2018-2019学年甘肃省天水市第一中学高二上学期第二学段考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年甘肃省天水市第一中学高二上学期第二学段考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 甘肃省天水市第一中学2018-2019学年高二上学期第二学段考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知数列的前项和为，满足，则的通项公式（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和项与通项关系求通项公式.‎ ‎【详解】‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 因此,选B.‎ ‎【点睛】‎ 给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎2．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）‎ A． 10 B． 8 C． 6 D． 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设A（x1，y1）、B（x2，y2）依题意，x1+x2=6，|AB|=6+2=8，选择B ‎3．给出如下四个命题： ①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；‎ ‎②命题“若，则 ”的否命题为“若，则”；‎ ‎③命题“ ”的否定是“”;‎ ‎④“ ”是“ ”的充分必要条件. 其中正确的命题个数是（ ）‎ A． 4 B． 3 C． 2 D． 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复合命题的真假判断①是正误；命题的否命题判断②的正误；通过全称命题的否定是特称命题判断③的正误；利用充要条件判断④的正误．‎ ‎【详解】‎ ‎①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题，不满足复合命题真假，因为p、q有一个是假命题，则“p且q”为假命题，‎ 所以①不正确；‎ ‎②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，满足否命题的概念．‎ 所以②正确；‎ ‎③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”，不满足全称命题的否定是特称命题，因为“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1<1”，‎ 所以③不正确；‎ ‎④“x＞0”是“x+”的充分必要条件，“x＞0”⇒“x+”，“x＞0”⇐“x+”，所以④正确．‎ 正确命题的个数是2．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，基本知识的综合应用，常考题型．‎ ‎4．命题“对”为真命题的一个充分不必要条件可以是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出命题为真命题时的充要条件，然后再结合选项进行选择即可．‎ ‎【详解】‎ 因为，等价于，恒成立，‎ 设，‎ 则 ．‎ 所以命题为真命题的充要条件为，‎ 所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解．‎ ‎5．已知,是双曲线的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵MF1与x轴垂直，，‎ ‎∴设MF1=m，则MF2=4m，由双曲线的定义得4m-m=2a，即3m=2a，得m=a，‎ 在直角三角形MF2F1中，16m2-m2=4c2，即15m2=4c2，即15（a）2=4c2，即5a2=3c2，则 ,即e= ，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率的求法,属于基础题。‎ ‎6．己知抛物线方程为（），焦点为，是坐标原点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为60°，若的面积为，则的值为（ ）‎ A．2 B． C．2或 D．2或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线的焦点，准线，令A的坐标为（a,b）则 ‎，，因为，所以由得，，解得，所以，因为，，所以 ‎，解得。故选A。‎ 考点：抛物线的性质F A O N M 点评：关于抛物线的题目，特别是涉及到线段长度的题目，一般都要利用到抛物线的特点：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。‎ ‎7．若两个正实数满足,且恒成立,则实数的取值范围是(　　)‎ A． B． ‎ C． (-4,2) D． (-2,4)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，利用基本不等式可得的最小值，再由恒成立可得的不等式，解不等式可得的范围.‎ ‎【详解】‎ 因为正实数满足，‎ 所以，‎ 当且仅当时，即时取得最小值8，‎ 因为恒成立，所以，即，‎ 解得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本不等式求最值，涉及恒成立问题和一元二次不等式的解法，属于中档试题，其中利用基本不等式求得最小值，把不等式的恒成立转化为一元二次不等式问题是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎8．已知,为椭圆的左右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若,，则椭圆C的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面积公式及勾股定理得到点A坐标，再由椭圆的定义即可求得长轴长，进而求得椭圆方程．‎ ‎【详解】‎ 设椭圆半焦距为c，A（x0，y0）（y0＞0），由 得×2c•y0=2，∴y0=，∴x0=y0 =，‎ 又为直角三角形，则|OA|=|F1F2|=c，‎ 在直角中，由勾股定理得（）2+（）2=c2，解得c=2，‎ 所以A（，1），F1（-2，0），F2（2，0），‎ 所以2a=|AF1|+|AF2|==2，‎ ‎∴a=,a2=6，∴b2=2，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求法，注意平面几何知识的简单应用.‎ ‎9．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作OA⊥于点A，于点B，可得，，，结合双曲线定义可得从而得到双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】‎ 如图，作OA⊥于点A，于点B，‎ ‎∵与圆相切，‎ ‎∴，，‎ 又点M在双曲线上，‎ ‎∴‎ 整理，得，‎ ‎∴‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a，b的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.‎ ‎10．设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,|PF1|=λ|PF2| ,,则椭圆离心率的取值范围为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设F1（-c，0），F2（c，0），运用椭圆的定义和勾股定理，求得e2=，令m=λ+1，可得λ=m-1，即有=,由λ的范围求得m的范围，进而即可得解。‎ ‎【详解】‎ 设F1（-c，0），F2（c，0），由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，可设|PF2|=t，可得|PF1|=λt，即有（λ+1）t=2a①‎ 由∠F1PF2=，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，即为（λ2+1）t2=4c2，②‎ 由②÷①2，可得e2=,令m=λ+1，可得λ=m-1，即有 ‎==2（）2+,由，可得≤m≤3，即，则m=2时，取得最小值；m=或3时，取得最大值．