2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题

2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题

‎2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题 ‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设，则下列各不等式一定成立的是 (▲ )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知向量＝(0，1，1)，＝(1，－2，1)．若向量+与向量＝(m，2，n)平行，则实数n的值是（ ▲）‎ A．6 B．－6 C．4 D．－4‎ ‎3.已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（  ▲  ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ▲ ）‎ A．一鹿、三分鹿之一 B．一鹿 ‎ C．三分鹿之二 D．三分鹿之一 ‎5.已知等比数列为单调递增数列，设其前n项和为，若，，则的值为 （ ▲ ）‎ A．16 B．32 C．8 D．‎ ‎6.下列不等式或命题一定成立的是( ▲ )‎ ①lg(x2+)⩾lg x(x>0); ②sin x+⩾2(x≠kπ,k∈Z)；‎ ‎③x2+1⩾2|x|(x∈R); ④ (x∈R)最小值为2.‎ 11‎ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④‎ ‎7． 已知关于x的不等式的解集为空集,则实数a的取值范围是(  ▲   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 设为数列的前项和,满足，则 （▲　　）‎ A．192 B．96 C．93 D．189‎ ‎9.若正数a、b满足，设，则y的最大值是（ ▲ ）‎ A.12 B. -12 C. 16 D. -16 ‎ ‎10． 正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则的值为（ ▲ ）‎ A．-2 B．4 C．2 D．1‎ ‎11．已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若椭圆上存在点P,使得，则该离心率e的取值范围是（ ▲ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．当n为正整数时，定义函数表示n的最大奇因数。如，，‎ ‎，则 （ ▲ ） ‎ A. 342 B. 345 C. 341 D. 346‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．命题p：“，都有”的否定： ▲ .‎ ‎14．不等式的解集是___▲_______．‎ ‎15.已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么 11‎ 双曲线的渐近线方程为 ▲ ‎ ‎16．已知，那么的最小值为____▲ ______‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本题满分10分） ‎ 已知等差数列的前n项和为，且， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和Tn.‎ ‎▲▲▲‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 已知，函数.‎ ‎（1）若对恒成立，求实数a的取值范围。‎ ‎（2）当a=1时，解不等式.‎ ‎▲▲▲‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 在平面直角坐标系xoy中，曲线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)若直线与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补.‎ ‎ ▲▲▲‎ 11‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．‎ ⑴．设使用年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式；‎ ⑵．求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)．‎ 11‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=6，AB=12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O. 如图2，点P为BC中点，点E在线段AB上(不同于A,B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.‎ ‎(1)证明：OD⊥平面PAQ；‎ ‎(2)若BE=2AE，求二面角C−BQ−A的余弦值。‎ 22. ‎（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C1：，F为左焦点，A为上顶点，B(2,0)为右顶点，若 ‎，抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F．‎ ‎ (1)求C1的标准方程；‎ ‎ (2)是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得S△OPQ=S△OMN？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 11‎ ‎2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题 一、 选择题 B D A B A C C D A D A A 二、 填空题 ‎13.使得 14. 15. 16. 10‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本题满分10分） ‎ 已知等差数列的前n项和为，且， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和Tn.‎ ‎17.（1）在等差数列中，，‎ ‎，‎ 解得,………………………………………………………………………….3分 综上所述，数列的通项公式是……………………………………….5分 ‎（2）由(1)知：，又因为 ‎，……………………………………….7分 ‎………………………………………………………………..10分 综上所述，数列的前n项和是.