【数学】2019届一轮复习人教A版离散型随机变量的均值、方差和正态分布(1)学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版离散型随机变量的均值、方差和正态分布(1)学案

‎10.9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布 ‎[知识梳理]‎ ‎1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎(1)均值:称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.‎ ‎(2)D(X)=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差.‎ ‎2.均值与方差的性质 ‎(1)E(aX+b)=aE(X)+b;‎ ‎(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).‎ ‎3.两点分布与二项分布的均值、方差 X X X~B(n,p)‎ 服从两点分布 E(X)‎ p np D(X)‎ p(1-p)‎ np(1-p)‎ ‎4.正态曲线 ‎(1)正态曲线的定义 函数φμ,σ(x)=e,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线(μ是正态分布的期望,σ是正态分布的标准差).‎ ‎(2)正态曲线的特点 ‎①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;‎ ‎②曲线是单峰的,关于直线x=μ对称;‎ ‎③曲线在x=μ处达到峰值;‎ ‎④曲线与x轴之间的面积为1;‎ ‎⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;‎ ‎⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.‎ ‎5.正态分布 ‎(1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a,b(aD(ξ2)‎ C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)‎ 答案 A 解析 ∵E(ξ1)=0×(1-p1)+1×p1=p1,‎ 同理,E(ξ2)=p2,又00,‎ ‎∴(p1-p2)(1-p1-p2)<0.‎ ‎∴D(ξ1)P(X≤σ1),故B错误;当t为任意正数时,由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t),而P(X≤t)=1-P(X≥t),P(Y≤t)=1-P(Y≥t),‎ ‎∴P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正确,D错误.故选C.‎ ‎3.(2018·安徽模拟)某小区有1000‎ 户,各户每月的用电量近似服从正态分布N(300,102),则用电量在320度以上的户数约为(  )‎ ‎(参考数据:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=95.44%,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=99.74%)‎ A.17 B.‎23 C.34 D.46‎ 答案 B 解析 P(ξ>320)=×[1-P(280<ξ≤320)]‎ ‎=×(1-95.44%)=0.0228,‎ ‎0.0228×1000=22.8≈23,‎ ‎∴用电量在320度以上的户数约为23.故选B.‎ ‎4.(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=________.‎ 答案 1.96‎ 解析 由题意得X~B(100,0.02),‎ ‎∴D(X)=100×0.02×(1-0.02)=1.96.‎ ‎[重点保分 两级优选练]‎ A级 一、选择题 ‎1.已知ξ的分布列为 ξ ‎-‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ P 则在下列式中:①E(ξ)=-;②D(ξ)=;③P(ξ=0)=.正确的个数是(  )‎ A.0 B.‎1 C.2 D.3‎ 答案 C 解析 E(ξ)=(-1)×+1×=-,故①正确.‎ D(ξ)=2×+2×+2×=,故②不正确.由分布列知③正确.故选C.‎ ‎2.已知随机变量X+Y=8,若X~B(10,0.6),则E(Y),D(Y)分别是(  )‎ A.6和2.4 B.2和2.4‎ C.2和5.6 D.6和5.6‎ 答案 B 解析 由已知随机变量X+Y=8,所以Y=8-X.因此,求得E(Y)=8-E(X)=8-10×0.6=2,D(Y)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.故选B.‎ ‎3.(2018·广东茂名模拟)若离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P 则X的数学期望E(X)=(  )‎ A.2 B.2或 C. D.1‎ 答案 C 解析 因为分布列中概率和为1,所以+=1,即a2+a-2=0,解得a=-2(舍去)或a=1,所以E(X)=.故选C.‎ ‎4.(2017·青岛质检)设随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点的概率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点的条件是 Δ=22-4×1×ξ<0,解得ξ>1.又ξ~N(1,σ2),所以P(ξ>1)=,即所求事件的概率为.故选A.‎ ‎5.(2018·山东聊城重点中学联考)已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ)和(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服,经统计,学生的身高(单位:cm)服从正态分布(165,52),则适合身高在155~‎175 cm范围内的校服大约要定制(  )‎ A.683套 B.954套 C.972套 D.997套 答案 B 解析 P(155<ξ<175)=P(165-5×2<ξ<165+5×2)=P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.4%.‎ 因此服装大约定制1000×95.4%=954套.故选B.‎ ‎6.(2018·皖南十校联考)在某市1月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约9450人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第多少名?(  )‎ A.1500 B.‎1700 C.4500 D.8000‎ 答案 A 解析 因为学生的数学成绩X~N(98,100),所以P(X≥108)=[1-P(881.75,则p的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 根据题意,学生一次发球成功的概率为p,即P(X=1)=p,发球二次的概率P(X=2)=p(1-p),发球三次的概率P(X=3)=(1-p)2,则E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3,依题意有E(X)>1.75,则p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,结合p的实际意义,可得09)=0.15.