‎ 即有≤e2≤，解得≤e≤．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的范围，同时考查不等式的解法，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎11．已知分别为的三个内角的对边，则____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知等式利用正弦定理化简，再结合余弦定理，即可确定出角A的大小．‎ ‎【详解】‎ 已知,‎ 由正弦定理得：（a+b）（a-b）=c（c-b），即b2+c2-a2=bc，‎ 由余弦定理得cosA=，‎ ‎∴A=.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了正弦定理和余弦定理的简单应用，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎12．数列满足，．则数列的通项公式=____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，可得，利用等差数列的求和公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 可得 ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法.‎ ‎13．在中，内角，，的对边分别为，，．若的面积为，且，，则外接圆的面积为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA=1，结合范围A∈（0，π），可得A的值，设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得R，利用圆的面积公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，可得：2bccosA=b2+c2-a2=b2+c2-1，‎ 又∵S=bcsinA，可得4S=2bcsinA，‎ 由4S=b2+c2-1，可得2bccosA=2bcsinA，可得tanA=1，‎ ‎∵A∈（0，π），∴A=，‎ 设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得 ‎∵a=1，A=，可得R= ，∴△ABC外接圆的面积S=πR2=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想.‎ ‎14．已知等差数列的前n项和为，，则数列的前2018项和为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列{an}的公差为d，由a4=4，S5=15，可得a1=d=1，可得an，利用裂项相消法求解数列的和即可．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列{an}的公差为d,‎ a4=4，∴d=1，‎ a4=a1+3d=4，解得a1=d=1，∴an=1+（n-1）=n．‎ ‎∴=，‎ 则数列的前2018项和为 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式与求和公式、主要考查分式“裂项相消求和”方法，考查了推理能力与计算能力．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎15．在中，角的对边分别为 ，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）已知，的面积为1，求边.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理化简即得A的值.(2)通过三角形的面积以及余弦定理，转 化求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵bcosA+asinB=0‎ ‎∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0‎ ‎∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA+sinA=0‎ ‎∵，∴tanA=﹣1又0＜A＜π ‎∴‎ ‎（2）∵，S△ABC=1，∴‎ 即：‎ 又 由余弦定理得：‎ 故：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考查计算能力．‎ ‎16．已知数列满足（，），且，．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知条件可得，即可得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得，利用错位相减法求其前项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）证明：∵当时，，‎ ‎∴． ‎ ‎∴，．‎ ‎∴数列是以2为首项，公比为2的等比数列． ‎ ‎（Ⅱ）解： ‎ ‎∵， ①‎ ‎∴，② ‎ ‎①②：， ‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎17．已知椭圆（）的离心率是，其左、右焦点分别为 ‎，短轴顶点分别为，如图所示， 的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点且斜率为的直线交椭圆于两点（异于点），证明：直线和的斜率和为定值.‎ ‎【答案】(1) .(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据题意，列出方程，借助，即可求解的值，即可求解椭圆的标准方程； ‎ ‎（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，得到，在根据斜率公式，化简即可得到定值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）， ， ，又 所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎（2）证明：设直线的方程为， ‎ 联立得 ‎， ‎ ‎ ‎ ‎= ‎ 直线与的斜率之和为定值 ‎ 点睛：本题考查了椭圆的标准方程的求解和圆锥曲线的定值问题，解答中熟记椭圆的标准方程及其简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的应用，此类问题的解答中把直线与圆锥曲线方程联立，转化为根与系数的关系的应用是解答的关键.‎ ‎18．（2011•浙江）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M ‎（1）求点M到抛物线C1的准线的距离；‎ ‎（2）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由题意画出简图为：‎ 由于抛物线C1：x2=y准线方程为：y=﹣，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心M（0，4），‎ 利用点到直线的距离公式可以得到距离d==．‎ ‎（2）设点P（x0，x02），A（x1，x12），B（x2，x22）；‎ 由题意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2，‎ 设过点P的圆c2的切线方程为：y﹣x02=k（x﹣x0）即y=kx﹣kx0+x02①‎ 则，即（x02﹣1）k2+2x0（4﹣x02）k+（x02﹣4）2﹣1=0‎ 设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2应该为上述方程的两个根，‎ ‎∴，；‎ 代入①得：x2﹣kx+kx0﹣x02="0" 则x1，x2应为此方程的两个根，‎ 故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0‎ ‎∴kAB=x1+x2=k1+k2﹣2x0=‎ 由于MP⊥AB，∴kAB•KMP=﹣1⇒‎ 故P∴．‎ 视频