………………………………………..10分 11‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 已知，函数.‎ ‎（1）若对恒成立，求实数a的取值范围。‎ ‎（2）当a=1时，解不等式.‎ ‎18.(1)∵f(x)⩽2x对x∈(0,2)恒成立，‎ ‎∴a⩽+2x对x∈(0,2)恒成立，……………………………………………………………….2分 ‎∵x>0∴+2x⩾2，当且仅当=2x，即x=时等号成立，…………………….....4分 ‎∴a⩽2…………………………………………………………………………………….....6分 ‎(2)当a=1时，f(x)=1−，∵f(x)⩾2x，∴1−⩾2x， ①若x>0，则1−⩾2x可化为：2x2−x+1⩽0，所以x∈∅；………………………………...8分 ②若x<0，则1−⩾2x可化为：2x2−x−1⩾0，解得：x⩾1或x⩽−，‎ ‎∵x<0，∴x⩽−，………………………………………………………………………….....10分 由①②可得1−⩾2x的解集为：(−∞, −]………………………………..…………….....12分 ‎19.（本题满分12分）‎ 在平面直角坐标系xoy中，曲线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)若直线与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补.‎ 11‎ ‎19(1)曲线C上的动点M(x,y)(x>0)到点F(2,0)的距离减去M到直线x=−1的距离等于1，‎ 所以动点M到直线x=−2的距离与它到点F(2,0)的距离相等，‎ 故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线y2=8x. …………..………………………………………….....4分 ‎(2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2). ‎ 联立,得k2x2+(4k2−8)x+4k2=0,(k≠0). ……………………………………6分 ‎∴△>0，, x1x2=4………………………………………………………8分 ‎∴直线FA与直线FB的斜率之和=‎ ‎=‎ ‎==‎ 因为x1x2=4∴直线FA与直线FB的斜率之和为0， ……………………………………11分 ‎∴直线FA与直线FB的倾斜角互补。……………………………………………………12分 ‎20.（本题满分12分）‎ ‎【解】‎ ⑴．依题意f(n)＝14．4(0．20．40．6…0．2n)0．9n…………………2分 ‎＝14．40．1n(n＋1)0．9n ‎＝0．1n2＋n＋14．4，n∈N*……………………………………………5分(没有定义域扣1分)‎ ⑵．设该车的年平均费用为S万元，则有 S＝f(n)＝(0．1n2＋n＋14．4)＝n＋14．4＋1………………………………………7分 ‎∵n是正整数，故n＋14．4＋1≥2．4＋1＝3．4，……………………………10分 当且仅当n＝(14．4)，即n＝12时，等号成立．………………………………11分 故汽车使用12年报废为宜．……………………………………………………………12分 ‎21.（本题满分12分）‎ ‎(1)解法一(几何法)‎ 证明：取OO1的中点为F,连接AF,PF;‎ ‎∴PF∥OB，‎ ‎∵AQ∥OB,∴PF∥AQ，‎ ‎∴P、F. A. Q四点共面，‎ 11‎ 又由图1可知OB⊥OO1，‎ ‎∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，‎ 且平面ADO1O∩平面BCO1O=OO1，‎ ‎∴OB⊥平面ADO1O，‎ ‎∴PF⊥平面ADO1O，‎ 又∵OD⊂平面ADO1O，‎ ‎∴PF⊥OD. ……………………………………………….. 2分 在直角梯形ADO1O中,..,OF=O1D,∠AOF=∠OO1D,∴△AOF≌△OO1D,∴∠FAO=∠DOO1，‎ ‎∴∠FAO+∠AOD=∠DOO1+∠AOD=90∘，‎ ‎∴AF⊥OD. ……………………………………………….. 4分 ‎∵AF∩PF=F，且AF⊂平面PAQ，PF⊂平面PAQ，‎ ‎∴OD⊥平面PAQ. ……………………………………………….. 6分 解法二(向量法) ‎ 由题设知OA,OB,OO1两两垂直,所以以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m，‎ 则相关各点的坐标为O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0).‎ ‎∵点P为BC中点,∴P(0,,3)， ‎ ‎∴=(3,0,6), =(0,m,0) =(6,m−,−3)，………………………………………………………………………….. 2分 ‎∵·=0, ·=0‎ ‎∴⊥, ⊥且与不共线，……………………………… ……….4分 ‎∴OD⊥平面PAQ. …………………………………………………………………………... 6分 ‎(2)∵BE=2AE,AQ∥OB,∴AQ=OB=3，‎ 则Q(6,3,0),∴ =(−6,3,0), =(0,−3,6).‎ 11‎ 设平面CBQ的法向量为 =(x,y,z)，‎ ‎∵∴‎ 令z=1,则y=2,x=1,则=(1,2,1)，…………………………………………………………….. 8分 又显然,平面ABQ的法向量为=(0,0,1)，……………………………………..…………. 10分 设二面角C−BQ−A的平面角为θ，由图可知，θ为锐角，‎ 则cosθ==.…………………………………………………..…………………. 12分 ‎22（本题满分12分）‎ (1) 依题意可知，即 ‎ 由右顶点为B(2,0)，得a=2，解得b2=3，‎ 所以C1的标准方程为．……………………………………………….. 3分 (2) 依题意可知C2的方程为y2=−4x，………………………………………………..4分 假设存在符合题意的直线，‎ 设直线方程为x=ky−1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)，‎ 联立方程组得(3k2+4)y2−6ky−9=0， ‎ 由韦达定理得y1+y2=，y1y2=， ‎ 则|y1−y2|==，……………………………………………...6分 ‎（写出PQ长度也可以）‎ 联立方程组，得y2+4ky−4=0，‎ 由韦达定理得y3+y4=−4k，y3y4=−4，‎ 所以|y3−y4|==，………………………………………….... 8‎ 11‎ 分 ‎（写出MN长度也可以）‎ 若S△OPQ=S△OMN，则PQ=2MN，…………………………….………………………….. 10分 则|y1−y2|=|y3−y4|，即=，解得k=，‎ 所以存在符合题意的直线方程为x+y+1=0或x−y+1=0．…………………..... 12分 11‎