5分 ‎ ‎ ‎∴四边形为平行四边形 ……………6分 ‎∴∥，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴∥平面 ……………7分 ‎（III）∵，∴就是二面角的平面角 ‎∴ ， ……………8分 ‎∵‎ ‎∴ ……………9分 ‎∴在直角中， ……………10分 过作与的延长线垂直，是垂足，‎ ‎∴在直角中，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面平面 ‎∴平面，‎ ‎∴是直线与平面所成的角 ……………12分 在直角中，，‎ ‎∴ ……………13分 ‎（19）解：（Ⅰ）∵AB=BC=CA，D是AC的中点，∴BD⊥AC， ……………1分 ‎∵AA1⊥平面ABC，∴平面AA‎1C1C⊥平面ABC， ……………2分 ‎∴BD⊥平面AA‎1C1C，∴BD⊥AE． ……………3分 又∵在正方形AA‎1C1C中，D，E分别是AC，CC1的中点，‎ ‎∴A1D⊥AE．‎ ‎∴AE⊥平面A1BD． ……………5分 ‎（Ⅱ）连结AB1交A1B于O，设A1D交AE于F，连结OF．‎ 在正方形AA1B1B中，AB1⊥A1B，‎ 又由（Ⅰ）知AE⊥A1B，‎ ‎∴A1B⊥平面AFO，‎ ‎∴∠AOF即为二面角D-BA1-A的平面角． ……………8分 ‎∵三棱柱ABC-A1B‎1C1的所有棱长都是2，‎ ‎∴AO=，AF=，‎ ‎∴在Rt△AOF中，OF=．‎ ‎∴cos∠AOF==．‎ 即二面角D-BA1-A的余弦值为． ……………11分 ‎（Ⅲ）∵O为AB1的中点，‎ ‎∴点B1到平面A1BD的距离等于点A到平面A1BD的距离． …………12分 由（Ⅰ）知AF的长度即为所求． ……………13分 由（Ⅱ）知点B1到平面A1BD的距离等于． ……………14分 ‎（20）解：（Ⅰ）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1， ……………1分 则圆心M到切线的距离为1，‎ 所以=1，所以m= –或0． ……………3分 所以QA，QB的方程分别为3x+4y–3=0和x=1． ……………5分 ‎（Ⅱ）因为MA⊥AQ，‎ 所以S四边形MAQB=|MA|·|QA|=|QA|=‎ ‎=≥=，‎ 所以四边形QAMB面积的最小值为． ……………9分 ‎（Ⅲ）设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，‎ 所以|MP|==． ……………10分 在Rt△MBQ中，|MB|2=|MP||MQ|， ……………11分 即1=|MQ|，‎ 所以|MQ|=3．‎ 设Q(x，0)，则x2+22=9， ……………12分 所以x=±，‎ 所以Q(±，0)，‎ 所以MQ方程为2x+y–2=0或2x–y+2=0． ……………14分