数学文卷·2017届湖北省黄冈市高三上学期期末考试（2017

数学文卷·2017届湖北省黄冈市高三上学期期末考试（2017

黄冈市2017年元月高三年级调研考试 文科数学 ‎2017年元月9日 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.设集合，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.关于x的方程有实根b，且，则复数z等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知等比数列，则是的 ‎ A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ ‎ C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.下列说法正确的是 ‎ A. “若，则”的否命题是“若，则” ‎ ‎ B. 在中，“” 是“”必要不充分条件 ‎ C. “若，则”是真命题 ‎ D.使得成立 ‎5.在正方体中，异面直线与所成角的大小为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知实数，那么它们的大小关系是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为 A. B. C. D. ‎ ‎8.在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后（即 ‎）的声波的振幅为 ‎ A. B. C. D. 3‎ ‎9.下列四个图中，可能是函数的图象是是 ‎10.已知，则的面积为 ‎ A. 2 B. C. 1 D.‎ ‎11.如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S为（注：圆台侧面积公式为）‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12.已知，若在区间上有且只有一个极值点，则a的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，则 .‎ ‎14.已知向量的夹角为，且，则 .‎ ‎15.设实数满足则的取值范围是 .‎ ‎16. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.（本题满分10分）在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 ‎ （1）求角A的大小；‎ ‎ （2）求的面积.‎ ‎18.（本题满分12分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：‎ 甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；‎ 乙运动员得分：49,24,12，31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.‎ ‎ （1）用十位数为茎，在答题卡中画出原始数据的茎叶图；‎ ‎ （2）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2,3,4的比赛中抽取一个容量为5的样本，从该样本中随机抽取2场，求其中恰有1场得分大于40分的概率.‎ ‎19.（本题满分12分）已知数列的各项均为正数，观察程序框图，若时，分别有 ‎ （1）试求数列的通项公式；‎ ‎ （2）令，求数列的前项和.‎ ‎20.（本题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，,平面平面,平面平面,,在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC,截面CDE交SB于点F.‎ ‎ （1）求证：EF//CD;‎ ‎ （2）求三棱锥S-DEF的体积.‎ ‎21.（本题满分12分）已知函数 ‎ （1）若关于x的方程只有一个实数解，求实数a的取值范围；‎ ‎ （2）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎22.（本题满分12分）已知，函数 ‎ （1）讨论函数的单调性；‎ ‎ （2）若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求证：‎ 一、‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A C C C A A D C D D A ‎ ‎ 二、13. 14. 15. 16. 134‎ ‎17.解：（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，‎ 再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．…………………（5分）‎ ‎（Ⅱ） 锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．‎ 当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．（10分）‎ ‎18.解：（Ⅰ）由题意得茎叶图如图：…………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2、3、4‎ 的比赛中抽取一个容量为5的样本，‎ 则得分十位数为2、3、别应该抽取1，3，1场，‎ 所抽取的赛场记为A，B1，B2，B3，C，‎ 从中随机抽取2场的基本事件有：‎ ‎（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，C），‎ ‎（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），‎ ‎（B2，C），（B3，C）共10个，‎ 记“其中恰有1场的得分大于4”为事件A，‎ 则事件A中包含的基本事件有：‎ ‎（A，C），（B1，C），（B2，C），（B3，C）共4个，‎ ‎∴…………………………………………………………（12分）‎ 答：其中恰有1场的得分大于4的概率为．‎ ‎19.解：‎ 解得：或（舍去），则..................6分 ‎（2） ‎ ‎ ‎ 则 ‎ ...............12分 ‎ ‎20. 证明：（1）CD//ABCD//平面SAB 又平面CDEF∩平面SAB=EFCD//EF……………………（6分）‎ ‎（2）CDAD，平面SAD平面ABCD CD平面SAD CDSD，同理ADSD 由（1）知EF//CD EF平面SAD ‎ EC=AC，， ED=AD 在中AD=1，SD= 又 ED=AD=1‎ E为SA中点，的面积为 三棱锥S-DEF的体积……………………（12分）‎ ‎21.解：（Ⅰ）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，‎ 显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，∴a＜0．…………6分 ‎（Ⅱ）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（）对x∈R恒成立，‎ ‎①当x=1时，（）显然成立，此时a∈R；‎ ‎②当x≠1时，（）可变形为a≤，令φ（x）==‎ 因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．‎ 综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…………12分 ‎22.解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），其导数f'（x）=﹣a．‎ ‎①当a≤0时，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上是增函数；‎ ‎②当a＞0时，在区间（0，）上，f'（x）＞0；在区间（，+∞）上，f'（x）＜0．‎ ‎∴f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点，‎ 当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，此时f（）为函数f（x）的最大值，‎ 当f（）≤0时，f（x）最多有一个零点，∴f（）=ln＞0，解得0＜a＜1，‎ 此时，＜，且f（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，‎ f（）=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣（0＜a＜1），‎ 令F（a）=3﹣2lna﹣，则F'（x）=﹣=＞0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）=3﹣e2＜0，即f（）＜0，‎ ‎∴a的取值范围是（0，1）．………………8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．分析：∵0，∴．只要证明：f（）＞0就可以得出结论．‎ 下面给出证明：构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤），则g'（x）=+2a=，‎ 函数g（x）在区间（0，]上为减函数．0＜x1，则g（x1）＞g（）=0，又f（x1）=0，‎ 于是f（）=ln（）﹣a（）+1﹣f（x1）=g（x1）＞0．又f（x2）=0，‎ 由（1）可知，即．………………12分