新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：1-4-3　诱导公式与对称 1-4-4　诱导公式与旋转 课件（65张）

新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：1-4-3　诱导公式与对称 1-4-4　诱导公式与旋转 课件（65张）

4.3　诱导公式与对称 4.4　诱导公式与旋转 必备知识·自主学习 1.诱导公式(-α,π±α)的推导 在直角坐标系中 α与-α角的终边关于____对称; α与π+α的终边关于_____对称; α与π-α的终边关于____对称. x轴 原点 y轴 2.诱导公式 的推导 ① -α的终边与α的终边关于直线____对称. ②公式 sin =cos α,cos =sin α 用-α代替α并用前面公式 sin =cos α,cos =-sin α ( )2    2  y=x ( )2    ( )2    ( )2    ( )2    【思考】 设α为任意角,则2kπ+α,2kπ-α的终边与α的终边有怎样的对应关系? 提示: 相关角 终边之间的对称关系 2kπ+α与α 终边相同 2kπ-α与α 关于x轴对称 3.2kπ±α,-α,π±α(k∈Z)的诱导公式 对任意角α,有下列关系式成立: sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α. sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α. sin(2π-α)=-sin α,cos(2π-α)=cos α. sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α. sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α. 这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式 两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余 弦函数值的符号. 【思考】 视α为锐角,则诱导公式中各角所在象限是什么? 提示: 角 2kπ+ α π- α π+ α -α 2π- α 所在象 限 一 二 三 四 四 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)cos(2π-α)=cos α. (　　) (2)sin(2π-α)=sin α. (　　) (3)诱导公式中的角α只能是锐角. (　　) (4)sin =cos α. (　　) (5)若α为第二象限角,则sin =cos α. (　　) (6)sin =cos . (　　) ( )2    ( )2   ( )4   ( )4    提示:(1) √.cos(2π-α)=cos(-α)=cos α. (2) ×.sin(2π-α)=sin(-α)=-sin α. (3) ×.诱导公式中角α不仅可以是锐角,还可以是任意角. (4) ×.因为sin =-sin =-cos α,所以sin =cos α是错误的. (5) √.诱导公式中的角α为任意角,在化简时先限定α为锐角. (6) √.因为 -α+ +α= ,所以成立. ( )2   ( )2   ( )2   4  4  2  2.cos 300°+sin 450°的值是 (　　)　　　　　 A.-1+ 　 B. C.-1- D. 【解析】选D.原式=cos(360°-60°)+sin(360°+90°) =cos(-60°)+sin 90°=cos 60°+1= . 3 1 2 3 3 2 3 2 3.cos 的值是 (　　) 【解析】选D. 2 3  3 3 1 1A. B. C. D.2 2 2 2      2 1cos cos( ) cos .3 3 3 2      ＝ ＝ ＝ 4.(教材二次开发:习题改编)已知sin x= ,则cos = (　　) 【解析】选A. 1 3 (x )2  1 2 2 2 1A. B. C. D.3 3 3 3     1cos(x ) cos[ ( x)] cos( x) sin x .2 2 2 3      ＝ ＝ ＝ ＝ 关键能力·合作学习 类型一　知角求值(数学运算) 【典例】求下列三角函数值: (1)cos(-1 290°); (2)sin 1 230°;(3)cos 29 4 ；   5 19 34 sin cos( ) sin( )cos .4 6 3 4     ＋ 【思路导引】利用诱导公式求解 【解析】(1)cos(-1 290°)=cos 1 290° =cos(210°+3×360°)=cos 210° =cos(180°+30°)=-cos 30°=- . (2)sin 1 230°=sin(150°+3×360°)=sin 150° =sin(180°-30°)=sin 30°= . 