故耗油量大于‎9升的汽车大约有1200×0.15 =180辆.‎ ‎14.(2017·安徽蚌埠模拟)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是:参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外,其余均相同),将小球上的数字作为其赌金(单位:元),然后放回该小球,再随机摸取两个小球,将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位:元).若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金,则E(ξ)-E(η)=________元.‎ 答案 3‎ 解析 ξ的分布列为 ξ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ P E(ξ)=×(5+6+7+8+9)=7(元).‎ η的分布列为 η ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ P E(η)=2×+4×+6×+8×=4(元),‎ ‎∴E(ξ)-E(η)=7-4=3(元).‎ 故答案为3.‎ B级 三、解答题 ‎15.(2018·湖北八校第二次联考)某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查,随机抽取100名市民,按年龄(单位:岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下:‎ 分组(岁)‎ 频数 ‎[25,30)‎ x ‎[30,35)‎ y ‎[35,40)‎ ‎35‎ ‎[40,45)‎ ‎30‎ ‎[45,50]‎ ‎10‎ 合计 ‎100‎ ‎(1)求频率分布表中x、y的值,并补全频率分布直方图;‎ ‎(2)在抽取的这100名市民中,按年龄进行分层抽样,抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查,现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份,设这2名市民中年龄在[35,40)内的人数为X,求X的分布列及数学期望.‎ 解 (1)由题意知,[25,30)内的频率为0.01×5=0.05,故x=100×0.05=5.因[30,35)内的频率为1-(0.05+0.35+0.3+0.1)=1-0.8=0.2,故y=100×0.2=20,且[30,35)这组对应的==0.04.补全频率分布直方图略.‎ ‎(2)∵年龄从小到大的各层人数之间的比为5∶20∶35∶30∶10=1∶4∶7∶6∶2,且共抽取20人,‎ ‎∴抽取的20人中,年龄在[35,40)内的人数为7.‎ X可取0,1,2,P(X=0)==,‎ P(X=1)==,‎ P(X=2)==,‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故E(X)=×1+×2=.‎ ‎16.新生儿Apgar评分,即阿氏评分,是对新生儿出生后总体状况的一个评估,主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分, 评分在8~10分者为正常新生儿,评分在4~7分的新生儿考虑患有轻度窒息,评分在4分以下的新生儿考虑患有重度窒息,大部分新生儿的评分在7~10分之间.某医院妇产科从9‎ 月份出生的新生儿中随机抽取了16名,表格记录了他们的评分情况.‎ 分数段 ‎[0,7)‎ ‎[7,8)‎ ‎[8,9)‎ ‎[9,10]‎ 新生儿数 ‎1‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎(1)现从这16名新生儿中随机抽取3名,求至多有1名新生儿的评分不低于9分的概率;‎ ‎(2)用这16名新生儿的Apgar评分来估计本年度新生儿的总体状况,若从本年度新生儿中任选3名,记X表示抽到评分不低于9分的新生儿数,求X的分布列及数学期望.‎ 解 (1)设Ai表示所抽取的3名新生儿中有i名的评分不低于9分,‎ ‎“至多有1名新生儿的评分不低于9分”记为事件A,‎ 则由表格中数据可知P(A)=P(A0)+P(A1)=+=.‎ ‎(2)由表格数据知,从本年度新生儿中任选1名,评分不低于9分的概率为=,‎ 由题意知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且 P(X=0)=3=;‎ P(X=1)=C12=;‎ P(X=2)=C21=;‎ P(X=3)=C3=.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)=0×+1×+2×+3×=0.75‎ .‎ ‎17.(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.‎ ‎(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的数学期望和方差.‎ 解 (1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},B1={顾客抽奖1次获一等奖},B2={顾客抽奖1次获二等奖},C={顾客抽奖1次能获奖}.‎ 由题意,A1与A2相互独立,A12与‎1A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A‎1A2,B2=A12+‎1A2,C=B1+B2.因为P(A1)==,P(A2)==,‎ 所以P(B1)=P(A‎1A2)=P(A1)P(A2)=×=,P(B2)=P(A12+‎1A2)=P(A12)+P(‎1A2)=P(A1)P(2)+P(1)P(A2)=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)=×+×=.故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.‎ ‎(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,‎ 所以X~B.故X的数学期望为E(X)=3×=,‎ 方差为D(X)=3××=.‎ ‎18.(2018·江淮十校联考)某市级教研室对辖区内高三年级10000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N(120,25),该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学成绩进行分析,得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)试估算该校高三年级数学的平均成绩;‎ ‎(2)从所抽取的50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人,该3人在全市前13名的人数记为X,求X的期望.‎ 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-3σ
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