2018-2019学年湖北省天门市、仙桃市、潜江市高二下学期期末数学（理)试题 解析版

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绝密★启用前 湖北省天门市、仙桃市、潜江市2018-2019学年高二下学期期末数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．双曲线的渐近线的斜率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用渐近线公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 双曲线渐近线方程为：‎ 答案为C ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题.‎ ‎2．若,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导,在导函数里取,解得,代入函数,再计算 ‎【详解】‎ 答案为B ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的计算,属于简单题.‎ ‎3．命题“”的否定是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题的否定：任意变存在，并对结论进行否定.‎ ‎【详解】‎ 命题的否定需要将限定词和结论同时否定，‎ 题目中：为限定词，为条件，为结论；而的否定为，的否定为，‎ 所以的否定为 故本题正确答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题的否定,属于简单题.‎ ‎4．现有五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( )‎ A．120种 B．5种 C．种 D．种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算每个同学的报名方法种数,利用乘法原理得到答案.‎ ‎【详解】‎ A同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择.‎ 同理BCDE四位同学也各有3种选择,乘法原理得到 答案为D ‎【点睛】‎ 本题考查了分步乘法乘法计数原理,属于简单题目.‎ ‎5．小明同学在做市场调查时得到如下样本数据 ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ 他由此得到回归直线的方程为，则下列说法正确的是( )‎ ‎①变量与线性负相关 ②当时可以估计 ‎③ ④变量与之间是函数关系 A．① B．①② C．①②③ D．①②③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数据和回归方程对每一个选项逐一判断得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎①变量与线性负相关,正确 ‎②将代入回归方程，得到，正确 ‎③将代入回归方程，解得，正确 ‎④变量与之间是相关关系，不是函数关系，错误 答案为C ‎【点睛】‎ 本题考查了回归方程的相关知识，其中中心点一定在回归方程上是同学容易遗忘的知识点.‎ ‎6． ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将定积分分为前后两部分,前面部分奇函数积分为0,后面部分转换为半圆,相加得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了定积分计算的两个方法,意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎7．已知随机变量服从正态分布，若，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 随机变量服从正态分布,则,利用概率和为1得到答案.‎ ‎【详解】‎ 随机变量X服从正态分布, , ‎ 答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正态分布,利用正态分布的对称性是解决问题的关键.‎ ‎8．若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 析：对于A，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；‎ 对于B，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；‎ 对于C，考虑面面垂直的判定定理；‎ 对于D，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理．‎ 解答：解：选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确．‎ 选项B中，l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B不正确．‎ 选项C中，由l∥β，设经过l的平面与β相交，交线为c，则l∥c，又l⊥α，故c⊥α，又c?β，所以α⊥β，正确．选项D中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确．‎ 故选C．‎ ‎9．下列不等式中正确的有( )‎ ‎①；②；③‎ A．①③ B．①②③ C．② D．①②‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一对每个选项进行判断,得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎①,设函数,递减,,即,正确 ‎②,设函数,在递增,在递减, ,即,正确 ‎③,由②知,设函数,在递减,在递增,,即正确 答案为B ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导函数求函数的单调性进而求最值来判断不等式关系,意在考查学生的计算能力.‎ ‎10．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为且；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为分，乙和丙最后得分都是分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是( )‎ A．乙有四场比赛获得第三名 B．每场比赛第一名得分为 C．甲可能有一场比赛获得第二名 D．