【数学】2019届一轮复习人教A版离散型随机变量的均值、方差和正态分布(1)学案
10．9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布
[知识梳理]
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
X
X
X～B(n，p)
服从两点分布
E(X)
p
np
D(X)
p(1－p)
np(1－p)
4．正态曲线
(1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
5．正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a
D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
答案 A
解析 ∵E(ξ1)＝0×(1－p1)＋1×p1＝p1，
同理，E(ξ2)＝p2，又00，
∴(p1－p2)(1－p1－p2)<0.
∴D(ξ1)P(X≤σ1)，故B错误；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，
∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D错误．故选C.
3．(2018·安徽模拟)某小区有1000
户，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( )
(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99.74%)
A．17 B．23 C．34 D．46
答案 B
解析 P(ξ>320)＝×[1－P(280<ξ≤320)]
＝×(1－95.44%)＝0.0228，
0．0228×1000＝22.8≈23，
∴用电量在320度以上的户数约为23.故选B.
4．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.
答案 1.96
解析 由题意得X～B(100,0.02)，
∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.
[重点保分 两级优选练]
A级
一、选择题
1．已知ξ的分布列为
ξ
－
0
1
1
P
则在下列式中：①E(ξ)＝－；②D(ξ)＝；③P(ξ＝0)＝.正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 E(ξ)＝(－1)×＋1×＝－，故①正确．
D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正确．由分布列知③正确．故选C.
2．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是( )
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
答案 B
解析 由已知随机变量X＋Y＝8，所以Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B.
3．(2018·广东茂名模拟)若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
则X的数学期望E(X)＝( )
A．2 B．2或 C. D．1
答案 C
解析 因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝.故选C.
4．(2017·青岛质检)设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ不存在零点的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 函数f(x)＝x2＋2x＋ξ不存在零点的条件是 Δ＝22－4×1×ξ<0，解得ξ>1.又ξ～N(1，σ2)，所以P(ξ>1)＝，即所求事件的概率为.故选A.
5．(2018·山东聊城重点中学联考)已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm范围内的校服大约要定制( )
A．683套 B．954套 C．972套 D．997套
答案 B
解析 P(155<ξ<175)＝P(165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.
因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B.
6．(2018·皖南十校联考)在某市1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( )
A．1500 B．1700 C．4500 D．8000
答案 A
解析 因为学生的数学成绩X～N(98,100)，所以P(X≥108)＝[1－P(881.75，则p的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即P(X＝1)＝p，发球二次的概率P(X＝2)＝p(1－p)，发球三次的概率P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，结合p的实际意义，可得09)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15 ＝180辆．
14．(2017·安徽蚌埠模拟)赌博有陷阱．某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则E(ξ)－E(η)＝________元．
答案 3
解析 ξ的分布列为
ξ
5
6
7
8
9
P
E(ξ)＝×(5＋6＋7＋8＋9)＝7(元)．
η的分布列为
η
2
4
6
8
P
E(η)＝2×＋4×＋6×＋8×＝4(元)，
∴E(ξ)－E(η)＝7－4＝3(元)．
故答案为3.
B级
三、解答题
15．(2018·湖北八校第二次联考)某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：
分组(岁)
频数
[25,30)
x
[30,35)
y
[35,40)
35
[40,45)
30
[45,50]
10
合计
100
(1)求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；
(2)在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35,40)内的人数为X，求X的分布列及数学期望．
解 (1)由题意知，[25,30)内的频率为0.01×5＝0.05，故x＝100×0.05＝5.因[30,35)内的频率为1－(0.05＋0.35＋0.3＋0.1)＝1－0.8＝0.2，故y＝100×0.2＝20，且[30,35)这组对应的＝＝0.04.补全频率分布直方图略．
(2)∵年龄从小到大的各层人数之间的比为5∶20∶35∶30∶10＝1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，
∴抽取的20人中，年龄在[35,40)内的人数为7.
X可取0,1,2，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝×1＋×2＝.
16．新生儿Apgar评分，即阿氏评分，是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分， 评分在8～10分者为正常新生儿，评分在4～7分的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下的新生儿考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分在7～10分之间．某医院妇产科从9
月份出生的新生儿中随机抽取了16名，表格记录了他们的评分情况．
分数段
[0,7)
[7,8)
[8,9)
[9,10]
新生儿数
1
3
8
4
(1)现从这16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名新生儿的评分不低于9分的概率；
(2)用这16名新生儿的Apgar评分来估计本年度新生儿的总体状况，若从本年度新生儿中任选3名，记X表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X的分布列及数学期望．
解 (1)设Ai表示所抽取的3名新生儿中有i名的评分不低于9分，
“至多有1名新生儿的评分不低于9分”记为事件A，
则由表格中数据可知P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝.
(2)由表格数据知，从本年度新生儿中任选1名，评分不低于9分的概率为＝，
由题意知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且
P(X＝0)＝3＝；
P(X＝1)＝C12＝；
P(X＝2)＝C21＝；
P(X＝3)＝C3＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝0.75
.
17．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的数学期望和方差．
解 (1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．
由题意，A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A12＋1A2，C＝B1＋B2.因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，P(B2)＝P(A12＋1A2)＝P(A12)＋P(1A2)＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)＝×＋×＝.故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，
所以X～B.故X的数学期望为E(X)＝3×＝，
方差为D(X)＝3××＝.
18．(2018·江淮十校联考)某市级教研室对辖区内高三年级10000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N(120,25)，该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)试估算该校高三年级数学的平均成绩；
(2)从所抽取的50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的期望．
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－3σ
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