2018届二轮复习第61讲　直线与圆课件（全国通用）

2018届二轮复习第61讲　直线与圆课件（全国通用）

第 1 讲　直线与圆 专题六　解析几何 栏目索引 高考 真题体验 1 热点 分类突破 2 高考 押题精练 3 1.(2016· 山东 ) 已知圆 M ： x 2 ＋ y 2 － 2 ay ＝ 0( a ＞ 0) 截直线 x ＋ y ＝ 0 所得线段的长度是 2 ， 则圆 M 与圆 N ： ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 的位置关系是 ( 　　 ) A. 内切 B . 相交 C. 外切 D. 相离 解析 √ 高考真题 体验 1 2 3 4 解析　 ∵ 圆 M ： x 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ a 2 ， ∴ 圆心坐标为 M (0 ， a ) ，半径 r 1 为 a ， ∴ M (0,2) ， r 1 ＝ 2. 又圆 N 的圆心坐标为 N (1,1) ，半径 r 2 ＝ 1 ， r 1 ＋ r 2 ＝ 3 ， r 1 － r 2 ＝ 1. ∴ r 1 － r 2 ＜ | MN | ＜ r 1 ＋ r 2 ， ∴ 两圆相交，故选 B. 1 2 3 4 2.(2016· 上海 ) 已知平行直线 l 1 ： 2 x ＋ y － 1 ＝ 0 ， l 2 ： 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ，则 l 1 与 l 2 的距离是 ________. 答案 1 2 3 4 1 2 3 4 解析答案 3.(2016· 浙江 ) 已知 a ∈ R ，方程 a 2 x 2 ＋ ( a ＋ 2) y 2 ＋ 4 x ＋ 8 y ＋ 5 a ＝ 0 表示圆，则圆心坐标是 ______________. 半径是 ________. 解析　 由已知方程表示圆，则 a 2 ＝ a ＋ 2 ， 解得 a ＝ 2 或 a ＝－ 1. 当 a ＝ 2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去 . 当 a ＝－ 1 时，原方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x ＋ 8 y － 5 ＝ 0 ， 化为标准方程为 ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y ＋ 4) 2 ＝ 25 ， 表示以 ( － 2 ，－ 4) 为圆心，半径为 5 的圆 . ( － 2 ，－ 4) 　 5 4.(2016· 课标全国乙 ) 设直线 y ＝ x ＋ 2 a 与圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 2 ay － 2 ＝ 0 相交于 A ， B 两点，若 | AB | ＝ 2 ， 则圆 C 的面积为 ________. 1 2 3 4 解析　 圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 2 ay － 2 ＝ 0 ，即 C ： x 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ a 2 ＋ 2 ， 4π 解析答案 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题 . 直线与圆的位置关系 ( 特别是弦长问题 ) ，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现 . 考情考向分 析 返回 热点一　直线的方程及应用 1. 两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l 1 ， l 2 的斜率 k 1 ， k 2 存在，则 l 1 ∥ l 2 ⇔ k 1 ＝ k 2 ， l 1 ⊥ l 2 ⇔ k 1 k 2 ＝－ 1. 若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在 . 2. 求直线方程 要注意几种直线方程的局限性 . 点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂直 . 而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线 . 热点分类突破 例 1 　 (1) 已知直线 l 1 ： ( k － 3) x ＋ (4 － k ) y ＋ 1 ＝ 0 与 l 2 ： 2( k － 3) x － 2 y ＋ 3 ＝ 0 平行，则 k 的值是 ( 　　 ) A.1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 解析 √ 解析　 两直线平行，则 A 1 B 2 － A 2 B 1 ＝ 0 且 A 1 C 2 － A 2 C 1 ≠ 0 ， 所以 有－ 2( k － 3) － 2( k － 3)(4 － k ) ＝ 0 ，解得 k ＝ 3 或 5 ， 且 满足条件 A 1 C 2 － A 2 C 1 ≠ 0 ，故正确答案为 C. (2) 过点 (5,2) 且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是 ( 　　 ) A.2 x ＋ y － 12 ＝ 0 B. x － 2 y － 1 ＝ 0 或 2 x － 5 y ＝ 0 C. x － 2 y － 1 ＝ 0 D.2 x ＋ y － 12 ＝ 0 或 2 x － 5 y ＝ 0 解析 思维升华 √ 解析　 若直线在坐标轴上的截距为 0 ，设直线方程为 y ＝ kx ，由直线过点 (5,2) ，可得 k ＝ ， 此时直线方程为 2 x － 5 y ＝ 0 ； 若 直线在坐标轴上的截距不为 0 ，根据题意设直线方程 为 ＋ ＝ 1 ， 由 直线过点 (5,2) ，可得 a ＝ 6 ，此时直线方程为 2 x ＋ y － 12 ＝ 0. 