3 2 1 2     29 5 5 23 cos cos( 6 ) cos cos( ) cos .4 4 4 4 4 2 5 19 34 sin cos( ) sin( )cos4 6 3 4 sin( )cos sin( 6 ) cos( )4 6 3 4 sin cos sin( )( cos )4 6 3 4 2 3 3 2( ) ( ) 0.2 2 2 2                                   ＝ ＋ ＝ ＝ ＋ ＝ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ 【解题策略】 　 利用诱导公式,把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为: 可简记为:负化正,大化小,化成锐角再求值. 【跟踪训练】 　 求下列三角函数值.      4 25 21 sin cos 2 sin[ 2n 1 ].3 6 3      ； 【解析】     4 251 sin cos sin( ) cos(4 )3 6 3 6 3 3 3sin cos .3 6 2 2 4 2 32 sin[(2n 1) ] sin(2n ) sin .3 3 3 2                   ＝ ＋ ＋ ＝ ＝ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ 类型二　给值求值问题(数学运算) 【题组训练】 1.已知sin ,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是 (　　) 2.已知cos ,求cos 的值. 3.已知cos ,求 4( )2 5  ＋ ＝ 4 4 3 3A. B. C. D.5 5 5 5      3( )6 3    ＝ 5( )6  ＋ 1( )6 3    ＝ 5 2cos( ) sin( ).6 3    ＋ 【思路导引】1.直接利用诱导公式求解,注意角α所在的象限. 2.利用复合角之间的关系及诱导公式求解. 3.要注意到 等角之间的关系,恰当运用诱导公式求值. 5( ) ( )6 6     ＋ ＋ ＝ ， 2 ( ) ( ) ( )3 3 3 6 2            ＝ ＋ ， ＋ ＋ ＝ 【解析】1.选B.因为sin 且sin =cos α, 所以cos(α-2π)=cos α= . 2.因为 4( )2 5  ＋ ＝ ， ( )2  ＋ 4 5 5cos( ) cos[ ( )]6 6      ＋ ＝ 3cos( ) .6 3    ＝ ＝ 3.方法一:因为 ( ) ( )3 6 2     ＋ ＋ ＝ ， 1sin( ) sin[ ( )] cos( ) .3 2 6 6 3 2 1sin( ) sin[ ( )] sin( ) .3 3 3 3 5( ) ( )6 6 5 1cos( ) cos[ ( )] cos( )6 6 6 3 5 2 1 1 1cos( )sin( ) .6 3 3 3 9                                          所以 ＋ ＝ ＝ ＝ 所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ 因为 ＋ ＋ ＝ ， 所以 ＋ ＝ ＝ ， 所以 ＋ ＝ ＝ 方法二:设 -α=β,则α= -β, 所以 6  6  5 2cos ( )sin ( )6 3    ＋ 2 21 1cos ( )sin( ) cos ( ) .2 3 9       ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ 【解题策略】 1.观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式将不同名的函数化为同名的 函数,将不同的角化为相同的角,是解决问题的关键. 2.对于有条件的三角函数求值题,一般求解的基本方法是从角的关系上寻求突 破,找到所求角与已知角之间的关系,结合诱导公式,进而把待求式转化到已知 式而完成求值. 3.当所给的角是复合角时,不易看出已知角与所求角的联系,可将已知角看成一 个整体,用这个整体去表示所求角,便可发现它们之间的关系. 【补偿训练】 　　　已知sin ,那么cos α=(　　) 【解析】选C. 5 3( )2 5   ＋ 2 3 3 2A. B. C. D.5 5 5 5      5 3sin( ) sin(2 ) sin( ) cos .2 2 2 5       ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ 类型三　三角函数式的化简(逻辑推理) 角度1　直接用诱导公式化简、求值  【典例】化简求值     cos(2 )sin( 2 )cos(6 )1 cos( )sin(5 ) cos 190 sin( 210 )2 .cos( 350 ) sin( 585 )                          ； 【思路导引】(1)利用诱导公式化简; (2)用诱导公式把角化成锐角求解. 