2018-2019学年河北省衡水市安平中学高一上学期第四次月考普通班数学试题

2018-2019学年河北省衡水市安平中学高一上学期第四次月考普通班数学试题

‎2018-2019学年河北省衡水市安平中学高一上学期第四次月考普通班数学试题 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则(　　)‎ A．P一定在直线BD上 B．P一定在直线AC上 C．P一定在直线AC或BD上 D．P不在直线AC上，也不在直线BD上 ‎2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎3．给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中为真命题的是(　　)‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④‎ ‎4.教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线(　　)‎ A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 ‎5.已知是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中正确的是(　　)‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎6.菱形ABCD在平面内，PC⊥，则PA与BD的位置关系是 (　　) ‎ A平行 　B相交 C垂直相交　 D异面垂直 ‎7.线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　)A.30°    B.45°     C.60°      D.120°‎ ‎8.P是△ABC所在平面外一点，且P到△ABC三个顶点的距离相等，PO⊥于O，则O是△ABC的 (　　) ‎ A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ‎9．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF 的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有(　　)‎ A．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面 C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面 ‎10.已知α、β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有(　　)‎ A．①③⇒②；①②⇒③ B．①③⇒②；②③⇒①‎ C．①②⇒③；②③⇒① D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①‎ ‎11．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为(　　)‎ A.π B.π C.π D.π ‎12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)‎ A． B． C． D． 一、 填空题(共4个小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面的位置关系是 _____________． ‎ ‎14.记与正方体各个面相切的球为，与各条棱相切的球为，过正方体各顶点的球为,则这3个球的半径比为____________．‎ ‎15.在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是 _____________．‎ ‎16.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为___________．‎ 三、解答题（共70分，解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分） 如图，已知为平行四边形所在平面外一点，为的中点，‎ 求证：平面．‎ ‎18.（本小题满分12分）如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.‎ ‎(1)求证:DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)求证:平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎19.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.‎ ‎20.（本小题满分12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.‎ ‎(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；‎ ‎(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．‎ ‎ ‎ ‎21.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2，∠BAD＝90°.‎ ‎(1)求证：AD⊥BC；‎ ‎(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；‎ ‎22.（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，O，E分别为BD，BC的中点，‎ CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.‎ ‎(1)求证：AO⊥平面BCD；‎ ‎(2)求点E到平面ACD的距离．‎ ‎ 安平中学2018-2019学年第一学期期中考试 高一数学试题答案 一、 选择题BDDBC DCAAA CC 二、填空题 13.平行 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：连接，设,为的中点，又为的中点，所以∥,‎ 又面,面 平面．‎ ‎18.证明：因为PC⊥平面ABCD,‎ 所以PC⊥DC.‎ 又因为DC⊥AC, ‎ 所以DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.‎ 因为PC⊥平面ABCD,‎ 所以PC⊥AB. ‎ ‎ 所以AB⊥平面PAC. 又平面PAB 所以平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎19.证明：分别为的中点,,又面,面面 分别为的中点，则 且 ，所以为平行四边形 ,面,面 面 ‎ 平面AFH∥平面PCE.‎ ‎20.　(1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．‎ 因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．‎ 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．‎ 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC．‎ 而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．‎ ‎(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．‎ 证明如下：连结AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．‎ 连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．‎ MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．‎ ‎ ‎ ‎21.　(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．‎ ‎(2)取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．‎ 在Rt△DAM中，AM＝1，故DM＝＝.因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．‎ 在Rt△DAN中，AN＝1，故DN＝＝.在等腰三角形DMN中，MN＝1‎ 可得cos∠DMN＝＝.所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．‎ ‎22‎ ‎　(1)连结OC．因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD．因为BO＝DO，CB＝CD，所以CO⊥BD．‎ 在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝.而AC＝2，所以AO2＋CO2＝AC2，所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC．因为BD∩OC＝O，所以AO⊥平面BCD．‎ ‎(2)设点E到平面ACD的距离为h.因为VE－ACD＝VA－CDE，所以h·S△ACD＝·AO·S△CDE．‎ 在△ACD中，CA＝CD＝2，AD＝，所以S△ACD＝××＝．‎ 而AO＝1，S△CDE＝＝，所以h＝＝＝．‎ 所以点E到平面ACD的距离为．‎