高考数学复习 17-18版 第1章 第1课 集合的概念与运算

高考数学复习 17-18版 第1章 第1课 集合的概念与运算

第一章　集合与常用逻辑用语 第 1 课集合的概念与运算 [最新考纲] 要求 内容 A B C 集合及其表示 √ 子集 √ 交集、并集、补集 √ 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． 2．集合间的基本关系 (1)子集：若对∀x∈A，都有 x∈B，则 A⊆B 或 B⊇A. (2)真子集：若 A⊆B，但∃x∈B，且 x∉A，则 AB 或 BA. (3)相等：若 A⊆B，且 B⊆A，则 A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 并集 交集 补集 图形表示 符号表示 A∪B A∩B ∁UA 意义 {x|x∈A 或 x∈B} {x|x∈A 且 x∈B} {x|x∈U 且 x∉A} 4.集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有 2n－1 个． (2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. (3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. (4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何集合都有两个子集．(　　) (2)已知集合 A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则 A＝B＝C.(　　) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.(　　) (4)若 A∩B＝A∩C，则 B＝C.(　　) [解析]　(1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的． (2)错误．集合 A 是函数 y＝x2 的定义域，即 A＝(－∞，＋∞)；集合 B 是函 数 y＝x2 的值域，即 B＝[0，＋∞)；集合 C 是抛物线 y＝x2 上的点集．因此 A， B，C 不相等． (3)错误．当 x＝1 时，不满足互异性． (4)错误．当 A＝∅时，B，C 可为任意集合． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改编)已知集合 A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2a}，若 A∩B＝∅，则实数 a 的取值范围 是________． (1)1　(2)0 或 3　(3)[1，＋∞)　[(1)∵A＝{－1,0,1}，B＝{a－1，a＋1 a}，A∩B ＝{0}， ∴a－1＝0 或 a＋1 a ＝0(舍去)， ∴a＝1. (2)由 A∪B＝A 可知 B⊆A， 又 A＝{1,3， m}，B＝{1，m}， 所以 m＝3 或 m＝ m，解得 m＝0 或 m＝3 或 m＝1(舍去)． (3)由 A∩B＝∅可知，a≥1.] [规律方法]　1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性，然后 利用交集和并集的定义求解． 2．在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观 化．一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用 数轴表示时要注意端点值的取舍． 易错警示：在解决有关 A∩B＝∅，A⊆B 等集合问题时，往往忽视空集的情 况，一定要先考虑∅是否成立，以防漏解． [思想与方法] 1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能 顺利找到解题的切入点；另一方面，对求出的字母的值，应检验是否满足集合元 素的互异性，以确保答案正确． 2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意的是：首先，过好转化关， 即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法 解决． 3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn 图求解． (1)对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续 数集间的关系，求其中参数的取值范围，关键在于转化成关于参数的方程或不等 式关系． (2)对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助 Venn 图，这是数 形结合思想的又一体现． [易错与防范] 1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集 合)，要对集合进行化简． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的 讨论，以防漏解． 3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集 合的包含关系． 4．Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其 中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心． 课时分层训练(一) A 组　基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、填空题 1．(2017·苏州期中)已知集合 A＝{0,1}，B＝{－1,0}，则 A∪B＝________. {－1,0,1}　[A∪B＝{0,1}∪{－1,0}＝{－1,0,1}．] 