【解析】     cos sin( )cos( )1 cos( )sin( ) cos ( sin )cos cos .( cos )sin cos(180 10 ) sin(180 30 )2 cos(360 10 ) sin(360 225 ) cos 10 sin 30 cos 10 ( sin 225 ) 1 sin 30 22 .sin 45 22 2                                           原式＝ ＝ ＝ ＋ ［ ＋ ］原式＝ ［ ＋ ］ ＝ ＝ ＝ ＝ 　角度2　分类讨论化简  【典例】设k为整数,化简下面的式子: 【思路导引】对k分奇数和偶数进行分类讨论.  sin(k ) cos k 1 .sin (k 1) cos(k )              ［ ］ ［ ＋ ＋ ］ ＋ 【解析】方法一:当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),则原式= 当k为奇数时,可设k=2m+1(m∈Z),同理可得,原式=-1.故不论k为奇数还是偶数, 原式=-1.  sin(2m ) cos 2m 1 sin( ) cos( ) sin (2m 1) cos(2m ) sin( ) cos ( sin )( cos ) 1sin cos                              ［ ］ ＋＝［ ＋ ＋ ］ ＋ ＋ ＝ ＝ ； 方法二:由(kπ+α)+(kπ-α)=2kπ,[(k-1)π-α]+[(k+1)π+α]=2kπ, 得sin(kπ-α)=-sin(kπ+α),cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α] =-cos(kπ+α),sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α). 故原式= sin(k ) cos(k ) 1.sin(k ) cos(k )            ＋ ［ ＋ ］＝＋ ＋ 【解题策略】 利用诱导公式化简的原则 (1)化简三角函数式的过程,实质上是“统一角”“统一函数名”的过程,所以 在三角函数式的化简过程中应学会“看角、看函数名”的分析方法. (2)化简三角函数式时,若遇到kπ±α的形式时,需分k为奇数和k为偶数两种情 况进行讨论,然后再正确运用诱导公式进行化简.常见的一些关于参数k的结论 有①sin(kπ+α)=(-1)ksin α(k∈Z). ②cos(kπ+α)=(-1)kcos α(k∈Z). ③sin(kπ-α)=(-1）k+1sin α(k∈Z). ④cos(kπ-α)=(-1)kcos α(k∈Z). 【题组训练】 1.化简求值. 【解析】原式= cos( ) sin(2 ) sin( ) cos( )             ＋ ＋ ； cos sin cos sin 1.sin( ) cos( ) sin cos                   ＝ ＝＋ ＋ 2.化简cos(nπ+x)+cos(nπ-x)(n∈Z). 【解析】当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z), 原式=cos [(2k+1)π+x]+cos [(2k+1)π-x]=cos(π+x)+cos(π-x) =-cos x-cos x=-2cos x; 当n为偶数时,设n=2k(k∈Z), 原式=cos(2kπ+x)+cos(2kπ-x)=cos x+cos(-x)=2cos x,故原式= 2cosx n 2cosx n .    ， 为奇数， ， 为偶数 1.当α∈R时下列各式恒成立的是 (　　)　　　　　　 A.sin =-cos α B.sin(π-α)=-sin α C.cos (210°+α)=cos (30°+α) D.cos (-α-β)=cos (α+β) 【解析】选D.由诱导公式知D正确. 课堂检测·素养达标 ( )2  ＋ 2.sin 210°= (　　) 【解析】选D.sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=- . 3 3 1 1A. B. C. D.2 2 2 2      1 2 3.在△ABC中,已知sin ,则cos 的值为(　　) 【解析】选C.因为A+B+C=π,所以 所以 A 4 2 5  B C 2 ＋ 3 3 4 4A. B. C. D.5 5 5 5      B C A 2 2 2  ＋ ＝ ， B C A A 4cos cos( ) sin .2 2 2 2 5  ＋ ＝ ＝ ＝ 4.已知cos ,则cos =______.  