数学理卷·2019届湖南省新化县第一中学高二下学期入学考试（2018-03）

数学理卷·2019届湖南省新化县第一中学高二下学期入学考试（2018-03）

新化一中2017-2018学年度第二学期入学考试 高二数学（理科）试题 时 间：120分钟 满 分：150分 命题人：胡胜虎 审题人：吴文凯 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1、已知集合，则（ ）‎ ‎2、 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3、命题“任意一个无理数，它的平方不是有理数”的否定是（ ）‎ A、存在一个有理数，它的平方是无理数。‎ B、任意一个无理数，它的平方是有理数。‎ C、任意一个有理数，它的平方是有理数。‎ D、存在一个无理数，它的平方是有理数。‎ 否 是 第6题 ‎4、“”是“方程表示图形为双曲线”的（ ）‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 ‎ C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎5、在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、如果执行右面的程序框图，那么输出的（　 　）‎ A、22 B、‎46 ‎ C、 D、190‎ ‎7、已知双曲线的一个焦点为，且渐近线与圆 相切，则双曲线的方程为（　 　）‎ A．　　B． 　 C． D．‎ ‎8、在△中，已知，则=（ ）‎ ‎9、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（　 　）‎ A．B．C． D．‎ ‎10、甲、乙、丙三个人在一起做作业，有一道数学题比较难，当他们三个人都把自己的解法说出来以后，甲说：“我做错了。”乙说：“甲做对了。”丙说：“我做错了。”在一旁的丁看到他们的答案并听了她们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个人说对了。”请问，他们三人中到底谁做对了？( )‎ A、甲 B、乙 C、丙 D、无法判断 ‎11、设是椭圆的左、右焦点，为直线 上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12、已知函数对任意的满足 （其中是函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、等差数列中, ，‎ ‎，则的通项公式为 ．‎ ‎14、若正数满足，则的最小值为 ‎ ‎15、已知，式中变量，满足下列条件： ，若的最大值为，则的值为 ．‎ ‎16、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B,则|AB|等于 ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．‎ ‎17、（10分）已知函数．若函数的图象在点处的切线与直平行，函数f(x)在处取得极值，‎ ‎（1）求函数f(x)的解析式；‎ ‎（2）求函数在的最值．‎ ‎18. (12分) 已知等差数列的前项和为，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎19、(12分) 在中，的对边分别是，已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎(2)若，求边的值．‎ ‎20、(12分) 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面平面，‎ P A B C D ‎，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎21、（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，一个顶点为C（2，0），离心率为，，。‎ ‎（1）求椭圆E的方程，并求其焦点坐标； ‎ ‎（2）设直线R交椭圆于、两点，试探究：点与以线段为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．‎ M ‎ ‎ ‎22．(12分) 若函数. ‎ ‎ （1）求函数的单调区间 ‎ （2）若若对所有的都有成立，求实数a的取值范围.‎ 新化一中2018年上学期入学考试高二数学（理）试卷 时 间：120分钟 满 分：150分 命题人：胡胜虎 审题人：吴文凯 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1、已知集合，则（ C ）‎ ‎2、 （ C ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3、命题“任意一个无理数，它的平方不是有理数”的否定是（ D ）‎ A、存在一个有理数，它的平方是无理数。‎ B、任意一个无理数，它的平方是有理数。‎ C、任意一个有理数，它的平方是有理数。‎ D、存在一个无理数，它的平方是有理数。‎ 否 是 第6题 ‎4、“”是“方程表示图形为双曲线”的（ A ）‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 ‎ C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎5、在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ C ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、如果执行右面的程序框图，那么输出的（　 B　）‎ A、22 B、‎46 ‎ C、 D、190‎ ‎7、已知双曲线的一个焦点为，且渐近线与圆 相切，则双曲线的方程为（　A 　）‎ A．　　B． 　 C． D．‎ ‎8、在△中，已知，则=（ B ）‎ ‎9、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（　A　）‎ A．B．C． D．‎ ‎10、甲、乙、丙三个人在一起做作业，有一道数学题比较难，当他们三个人都把自己的解法说出来以后，甲说：“我做错了。”乙说：“甲做对了。”丙说：“我做错了。”