山东省桓台第二中学2019届高三12月月考数学(理)试题

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山东省桓台第二中学2019届高三12月月考数学(理)试题

高三年级考试理数试题 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 抛物线的焦点坐标是 A. ‎ (0,1) B.(1,0) C.(0,2) D.(0,)‎ 2. 已知圆,定点,是圆上的一动点,线段的垂直平分线交半径于点,则点的轨迹的方程是 A. ‎ B. C. D.‎ ‎3.将函数y=3sin(2x+)的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点(,0)中心对称 A. 向左平移个单位 B.向右平移个单位 ‎ C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 ‎4.函数的图象是 5. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. ‎ B. 3π C. D.6π ‎6.已知是双曲线上不同的三点,且连线经过坐标原点,若直线的斜率乘积,则该双曲线的离心率为 A. ‎ B. C. 2 D.3‎ ‎7.已知抛物线上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为 A. ‎ B. C.1 D.2‎ 8. 如图是一个几何体的三视图,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为 A. ‎8 B.4 C.4 D.4‎ ‎9.在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,,点P为三角形ABC所在平面上一动点,且满足=1,则的取值范围是 A. ‎ B. C. [-2,2] D.‎ ‎10.已知是椭圆的左、右焦点,点M(2,3),则∠的角平分线的斜率为 A. ‎1 B. C. 2 D.‎ ‎11.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为下图中的 ‎12.已知球O与棱长为4的正方体的所有棱都相切,点M是球O上一点,点N是△的外接圆上的一点,则线段的取值范围是 A. B. ‎ C. D.‎ 一、 填空题:本题共4小题,每小题5分。‎ ‎13.已知cos()=,则sin()= .‎ ‎14.若等差数列满足,则当= 时,的前项和最大.‎ ‎15.如图1,在矩形ABCD中, AB=2,BC=1,E是DC的中点;如图2,将△DAE沿AE折起,使折起后平面DAE⊥平面ABCE,则异面直线AE和DB所成角的余弦值为 .‎ ‎16.已知函数(0≤x≤),若函数的所有零点依次记为,则= .‎ 二、 解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ 17. ‎(本小题满分10分)‎ 设为各项不相等的等差数列的前n项和,已知.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设为数列{}的前n项和,求.‎ 18. ‎(本小题满分12分)‎ 在△中,,2,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)设的中点为,求中线的长.‎ 17. ‎(本小题满分12分)‎ 如图,抛物线的焦点为,准线与x轴的交点为A,点C在抛物线E上,以C为圆心,为半径作圆,设圆C与准线交于不同的两点M,N.‎ ‎(1)若点C的纵坐标为2,求;‎ ‎(2)若,求圆C的半径.‎ 18. ‎(本小题满分12分)‎ 已知椭圆C:的离心率为,分别为椭圆的左、右顶点,点满足.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线经过点且与交于不同的两点,试问:在x轴上是否存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值?若存在,求出点的坐标及定值,若不存在,请说明理由.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)若直线过点(1,0),并且与曲线相切,求直线的方程;‎ ‎(2)设函数在[1,e]上有且只有一个零点,求的取值范围.(其中∈R,e为自然对数的底数)‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的离心率为,是它的一个顶点,过点作圆的切线为切点,且.‎ ‎(1)求椭圆及圆的方程;‎ ‎(2)过点作互相垂直的两条直线,,其中与椭圆的另一交点为D,与圆交于两点,求△面积的最大值.‎ 高三理科数学参考答案与解析 一、 选择题 ‎1-5 DBBAB 6-10 CDCDC 11-12 AC 二、 填空题 ‎13. 14.8 15. 16.445π 三、 解答题 17. 解:(1)设数列的公差为d,则由题意知解得(舍去)或所以.(5分)‎ (2) 因为=,‎ 所以=++…+=.(10分)‎ 18. 解:(1)因为,且C是三角形的内角,所以sinC==.‎ 所以 ‎=.(4分)‎ (2) 在△ABC中,由正弦定理,得,所以=,于是CD=.在△ADC中,AC=2,‎ cosC=,(8分)‎ 所以由余弦定理,得 AD==,即中线AD的长为.(12分)‎ 17. 解:(1)抛物线E:y2=4x的准线l的方程为x=-1,由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离为d=2,又,所以.(4分)‎ ‎(2)设C(),则圆C的方程为,即.‎ 由x=-1,得.设,则 由,得,所以,解得,此时.‎ 所以圆心C的坐标为或,从而,,即圆C的半径为.(12分)‎ 18. 解:(1)依题意,,P(2,-1),所以=(-a-2,1)·(a-2,1)=5-a2,(2分)‎ 由=1,a>0,得a=2,因为e=,所以c=,b2=a2-c2=1,(4分)‎ 故椭圆C的方程为.(5分)‎ (2) 假设存在满足条件的点Q(t,0),当直线l与x轴垂直时,它与椭圆只有一个交点,不满足题意,‎ 因此直线l的斜率k存在,设l:y+1=k(x-2),‎ 由消y,得(1+4k2)x2-(16k2+8k)x+16k2+16k=0,(7分)‎ ‎△=-64k>0,所以k<0,‎ 设,则x1+x2=,x1x2=,‎ 因为 ‎===,(10分)‎ 所以要使对任意满足条件的k,为定值,则只有t=2,此时=1.‎ 故在x轴上存在点Q(2,0)使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1.(12分)‎ 17. 解:(1)设切点坐标为(x0,y0),则y0=x0lnx0,切线的斜率为lnx0+1,‎ 所以切线l的方程为y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0),又切线l过点(1,0),‎ 所以有-x0lnx0=(lnx0+1)(1-x0),即lnx0=x0-1,设h(x)=lnx-x+1,则,x∈(0,1),,h(x)单调递增,x∈(1,),,h(x)单调递减,h(x)max=h(1)=0有唯一解,所以x0=1,y0=0.‎ 所以直线l的方程为y=x-1.(4分)‎ ‎(2)因为g(x)=xlnx-a(x-1),注意到g(1)=0,‎ 所以所求问题等价于函数g(x)=xlnx-a(x-1)在(1,e]上没有零点.‎ 因为.所以由lnx+1-a<00ea-1,‎ 所以g(x)在(0,ea-1)上单调递减,在(ea-1,)上单调递增.(6分)‎ ‎①当ea-1≤1,即a≤1时,g(x)在(1,e]上单调递增,所以g(x)>g(1)=0.‎ 此时函数g(x)在(1,e]上没有零点,(7分)‎ ‎②当1.(12分)‎ 17. 解:(1)由a=2,e=,得c=,所以b=,故所求椭圆方程为.‎ 由已知有r=,圆C2的方程为C2:x2+y2=2.(4分)‎ ‎(2)设直线l1方程为y=k(x+2),由得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0,‎ 所以xP+xD=,又xD=,所以==.‎ 直线l2的方程为即x+ky+2=0,,‎ 所以 ‎==≤=,当且仅当,k=时取等号,因此△ABD的面积的最大值为.(12分)‎
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