【解析】 答案: 3( )6 3  ＋ ＝ 11( )6    11 3cos( ) cos[2 ( )] cos( ) .6 6 6 3           ＋ ＋ 3 3 5.(教材二次开发:练习改编)化简: 【解析】原式= 3sin( )cos( )sin( )2 5cos(3 )sin(3 )sin( )2              ＋ ＋ ＋ sin ( cos ) ( cos ) 1.( cos ) ( sin )cos              ＝ 六　诱导公式与对称　诱导公式与旋转 【基础通关一水平一】(15分钟　30分) 1.sin(-390°)的值为 (　　)　　　　　　　 【解析】选D.sin(-390°)=sin (-360°-30°)= sin (-30°)=-sin 30°=- . 课时素养评价 3 3 1 1A. B. C. D.2 2 2 2      1 2 2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则 的值为 (　　) 【解析】选A.因为角α的终边上有一点P(1,3),在第一象限, 所以由三角函数的定义知sin α= ,cos α= . 因为 sin( ) sin( )2 3cos( ) 2cos( )2           ＋ ＋ ＋ 2 4 4A. B. C. D. 45 5 7        3 10 1 10 3 1sin( ) sin( ) sin cos 210 102 .3 3 2sin 2cos 5cos( ) 2cos( )2 10 10                    ＋ ＝ ＝ ＝ ＋ ＋ 3.已知sin 10°=k,则cos 620°的值等于 (　　) A.k　 B.-k C.±k　 D.不能确定 【解析】选B.cos 620°=cos (360°+260°)=cos 260°=cos (180°+80°) =-cos 80°=-sin 10°=-k. 4.sin (-1 200°)·cos 1 290°+cos (-1 020°)·sin (-1 050°) =______.  【解析】原式=-sin 1 200°·cos 1 290°-cos 1 020°· sin 1 050°=-sin (-60°+7×180°)·cos (30°+7×180°)- cos (-60°+3×360°)·sin (-30°+3×360°)=sin (-60°)(-cos 30°) -cos (-60°)sin (-30°)=- ×(- )- ×(- )=1. 答案:1 3 2 3 2 1 2 1 2 5.已知cos (75°+α)= ,求cos (105°-α)+sin (15°-α)的值. 【解析】因为(105°-α)+(75°+α)=180°, (15°-α)+(α+75°)=90°, 所以cos (105°-α)=cos [180°-(75°+α)] =-cos (75°+α)=- , sin (15°-α)=sin [90°-(α+75°)]=cos (75°+α)= . 所以cos (105°-α)+sin (15°-α)=- + =0. 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 【能力进阶一水平二】　 (30分钟　60分) 一、单选题(每小题5分,共20分) 1.已知函数f(x)=cos ,则下列等式成立的是 (　　) A.f(2π-x)=f(x)　 B.f(2π+x)=f(x) C.f(-x)=-f(x)　 D.f(-x)=f(x) x 2 【解析】选D.因为f(x)=cos , 所以f(-x)=cos(- )=cos ,所以C不对; 又f(2π-x)=cos =cos (π- )=-cos =-f(x). 所以A不对. 因为f(2π+x)=cos =cos (π+ )=-cos ≠f(x),B不对. x 2 x 2 x 2 2 x 2   x 2 x 2 2 x 2   x 2 x 2 2.若sin(π+α)+cos ( +α)=-m,则cos ( -α)+2sin (6π-α) 的值为 (　　) 2  3 2  2 3 2 3A. m B. m C. m D. m3 2 3 2      【解析】选B.因为sin (π+α)+cos ( +α)=-m, 所以-sin α-sin α=-2sin α=-m,所以sin α= . 所以cos ( -α)+2sin (6π-α)=-sin α-2sin α =-3sin α=- m. 2  3 2  m 2 3 2 3.若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式中一定成立的是 (　　) A.cos (A+B)=cos C B.sin (A+B)=-sin C C.cos ( +C)=sin B D.sin B C Acos 2 2 ＋ ＝ A 2 【解析】选D.