故选 D. (1) 求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况 ； ( 2) 对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究 . 思维 升华 跟踪演练 1 　 已知直线 l 1 ： ax ＋ 2 y ＋ 1 ＝ 0 与直线 l 2 ： (3 － a ) x － y ＋ a ＝ 0 ，若 l 1 ⊥ l 2 ，则 a 的值为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.6 D.1 或 2 解析 √ 解析　 由 l 1 ⊥ l 2 ，则 a (3 － a ) － 2 ＝ 0 ， 即 a ＝ 1 或 a ＝ 2 ，选 D. 热点二　圆的方程及应用 1. 圆的标准方程 当圆心为 ( a ， b ) ，半径为 r 时，其标准方程为 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ，特别地，当圆心在原点时，方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 . 2. 圆的一般方程 例 2 　 (1) 若圆 C 经过 (1,0) ， (3,0) 两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为 ( 　　 ) A.( x － 2) 2 ＋ ( y ±2) 2 ＝ 3 B.( x － 2) 2 ＋ ( y ± ) 2 ＝ 3 C.( x － 2) 2 ＋ ( y ±2) 2 ＝ 4 D.( x － 2) 2 ＋ ( y ± ) 2 ＝ 4 解析 √ 解析　 因为圆 C 经过 (1,0) ， (3,0) 两点，所以圆心在直线 x ＝ 2 上 ， 又 圆与 y 轴相切，所以半径 r ＝ 2 ，设圆心坐标为 (2 ， b ) ， 则 (2 － 1) 2 ＋ b 2 ＝ 4 ， b 2 ＝ 3 ， b ＝ ± ， 所以选 D. 思维升华 解析 (2) 过点 A ( a ， a ) 可作圆 x 2 ＋ y 2 － 2 ax ＋ a 2 ＋ 2 a － 3 ＝ 0 的两条切线，则实数 a 的取值范围为 ( 　　 ) A. a < － 3 或 a >1 B. a < C. － 3< a <1 或 a > D. a < － 3 或 1< a < 解析　 圆 x 2 ＋ y 2 － 2 ax ＋ a 2 ＋ 2 a － 3 ＝ 0 的圆心为 ( a, 0) ，且 a < ， 并且 ( a ， a ) 在圆外，即有 a 2 >3 － 2 a ，解得 a < － 3 或 1< a < ， 故选 D. √ 解决与圆有关的问题一般有两种方法： (1) 几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程 ； ( 2) 代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数 . 思维 升华 跟踪演练 2 　 (1)(2015· 课标全国 Ⅰ ) 一个圆经过 椭圆 ＋ ＝ 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ________________. 解析　 由题意知圆过 (4,0) ， (0,2) ， (0 ，－ 2) 三点， (4,0) ， (0 ，－ 2) 两点的垂直平分线方程为 y ＋ 1 ＝－ 2( x － 2) ， 解析答案 (2) 两条互相垂直的直线 2 x ＋ y ＋ 2 ＝ 0 和 ax ＋ 4 y － 2 ＝ 0 的交点为 P ，若圆 C 过点 P 和点 M ( － 3,2) ，且圆心在直线 y ＝ x 上，则圆 C 的标准方程为 _________ ___ ________. 解析　 由直线 2 x ＋ y ＋ 2 ＝ 0 和直线 ax ＋ 4 y － 2 ＝ 0 垂直得 2 a ＋ 4 ＝ 0 ， 故 a ＝－ 2 ，代入直线方程，联立解得交点坐标为 P ( － 1,0) ， 易 求得线段 MP 的垂直平分线的方程为 x － y ＋ 3 ＝ 0 ， 设 圆 C 的标准方程为 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ( r >0) ， 解析答案 解得圆心坐标为 ( － 6 ，－ 3) ， 从而得到 r 2 ＝ 34 ，所以圆 C 的标准方程为 ( x ＋ 6) 2 ＋ ( y ＋ 3) 2 ＝ 34. ( x ＋ 6) 2 ＋ ( y ＋ 3) 2 ＝ 34 热点三　直线与圆、圆与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法 . (1) 点线距离法：设圆心到直线的距离为 d ，圆的半径为 r ，则 d < r ⇔ 直线与圆相交， d ＝ r ⇔ 直线与圆相切， d > r ⇔ 直线与圆相离 . 