2018-2019学年江苏省东台市创新学校高二5月检测数学（文）试题 word版

2018-2019学年江苏省东台市创新学校高二5月检测数学（文）试题 word版

东台创新高级中学2018-2019学年度第二学期 ‎2017级数学5月份检测试卷（文科）‎ ‎（考试时间：120分钟 满分：160分）‎ 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分.请把答案填写在答题纸的指定位置上．）‎ ‎1. 已知，，则 = ‎ ‎2．函数的定义域是__________．‎ ‎3.已知角510°的终边经过点，则实数a的值是 ▲ .‎ ‎4.已知函数为偶函数，则实数a的值是 ▲ .‎ ‎5．已知单位向量的夹角为120°，则的值是 ▲ ．‎ ‎6.已知集合U＝{x|1＜x＜6，x∈N }，A＝{2，3}，那么∁A＝ ▲ ．‎ ‎7.若实数x，y满足，则x＋3y的最小值为 ▲ ．‎ ‎8.在平面直角坐标系中，圆被直线所截得 的弦长为 ▲ ．‎ ‎9.设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．‎ ‎10.若函数f(x)＝，则f(log23)＝ ▲ ．‎ ‎11.函数f(x)＝2sin(ωx＋)，其中ω＞0．若x1，x2是方程f(x)＝2的两个不同的实数根，‎ 且|x1－x2|的最小值为π．则当x∈[0，]时，f(x)的最小值为 ▲ ．‎ 12. ‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a＝8b，A＝2B，‎ 则sin＝________．‎ ‎13.已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是夹角为60°的两个单位向量．若向量c满足c·(a＋2b)＝－5，则|c|的最小值为 ▲ ．‎ ‎14.已知正数满足，则的最小值是 ▲ ．‎ 二、解答题：(本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)‎ ‎15.（本题14分）‎ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，‎ ‎.‎ ‎（1）求的值； （2）若，求的面积.‎ 16. ‎（本题14分）‎ 设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.‎ ‎(1)求a的值及f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值．‎ 17. ‎（本题14分）‎ 某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为 ‎1万元，每生产（百套）的销售额（单位：万元）‎ ‎ （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？‎ ‎ （2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．‎ ‎ （注：利润销售额成本，其中成本设计费生产成本）‎ ‎.‎ 16. ‎（本题16分）‎ 已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acos B＋bcos A＝ ．‎ ‎（1）求证：A＝C；‎ ‎（2）若b＝2，·＝1，求sin B的值．‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且 过O x A B P y E F ‎（第19题）‎ 点O x y A B P E F ‎（第18题）‎ ．设为椭圆在第一象限上的点，，分别为椭圆的左顶点和 下顶点，且交轴于点，交轴于点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若为椭圆的右焦点，求点的坐标；‎ ‎（3）求证：四边形的面积为定值．‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 已知函数f(x)＝lnx＋＋1，a∈R．‎ ‎（1）若函数f(x)在x＝1处的切线为y＝2x＋b，求a，b的值；‎ ‎（2）记g(x)＝f(x)＋ax，若函数g(x)在区间(0，)上有最小值，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）当a＝0时，关于x的方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．‎ ‎ ‎ 高二数学5月份月考答案(文科)‎ 一、 填空题 ‎1. ． 2. 3. 1 4． 0‎ ‎5. 6. {4，5} 7． －5 8. 9. 必要不充分 ‎10. 11. 12. 13. ‎ ‎ 14． 2【解析】设，，则．‎ 因为 ‎（当且仅当时取“”），所以，解得，所以的最小值是2． ‎ 二、 解答题 ‎15．：解：（1）由，且得……2分 ‎ 因为A+B+C=，所以 又因为 所以 ………………………………4分 得 若，则不符合上式，所以 所以 ……………………………………………………………………………7分 ‎（2）由，且 得，……………………………………………………………9分 ‎ ‎ ‎ 由得 ……………………………………………………………12分 ‎ ……………………………………………………………14分 ‎16.解：解　(1)∵f(1)＝2，‎ ‎∴loga4＝2(a>0，a≠1)，‎ ‎∴a＝2.∴f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)．‎ 由得－1＜x＜3，‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．