2014天津（文科数学）高考试题
2014·天津卷(文科数学)
1．[2014·天津卷] i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i B．－1＋i
C.＋i D．－＋i
1．A [解析] ＝＝＝1－i.
2．[2014·天津卷] 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．B [解析] 作出可行域，如图中阴影部分所示．
联立解得可得点A (1，1)．
当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值z＝1×1＋2×1＝3.
3．[2014·天津卷] 已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为( )
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B. ∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1
C. ∀x＞0，总有(x＋1)ex≤1
D. ∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1
3．B [解析] 含量词的命题的否定，先改变量词的形式，再对命题的结论进行否定．
4．[2014·天津卷] 设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞b＞a
4．C [解析] ∵a＝log2π>1，b＝logπ<0，c＝<1，
∴b
0且y＝x2单调递减，故x∈(－∞，0)．
13．[2014·天津卷] 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________．
13．2 [解析] 建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－)，C(1，0)，D(0，)．设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由＝3，得(1，)＝3(x1，y1＋)，可得E；由＝λ，得(1，－)＝λ(x2，y2－)，可得F.
∵AE·AF＝·＝－＝1，∴λ＝2.
14．[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x
|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．
14．(1，2) [解析] 在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x|的图像，如图所示，当y＝a|x|与y＝f(x)的图像
相切时，联立整理得x2＋(5－a)x＋4＝0，则Δ＝(5－a)2－4×1×4＝0，解得a＝1或a＝9(舍去)，∴当y＝a|x|与y＝f(x)的图像有四个交点时，有10)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
所以，f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是(－∞，0)，.
当x＝0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)＝0；
当x＝时，f(x)有极大值，且极大值f＝.
(2)由f(0)＝f＝0及(1)知，当x∈时，f(x)>0；当x∈时，f(x)<0.
设集合A＝{f(x)|x∈(2，＋∞)}，集合B＝，则“对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1”等价于A⊆B，显然0∉B.下面分三种情况讨论：
(i)当>2，即0时，有f(1)<0，且此时f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故B＝，A＝(－∞，f(2))，所以A不是B的子集．
综上，a的取值范围是.
20．、、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．
(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.
(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an＜bn，则s＜t.
20．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及an
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