在一旁的丁看到他们的答案并听了她们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个人说对了。”请问，他们三人中到底谁做对了？( C )‎ A、甲 B、乙 C、丙 D、无法判断 ‎11 设是椭圆的左、右焦点，为直线 上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ C ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12已知函数对任意的满足 （其中是函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ A ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、等差数列中, ，，则的通项公式为 ．‎ ‎14、若正数满足，则的最小值为 8 ‎ ‎15、已知，式中变量，满足下列条件： ，若的最大值为，则的值为 ． ‎ ‎16、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B,则|AB|等于 ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．‎ ‎17、（10分）已知函数．若函数的图象在点处的切线与直平行，函数f(x)在处取得极值，‎ ‎（1）求函数f(x)的解析式；‎ ‎（2）求函数在的最值．‎ 解：（Ⅰ）∵，∴．…………1分 由题意得， 即，解得．经检验符合题意，‎ ‎∴；…………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令得，…………7分 列表如下： ‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎…………9分 由表中可知时，，．…………10分 ‎18. (12分) 已知等差数列的前项和为，且，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则由条件得 ‎ ，…………………………………2分 解得， ……………………………………4分 所以通项公式，即……………………6分 ‎（Ⅱ）令，解得， ‎ ‎∴ 当时，；当时， ………………8分 ‎ ‎ ‎ ………10分 ‎ ……………12分 ‎19、(12分) 在中，的对边分别是，已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎(2)若，求边的值．‎ 解：（1）由 正弦定理得：‎ ‎ 所以，又，所以。‎ ‎ （2）由（1）得，‎ 又由，‎ 得 展开得：，‎ 所以，又且，解得，‎ 而，所以。 ‎ ‎20、(12分) 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面平面，‎ P A B C D ‎，.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ P A B C D H M 解：（Ⅰ）证明：取的中点M，连结. …1分 由，得，‎ 由，得， …………………2分 且.‎ 平面.………………………………3分 平面，‎ ‎. …………………………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）在平面中，过点作于点， 连结，交于.‎ ‎…………………………………………………………………………………………………5分 P A B C D H O x y z ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎. ………………………6分 由（1）及，‎ 平面，‎ ‎，…………………………………7分 在中，，即.‎ ‎，.‎ 在中，，.‎ ‎.………………………………8分 以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x ，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，..‎ ‎，.…………………………………………9分 设平面的法向量是，则 ‎，，‎ 即，得其中一个法向量为. …………………………10分 设直线与平面所成角为，又，则.‎ 直线与平面所成角的正弦值为.……………………………………………………12分 ‎21、（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，一个顶点为C（2，0），离心率为，，。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程，并求其焦点坐标； ‎ ‎（Ⅱ）设直线R交椭圆于、两点，试探究：点与以线段为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．‎ M ‎22．（Ⅰ）解：由题意可得：a=2，，a2=b2+c2，联立解得a=2，c=b=．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为： =1，其焦点坐标为：．…………………………4分 ‎（Ⅱ）设点，‎ 由，∴，，‎ ‎ ……………………………6分 ‎∵，，∴‎ ‎ ， ……………10分 ‎ ∴，又不共线，∴为锐角，………………11分 因此，点在以为直径的圆外． ……………………………………12分 ‎22．(12分) 若函数. ‎ ‎ （I）求函数的单调区间 ‎ （II）若若对所有的都有成立，求实数a的取值范围.‎ 解:（1）的定义域为,.‎ ‎ .‎ ‎ ①当.‎ ‎ ②时, …………………2分 ‎ .…3分 ‎ .‎ ‎ ‎ ‎ .………………………………5分 综上, ;‎ ‎ 单调递减区间为.‎ ‎ 的单调递增区间（0，+）. …………………6分 ‎ （2）.‎ ‎ ,则.‎ ‎∵当时，，∴函数在区间上是增函数。 ‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎ .‎ ‎ . …………………12分 ‎ 另解：, ‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ 单增.‎ ‎ ①当,‎ ‎ .‎ ‎ .‎ ‎ ②当.‎ ‎ ‎ ‎ 不成立.‎ ‎ 综上所述. ……………………12分