2．(2017·南京模拟)设集合 A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则 A∩B＝ ________. 【导学号：62172002】 {x|0≤x≤2}　[A∩B＝{x|－1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4} ＝{x|0≤x≤2}．] 3．(2017·南通第一次学情检测)已知集合 A＝{x|00}，B＝{－1,0,1,2}，则 A∩B＝________. {1,2}　[A∩B＝{x|x>0}∩{－1,0,1,2}＝{1,2}．] 8 ． 设 全 集 U ＝ {1,2,3,4} ， 集 合 A ＝ {1,3} ， B ＝ {2,3} ， 则 B∩( ∁ UA) ＝ ________. 【导学号：62172003】 {2}　[∵A＝{1,3}，∴∁UA＝{2,4}，∴B∩(∁UA)＝{2,3}∩{2,4}＝{2}．] 9．设集合 A＝{1,2,4}，集合 B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合 B 中的 元素个数为________． 6　[∵A＝{1,2,4}，B＝{2,3,4,5,6,8}， ∴集合 B 中共有 6 个元素．] 10．已知集合 A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合 A∩B 中 元素的个数为________． 2　[集合 A 中元素满足 x＝3n＋2，n∈N，即被 3 除余 2，而集合 B 中满足 这一要求的元素只有 8 和 14.共 2 个元素．] 11．(2017·无锡模拟)已知 A＝{a＋2，(a＋1) 2，a2＋3a＋3}，若 1∈A，则实 数 a＝________. 【导学号：62172004】 0　[∵1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}， ∴1＝a＋2，或(a＋1)2＝1，或 a2＋3a＋3＝1. ①当 a＋2＝1，即 a＝－1 时，此时 a2＋3a＋3＝1，不满足集合中元素的互 异性； ②当(a＋1)2＝1 时，a＝0 或 a＝－2，又当 a＝－2 时，a2＋3a＋3＝1，不满 足集合中元素的互异性； ③当 a2＋3a＋3＝1 时，a＝－1 或－2，由①②可知，均不满足题意． 综上可知，a＝0.] 12．已知集合 A，B 均为全集 U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝ {1,2}，则 A∩(∁UB)＝________. {3}　[∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}， ∴A∪B＝{1,2,3}． 又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}， 又∁UB＝{3,4}，∴A∩(∁UB)＝{3}．] B 组　能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．(2016·全国卷Ⅱ改编)已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈ Z}，则 A∪B＝________. {0,1,2,3}　[B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}．又 A＝{1,2,3}，所以 A∪B＝{0,1,2,3}．] 2．(2016·天津高考改编)已知集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}， 则 A∩B＝________. {1,4}　[因为集合 B 中，x∈A，所以当 x＝1 时，y＝3－2＝1； 当 x＝2 时，y＝3×2－2＝4； 当 x＝3 时，y＝3×3－2＝7； 当 x＝4 时，y＝3×4－2＝10. 即 B＝{1,4,7,10}． 又因为 A＝{1,2,3,4}，所以 A∩B＝{1,4}．] 3．(2017·盐城模拟)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|y＝lg(x－1)}，集合 B＝{y|y ＝ x2＋2x＋5}，则 A∩B＝________. [2，＋∞)　[∵A＝{x|y＝lg(x－1)}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}， B＝{y|y＝ x2＋2x＋5}＝{y|y≥2}， ∴A∩B＝{x|x≥2}．] 4．(2017·南通中学月考)已知集合 M＝{1,2,3,4}，则集合 P＝{x|x∈M，且 2x ∉M}的子集的个数为________． 4　[由题意可知 P＝{3,4}，故集合 P 的子集共有 22＝4 个．] 5．已知 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若 A∩B＝B，则实数 a 的 值为________. 【导学号：62172005】 0,1,2　[∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}． 由 A∩B＝B 可知 B⊆A. ①当 a＝0 时，B＝∅，满足 A∩B＝B； ②当 a≠0 时，B＝{2 a }， 由 B⊆A 可知，2 a ＝1 或2 a ＝2，即 a＝1 或 a＝2. 综上可知 a 的值为 0,1,2.] 6．若 x∈A，且1 x ∈A，就称 A 是伙伴关系集合，则集合 M＝{－1，0，1 2 ，2，3} 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为________． 3　[具有伙伴关系的元素组是－1，1 2 ，2，所以具有伙伴关系的集合有 3 个： {－1}，{1 2 ，2}，{－1，1 2 ，2}.]