‎ ‎(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)‎ ‎＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，‎ ‎∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；‎ 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，‎ 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.‎ 17. 解：（1）考虑时，利润． ‎ 令得，，从而，即． ‎ ‎（2）当时，由（1）知，‎ 所以当时，（万元）． ‎ 当时，利润． ‎ 因为（当且仅当即时，取“=”），‎ 所以（万元）． ‎ 综上，当时，（万元）．‎ 答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；‎ ‎ （2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为万元． ‎ ‎18‎ ‎（1）由正弦定理＝＝＝2R ，得a＝2RsinA ，b＝2RsinB，c＝2RsinC，‎ ‎ 代入acosB＋bcosA＝，得 (sinAcosB＋sinBcosA) cosC＝sinCcosA， 2分 ‎ 即sin(A＋B)cosC＝sinCcosA．‎ 因为A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC，‎ 所以sinCcosC＝sinCcosA， 4分 因为C是△ABC的内角，所以sinC≠0，所以cosC＝cosA．‎ 又因为A，C是△ABC的内角，所以A＝C． 6分 ‎（2）由（1）知，因为A＝C，所以a＝c，所以cosB＝＝． 8分 因为·＝1，所以a2cosB＝a2－2＝1，所以a2＝3． 10分 所以cosB＝． 12分 因为B∈(0，π)，所以sinB＝＝． 14分 ‎19.解：（1）依题意，，，其中， ‎ 解得．‎ 因为，所以． ‎ ‎（2）由（1）知，椭圆的右焦点为，椭圆的方程为，①‎ 所以．从而直线的方程为：． ②‎ 由①②得，．从而直线的方程为：．‎ 令，得，所以点的坐标为． ‎ ‎（3）设（），且，即．‎ 则直线的方程为：，令，得．‎ 直线的方程为：，令，得． ‎ 所以四边形的面积 ‎ ． ‎ ‎20 解：（1）f′(x)＝－，则f′(1)＝1－a＝2，解得a＝－1，则f(x)＝lnx－＋1，‎ ‎ 此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1， 0)，‎ ‎ 代入切线方程，得b＝－2，‎ 所以a＝－1，b＝－2． 2分 ‎（2）g(x)＝f(x)＋ax＝lnx＋＋ax＋1，g′(x)＝－＋a＝．‎ ‎①当a＝0时，g′(x)＝＞0，则g(x)在区间(0，)上为增函数，‎ ‎ 则g(x)在区间(0，)上无最小值． …………………………………………4分 ‎②当a≠0时，方程ax2＋x－a＝0的判别式Δ＝1＋4a2＞0，‎ ‎ 则方程有两个不相等的实数根，设为x1，x2，‎ 由韦达定理得x1x2＝－1，则两根一正一负，不妨设x1＜0＜x2.‎ 设函数m(x)＝ax2＋x－a(x＞0)，‎ ‎（i）若a＞0，‎ 若x2∈(0，) ，则m(0)＝－a＜0 ，m()＝＋－a＞0 ，解得0＜a＜．‎ 此时x∈(0，x2)时，m(x)＜0，则g(x)递减；‎ x∈(x2，)时，m(x)＞0，则g(x)递增，‎ ‎ 当x＝x2时，g(x)取极小值，即为最小值．‎ 若x2≥，则x∈(0，)，m(x)＜0，g(x)在(0，)单调减，无最小值．‎ ‎ 6分 ‎（ii）若a＜0，‎ x∈(0，x2)时，m(x)＞0，则g(x)递增；‎ x∈(x2，＋∞)时，m(x)＜0，则g(x)递减，‎ 在区间(0，)上，g(x)不会有最小值．‎ 所以a＜0不满足条件．‎ ‎ 综上，当0＜a＜时，g(x)在区间(0，)上有最小值．…………………………8分 ‎（3）当a＝0时，由方程f(x)＝bx2，得lnx＋1－bx2＝0，‎ 记h(x)＝lnx＋1－bx2，x＞0，则h′(x)＝－2bx＝．‎ ‎①当b≤0时，h′(x)＞0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上为增函数，‎ ‎ 则函数h(x)至多只有一个零点，即方程f(x)＝bx2至多只有一个实数根，‎ ‎ 所以b≤0不符合题意．………………………………………………………10分 ‎ ②当b＞0时，‎ 当x∈(0，)时，h′(x)＞0，所以函数h(x)递增； ‎ 当x∈(，＋∞)时，h′(x)＜0，所以函数h(x)递减，‎ 则h(x)max＝h()＝ln＋．‎ 要使方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根，‎ 则h()＝ln＋＞0，解得0＜b＜．………………………………12分 ‎ （i）当0＜b＜时，h()＝－＜0．‎ ‎ 又()2－()2＝＜0，则＜，‎ ‎ 所以存在唯一的x1∈(，)，使得h(x1)＝0．…………………………14分 ‎ （ii）h()＝ln＋1－＝－lnb＋1－， 记k(b)＝－lnb＋1－，0＜b＜，‎ ‎ 因为k′(b)＝－＋＝，则k(b)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函数，‎ ‎ 则k(b)max＝k(1)＝0，则h()≤0．‎ ‎ 又()2－()2＝＞0，即＞，‎ ‎ 所以存在唯一的x2∈(，]，使得h(x2)＝0，‎ ‎ 综上，当0＜b＜时，方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根．………………16分