数学（理）卷·2018届广东省佛山一中高二下学期第一次段考（2017-03）
2016-2017 学年下学期高二第一次段考数学(理科)试题
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请把正确填涂在答题卡上．
1. 若函数 在点 处的切线斜率为 1，则极限
的值是（ ）
2.如图是函数 y＝f(x)的导函数 f ′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上 f(x)是增函数 B．在(1,3)上 f(x)是减函数
C．在(4,5)上 f(x)是增函数 D．当 x＝4 时，f(x)取极大值
3.设是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.抛物线 y＝ax2 的准线方程为 y＝－1，则实数 a 的值是( )
A.
1
4 B.
1
2 C．4 D．2
5. 如图，长方体 中， ，
则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
6. 若双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上，且 ，
则 等于（ ）。
A．11 B．9 C．5 D．3
7．已知 f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a
0； ②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8.函数 f(x)在定义域 R 内可导，f(x)＝f(2－x)，当 x∈(－∞，1)时，(x－1)f ′
(x)<0，设 a＝f(0)，b＝f(
1
2)，c＝f(3)，则( )
A．a3) 15. ． 16.
三、解答题．本大题共 6 小题，满分 70 分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
17.（本小题满分 10 分）
解：(1) 因为 时，，所以 …..........................2 分
(2) 由（1）可知，该商品每日的销售量
…..........................3 分
所以商场每日销售该商品所获得的利润
…..........................5 分
从而，
…..........................6 分
于是，当 变化时， 的变化情况如下表：
由上表可得， 是函数。 在区间。 内的极大值点，也是最大值点． ..........8 分
所以，当 时，函数。 取得最大值，且最大值等于 ． .............9 分
所以，当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．.............10 分
18.（本小题满分 12 分）
1）因为平面 平面 ， 平面 ，
且 ，所以 平面 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 平面 ； ......3 分
（2）如图所示建立空间直角坐标系，
设直线 与平面 所成角为 ，根据已知条件解出各点坐标， 、 、
、 ，则有 ， ， ，设平面
的法向量为 ，由，得 ，所以
，
又因为直线 与平面 所成角为锐角，所以所求线面角的正弦值
为 ； . .....8 分
（3）假设存在这样的 点，
设点 的坐标为 ，则 ，要使直线 平面 ，
即需要求 ，所以 ，解得 ，此时 。 ......12 分
19. （本小题满分 12 分）
(1)函数 f(x)的定义域为{x|x>0}， f′(x)＝
a
x＋
1
x2.
又曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线 x＋2y＝0 垂直，..
由于 f′(x)＝
ax＋1
x2 .所以 f′(1)＝a＋1＝2，即 a＝1. ....4 分
(2)当 a≥0 时，对于 x∈(0，＋∞)，有 f′(x)>0 在定义域上恒成立，.............6 分
即 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
当 a<0 时，由 f′(x)＝0，得 x＝－
1
a∈(0，＋∞)．.............9 分
当 x∈(0，－
1
a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当 x∈(－
1
a，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．.............12 分
20. （本小题满分 12 分）
解：(1) 当 时， ，
…..........................1 分
由 得， …..........................2 分
当 时， ； 当 时， ； .........3 分
所以 的极大值为 ，极小值为 . …..........5 分
(2) 的定义域为 ，
.........6 分
由 得， …..........................7 分
1 若 ，即 ， ，所以 在 上单调递增，
的最小值为 ； …..........................8 分
② 若 ，即 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 是 的极小值点，
的最小值为 ； …..........................10
分
③ 若 ，即 ， ，所以 在 上单调递减，
的最小值为 ； ….........................11 分
综上， ..............12 分
21. （本小题满分 12 分）
(Ⅰ)证明: 底面 ABCD, ,
以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴,
建立空间直角坐标系,
根据题意
, , , , , ,
, , .................3 分
(Ⅱ)解:, , ,由点 F 在棱 PC 上,设
, , ,
, ,计算得出 ,................9 分
设平面 FBA 的法向量为 ,
则 ,取 ,得 ,..........................3 分
取平面 ABP 的法向量 ,则二面角 的平面角满足:
,二面角 的余弦值为 .......12 分
22. （本小题满分 12 分）
（1）设 ，由条件知， ，得 。又 ，所以 ，
，故 的方程为 。..........................4 分
（2）根据题意，直线斜率存在，设： ， ， ，将
代入 得 。.........................6 分
当 ，即 时， ， 。
从而 。.........................8 分
又点 到直线 的距离 ，所以 的面积
。 ..........................10 分
设 ，则 ， 。因为 ，当且仅当 ，
即 时等号成立，且满足 。所以，当 的面积最大时，
的方程为 或 。..........................12 分