丙可能有一场比赛获得第一名 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算总分，推断出，再根据正整数把 计算出来，最后推断出每个人的得分情况，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题可知,且都是正整数 当时，甲最多可以得到24分，不符合题意 当时，，不满足 推断出，‎ 最后得出结论:‎ 甲5个项目得第一,1个项目得第三 ‎ 乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三 ‎ 丙5个项目得第二,1个项目得第三,‎ 所以A选项是正确的.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了逻辑推理,通过大小关系首先确定的值是解题的关键,意在考查学生的逻辑推断能力.‎ ‎11．口袋中装有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任意取出3个小球，以表示取出球的最大号码，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先计算各个情况概率,利用数学期望公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故.‎ 故本题正确答案为A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了概率的计算和数学期望的计算,意在考查学生的计算能力.‎ ‎12．已知抛物线，过点的任意一条直线与抛物线交于两点，抛物线外一点，若∠∠，则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出点和直线，联立方程得到关于的韦达定理，将转化为斜率相反，将根与系数关系代入得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设，设直线AB：又 恒成立 即 答案为D ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和抛物线的位置关系,定点问题,设直线方程时消去可以简化运算,将角度关系转化为斜率关系是解题的关键,计算量较大,属于难题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若复数是纯虚数，则实数 _________________ 。‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将复数化简为标准形式,取实部为0得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的计算,属于简单题.‎ ‎14．孙悟空、猪八戒、沙和尚三人中有一个人在唐僧不在时偷吃了干粮，后来唐僧问谁偷吃了干粮，孙悟空说是猪八戒，猪八戒说不是他，沙和尚说也不是他。他们三人中只有一个说了真话，那么偷吃了干粮的是__________．‎ ‎【答案】沙和尚 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用假设法逐一假设偷吃干粮的人,再判断得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 假设偷吃干粮的是孙悟空,则猪八戒和沙和尚都是真话,排除 ‎(2) 假设偷吃干粮的是猪八戒,则孙悟空和沙和尚都是真话,排除 ‎(3) 假设偷吃干粮的是沙和尚,则只有猪八戒说的真话,满足 答案是沙和尚 ‎【点睛】‎ 本题考查了逻辑推理的知识,意在考查学生的逻辑推理能力,属于基础题.‎ ‎15．将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三所不同的学校去任教，每所学校至少分配一人且甲、乙两人不在同一所学校，则共有________ 种不同的分配方案（用数字作答）。‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先不考虑甲乙的特殊情况,算出总的分配方案,再减去甲乙同校的情况,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 将四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师有种排法；‎ 甲、乙两名老师分配到同一个学校有种排法；‎ 故有甲、乙两名老师不能分配到同一个学校有36-6=30种排法.‎ 故答案为30．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了排列组合里面的捆绑法和排除法,属于基本题型.‎ ‎16．已知函数对任意的都有，那么不等式的解集为_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先构造函数,根据函数的单调性和特殊值解得答案.‎ ‎【详解】‎ 构造函数,则 在R单调减, ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数单调性解不等式的知识,根据等式特点熟练构造出函数是本题的关键.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知二项式．‎ ‎（1）求展开式中的常数项；‎ ‎（2）设展开式中系数最大的项为求的值。‎ ‎【答案】（1）7920；（2）12.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接利用展开式通项,取次数为0,解得答案.‎ ‎(2)通过展开式通项最大项大于等于前一项和大于等于后一项得到不等式组,解得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）展开式中的通项，令得所以展开式中的常数项为 ‎（2）设展开式中系数最大的项是，则 所以代入通项公式可得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理的常数项和最大项,意在考查学生的计算能力.‎ ‎18．如图，四棱锥的底面是直角梯形，∥，⊥，，⊿是正三角形。‎ ‎（1）试在棱上找一点，使得∥平面；‎ ‎（2）若平面⊥，在（1）的条件下试求二面角的正弦值。‎ ‎【答案】（1）为边的中点；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由 平面得到∥，在底面中,根据关系确定M为AB中点.