2. 圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离 . (1) d > r 1 ＋ r 2 ⇔ 两圆外离； (2) d ＝ r 1 ＋ r 2 ⇔ 两圆外切； (3)| r 1 － r 2 |< d < r 1 ＋ r 2 ⇔ 两圆相交； (4) d ＝ | r 1 － r 2 |( r 1 ≠ r 2 ) ⇔ 两圆内切； (5)0 ≤ d <| r 1 － r 2 |( r 1 ≠ r 2 ) ⇔ 两圆内含 . 例 3 　 (1) 已知直线 2 x ＋ ( y － 3) m － 4 ＝ 0( m ∈ R ) 恒过定点 P ，若点 P 平分圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 4 y － 4 ＝ 0 的弦 MN ，则弦 MN 所在直线的方程是 ( 　　 ) A. x ＋ y － 5 ＝ 0 B. x ＋ y － 3 ＝ 0 C. x － y － 1 ＝ 0 D. x － y ＋ 1 ＝ 0 解析 √ 解析　 对于直线方程 2 x ＋ ( y － 3) m － 4 ＝ 0( m ∈ R ) ，取 y ＝ 3 ，则必有 x ＝ 2 ，所以该直线恒过定点 P (2,3). 设圆心是 C ，则易知 C (1,2) ，所以 k CP ＝ ＝ 1 ， 由垂径定理知 CP ⊥ MN ，所以 k MN ＝－ 1 . 又 弦 MN 过点 P (2,3) ， 故弦 MN 所在直线的方程为 y － 3 ＝－ ( x － 2) ， 即 x ＋ y － 5 ＝ 0. 思维升华 解析 √ 当直线 y ＝ x ＋ b 经过点 A (0,1) 时，求得 b ＝ 1 ； 当直线 y ＝ x ＋ b 经过点 B (1,0) 时，求得 b ＝－ 1 ； 当直线和半圆相切于点 D 时，由圆心 O 到直线 y ＝ x ＋ b 的距离等于半径， 思维升华 (1) 讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量 . (2) 圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题 . 思维 升华 解析 跟踪演练 3 　 (1) 若直线 3 x ＋ 4 y ＝ b 与圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 相切，则 b 的值是 ( 　　 ) A. － 2 或 12 B.2 或－ 12 C. － 2 或－ 12 D.2 或 12 解析　 由题意可得圆心坐标为 (1,1) ，半径 r ＝ 1 ，又直线 3 x ＋ 4 y ＝ b 与圆相切， √ 返回 (2) 已知在平面直角坐标系中，点 A (2 ， 0) ， B (0,1) 到直线 l 的距离分别为 1,2 ，则这样的直线 l 共有 ________ 条 . 解析　 由题意得直线 l 为圆 ( x － 2 ) 2 ＋ y 2 ＝ 1( A 为圆心 ) 与圆 x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4( B 为圆心 ) 的公切线 ， ∵ | AB | ＝ ＝ 3 ＝ 1 ＋ 2 ， ∴ 两圆外切， ∴ 两圆共有 3 条公切线 . 故答案为 3. 3 解析答案 1 2 3 1. 已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点 (1,0) 且被 x 轴分成的两段弧长比为 1 ∶ 2 ，则圆 C 的方程为 ( 　　 ) 押题依据　 直线和圆的方程是高考的必考点，经常以选择题、填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用 . 解析 押题依据 高考押题精练 √ 设圆心坐标为 (0 ， a ) ，半径为 r ， 1 2 3 2. 设 m ， n 为正实数，若直线 ( m ＋ 1) x ＋ ( n ＋ 1) y － 4 ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 － 4 x － 4 y ＋ 4 ＝ 0 相切，则 mn ( 　　 ) A. 有最小值 1 ＋ ， 无最大值 B. 有最小值 3 ＋ 2 ， 无最大值 C. 有最大值 3 ＋ 2 ， 无最小值 D. 有最小值 3 － 2 ， 最大值 3 ＋ 2 1 2 3 解析 押题依据　 直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大 . 押题依据 √ 1 2 3 解析　 根据圆心到直线的距离是 2 得到 m ， n 的关系，然后结合不等式即可求解 . 1 2 3 解析 押题依据　 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路 . 押题依据 3. 若圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 与圆 x 2 ＋ y 2 ＋ ax ＋ 2 ay － 9 ＝ 0( a >0) 相交，公共弦的长为 2 ， 则 a ＝ ________. 答案 返回 1 2 3 可得公共弦所在直线方程为 ax ＋ 2 ay － 5 ＝ 0 ， 返回