因为A+B+C=π,所以A+B=π-C, 所以cos (A+B)=-cos C,sin (A+B)=sin C. 所以A,B都不正确;sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=cos , 所以C选项无法证明成立.B+C=π-A, 所以sin =sin ( )=cos ,因此D是正确的.A 2 ( A C)2    B C 2 ＋ A 2 2   4.已知sin ( -α)= ,那么cos ( -α)=(　　) 【解析】选D. 6  1 2 2 3  3 3 1 1A. B. C. D.2 2 2 2      2 1cos ( ) cos ( ) sin ( ) .3 2 6 6 2              ［ ＋ ］ 二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分, 有选错的得0分) 5.如果α+β=180°,那么下列等式中不成立的是(　　) A.cos α=cos β B.cos α=-cos β C.sin α=-sin β D.sin α=cos β 【解析】选ACD.由α+β=180°得α=180°-β,两边同时取正弦函数得 sin α=sin(180°-β)=sin β,两边同时取余弦函数得cos α=cos(180° -β)=-cos β. 【光速解题】令α=60o,β=120o求解. 6.已知n∈Z,则下列三角函数中,与sin 数值相同的是 (　　) A.sin 　　　 B.cos C.sin D.cos 【解题指南】对n进行分类讨论,然后利用诱导公式求解. 3  4(n )3  ＋ (2n )6 ＋ (2n )3 ＋ [(2n 1) ]6  ＋ 【解析】选BC.A中n为偶数时sin =-sin ; B中cos =cos =sin ; C中sin =sin ; D中cos =-cos =-sin . 4(n )3  ＋ 3  (2n )6 ＋ 6  3  (2n )3 ＋ 3  [(2n 1) ]6  ＋ 6  3  三、填空题(每小题5分,共10分) 7.sin =______.  【解析】sin =-sin =-sin =-sin =sin 答案: 31( )4   31( )4   31 4  (8 )4   ( )4  2 .4 2 ＝ 2 2 8.若函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数, 且满足f(2 015)=2,则f(2 016)=________.  【解析】因为f(2 015)=asin(2 015π+α)+bcos(2 015π+β)=2, 所以f(2 016)=asin(2 016π+α)+b·cos(2 016π+β) =asin[π+(2 015π+α)]+bcos [π+(2 015π+β)] =-[asin(2 015π+α)+bcos(2 015π+β)]=-2. 答案:-2 四、解答题(每小题10分,共20分) 9.已知f(α)= (1)化简f(α); (2)若α为第四象限角且sin 求f(α)的值; (3)若α=- π,求f(α). 3sin( 3 ) cos(2 ) sin( )2 .cos( ) sin( )                   ＋ 3 1( )2 5    ＝ ， 31 3 【解析】(1)f(α)= (2)因为sin =sin =cos α= , 所以f(α)=-cos α=- . (3) ( sin ) cos ( cos ) cos .( cos ) sin              3( )2    ( )2 ＋ 1 5 1 5 31 31f( ) cos( )3 3    ＝ 5 5 1cos( 6 2 ) cos cos .3 3 3 2         ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ 10.化简求值:     2 3 41 cos cos cos cos 5 5 5 5 2 42 sin(2n ) cos(n )(n Z).3 3          ＋ ＋ ＋ ； ＋ 【解析】   2 3 41 cos cos cos cos 5 5 5 5 2 2cos cos cos( ) cos( )5 5 5 5 2 2cos cos cos cos 0.5 5 5 5                 ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ (2)①当n为奇数时, 原式= =-sin ②当n为偶数时,原式=-sin ·cos 2 4sin( ) ( cos ) sin( ) cos( )3 3 3 3         ＝ ＋ 3 1 3cos3 3 2 2 4      ＝ ＝ ； 2 3  4 3  3sin( ) cos( ) sin cos .3 3 3 3 4        ＝ ＋ ＝ ＝