‎ ‎(2)取的中点，的中点，接可证明∠‎ 为二面角的平面角，在三角形中利用边关系得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)因为∥平面,,‎ 平面平面,所以∥由题设可知点为边的中点 ‎ ‎（2）平面⊥平面,平面平面,取的中点,连接,在正三角形中为则⊥,由两平面垂直的性质可得⊥平面.取的中点连接可证明∠为二面角的平面角.设，在直角三角形中，所以为所求 ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行，二面角的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎19．2019年6月湖北潜江将举办第六届“中国湖北（潜江）龙虾节”，为了解不同年龄的人对“中国湖北（潜江）龙虾节”的关注程度，某机构随机抽取了年龄在20—70岁之间的100人进行调查，经统计“年轻人”与“中老年人”的人数之比为。‎ 关注 不关注 合计 年轻人 ‎30‎ 中老年人 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有99﹪的把握认为关注“中国湖北（潜江）龙虾节”是否和年龄有关？‎ ‎（2）现已经用分层抽样的办法从中老年人中选取了6人进行问卷调查，若再从这6人中选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“中国湖北（潜江）龙虾节”的人数为随机变量，求的分布列及数学期望。‎ 附：参考公式其中。‎ 临界值表：‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先将列联表填写完整，根据公式计算 ，再与临界值表作比较得到答案.‎ ‎(2)首先计算关注人数的概率，再写出分布列，计算数学期望.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 关注 不关注 合计 年轻人 ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ 中老年人 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 其中代入公式的≈，故有﹪的把握认为关注“中国湖北（潜江）龙虾节”和年龄有关. ‎ ‎（2）抽取的6位中老年人中有4人关注，2人不关注，则可能取的值有 所以的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了列联表的计算，分布列和数学期望的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，一个焦点在直线上，直线与椭圆交于两点，其中直线的斜率为，直线的斜率为。‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）若，试问⊿的面积是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由。‎ ‎【答案】（1）；（2）是定值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据离心率公式和焦点公式计算得到答案.‎ ‎(2)设点和直线，联立方程，根据韦达定理得到根与系数关系，计算PQ和点到直线距离，表示出面积，根据化简得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意可知椭圆的一个焦点为即而所以椭圆方程为 ‎ ‎（2）设当直线的斜率存在时，设其方程为，联立椭圆方程得，则， ‎ ‎ ‎ 点到直线的距离 ‎ 所以 由化简得代入上式得 ‎ 若直线斜率不存在易算得 综合得，三角形的面积是定值 ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的方程的计算，面积的表示和定值问题，计算量较大，意在考查学生的计算能力.‎ ‎21．已知函数 ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数恰有四个零点，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）单调增区间，单调减区间或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导数，根据导数的正负确定函数单调性.‎ ‎(2)设转换为二次方程，确定二次方程有两个不同解，根据方程的两个解与极值关系得到范围.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)令，得，故函数的单调增区间为单调减区间为或 ‎ ‎（2）令因为关于的方程至多有两个实根，‎ ‎①当显然无零点，此时不满足题意；‎ ‎②当有且只有一个实根，结合函数的图像，可得此时至多上零点也不满足题意 ‎ ‎③当，此时有两个不等实根设若要有四个零点则而 ‎，所以解得又故 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，函数的零点问题，综合性大，计算较难，意在考查学生对于函数导数知识的综合灵活运用和计算能力.‎ ‎22．在直角坐标系中直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.‎ ‎（1）求直线的普通方程及曲线直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线上的点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.‎ ‎(2)计算圆心到直线的距离，判断相离，再利用公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ‎ ‎（2）曲线的圆心到直线的距离所以直线与圆相离，则曲线上的点到直线的距离的最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程和极坐标方程，将圆上的点到直线的距离转化为圆心到直线的距离是解题的关键.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时，讨论 取值范围去绝对值符号，计算不等式.‎ ‎(2)利用绝对值不等式求函数最大值为 ，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时不等式即为 ‎①当时不等式可化为得故 ‎②当时不等式可化为恒成立故 ‎③当时不等式可化为得故 综合得，不等式的解集为 ‎ ‎（2）所以得为所求 ‎【点睛】‎ 本题考查了绝对值不等式，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.‎