2020-2021学年高一数学单元复习真题训练：指数函数与对数函数

2020-2021学年高一数学单元复习真题训练：指数函数与对数函数

2020-2021 学年高一数学单元复习真题训练：指数函数与对数函 数 1．设 a＝30.7，b＝（ퟏ ퟑ）﹣0.8，c＝log0.70.8，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【答案】D 【解析】a＝30.7，b＝（ퟏ ퟑ）﹣0.8＝30.8，则 b＞a＞1， log0.70.8＜log0.70.7＝1，∴c＜a＜b，故选：D． 2．设 alog34＝2，则 4﹣a＝（ ） A． ퟏ ퟏퟔ B．ퟏ ퟗ C．ퟏ ퟖ D．ퟏ ퟔ 【答案】B 【解析】因为 alog34＝2，则 log34a＝2，则 4a＝32＝9 则 4﹣a= ퟏ ퟒ풂 = ퟏ ퟗ，故选：B． 3．设 a＝log32，b＝log53，c= ퟐ ퟑ，则（ ） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【答案】A 【解析】∵a＝log32= 풍풐품ퟑ √ퟖퟑ ＜풍풐품ퟑ √ퟗퟑ = ퟐ ퟑ，b＝log53= 풍풐품ퟓ √ퟐퟕퟑ ＞풍풐품ퟓ √ퟐퟓퟑ = ퟐ ퟑ， c= ퟐ ퟑ，∴a＜c＜b．故选：A． 4．已知 55＜84，134＜85．设 a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【答案】A 【解析】∵풂 풃 = 풍풐품ퟓퟑ 풍풐품ퟖퟓ =log53•log58＜ (풍풐품ퟓퟑ+풍풐품ퟓퟖ)ퟐ ퟒ = (풍풐품ퟓퟐퟒ ퟐ )ퟐ＜1，∴a＜b； ∵55＜84，∴5＜4log58，∴log58＞1.25，∴b＝log85＜0.8； ∵134＜85，∴4＜5log138，∴c＝log138＞0.8，∴c＞b， 综上，c＞b＞a．故选：A． 5．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区 新冠肺炎累计确诊病例数 I（t）（ t 的单位：天）的 Logistic 模型：I（t）= 푲 ퟏ+풆−ퟎ.ퟐퟑ(풕−ퟓퟑ)，其中 K 为最大确诊病例数．当 I（t*）＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为（ ）（ ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 【答案】C 【解析】由已知可得 푲 ퟏ+풆−ퟎ.ퟐퟑ(풕−ퟓퟑ) =0.95K，解得 e﹣0.23（t﹣53）= ퟏ ퟏퟗ， 两边取对数有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19，解得 t≈66，故选：C． 6．基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的 平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模 型：I（t）＝ert 描述累计感染病例数 I（t）随时间 t（单位：天）的变化规律，指数增长率 r 与 R0， T 近似满足 R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出 R0＝3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶 段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为（ ）（ ln2≈0.69） A．1.2 天 B．1.8 天 C．2.5 天 D．3.5 天 【答案】B 【解析】把 R0＝3.28，T＝6 代入 R0＝1+rT，可得 r＝0.38，∴I（t）＝e0.38t， 当 t＝0 时，I（0）＝1，则 e0.38t＝2，两边取对数得 0.38t＝ln2，解得 t= 풍풏ퟐ ퟎ.ퟑퟖ ≈1.8．故选 B． 7．若 2a+log2a＝4b+2log4b，则（ ） A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2 【答案】B 【解析】因为 2a+log2a＝4b+2log4b＝22b+log2b； 因为 22b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1 即 2a+log2a＜22b+log22b； 令 f（x）＝2x+log2x，由指对数函数的单调性可得 f（x）在（0，+∞）内单调递增； 且 f（a）＜f（2b）⇒a＜2b；故选 B． 8．已知 a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【答案】A 【解析】由题意，可知：a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2， c＝0.30.2＜1，∴c＜b＜a．故选：A． 9．已知 a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【答案】A 【解析】由题意，可知：a＝log52＜1， b＝log0.50.2= 풍풐품ퟏ ퟐ ퟏ ퟓ = 풍풐품ퟐ−ퟏퟓ−ퟏ =log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1， ∴b 最大，a、c 都小于 1． ∵a＝log52= ퟏ 풍풐품ퟐퟓ，c＝0.50.2= (ퟏ ퟐ) ퟏ ퟓ = √ퟏ ퟐ ퟓ = ퟏ √ퟐퟓ ． 而 log25＞log24＝2＞√ퟐퟓ ，∴ ퟏ 풍풐품ퟐퟓ ＜ ퟏ √ퟐퟓ ．∴a＜c，∴a＜c＜b．故选：A． 10．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 m2﹣m1= ퟓ ퟐlg푬ퟏ 푬ퟐ ，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣ 1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1 【答案】A 【解析】设太阳的星等是 m1＝﹣26.7，天狼星的星等是 m2＝﹣1.45， 由题意可得：−ퟏ.ퟒퟓ − (−ퟐퟔ.ퟕ) = ퟓ ퟐ 풍품 푬ퟏ 푬ퟐ ， ∴풍품 푬ퟏ 푬ퟐ = ퟓퟎ.ퟓ ퟓ = ퟏퟎ. ퟏ，则푬ퟏ 푬ퟐ = ퟏퟎퟏퟎ.ퟏ．故选：A． 11．已知函数 f（x）＝log2（x2+a），若 f（3）＝1，则 a＝ ﹣7 ． 【答案】﹣7 【解析】函数 f（x）＝log2（x2+a），若 f（3）＝1， 可得：log2（9+a）＝1，可得 a＝﹣7． 故答案为：﹣7．