2017-2018学年辽宁省大连市高二上学期开学考试数学试卷

2017-2018学年辽宁省大连市高二上学期开学考试数学试卷

辽宁省大连市2017-2018学年高二数学上学期开学考试试卷 一.选择题：（每题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，．若，则（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）‎ A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 ‎3.记为等差数列的前项和，若，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎4.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为17，则输出 ‎ 的值为（ ）‎ A．0 B.1 C．2 D．3‎ ‎5.若，则（ ）‎ A. B. C.1 D.‎ ‎6.设函数f(x)=cos(x)，则下列结论错误的是（ ）‎ A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称 C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减 ‎7.函数在单调递减，且为奇函数．若，‎ 则满足的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 三视图某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B.4 C.8 D.‎ ‎9.已知三棱锥S－ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝2，SB＝SC＝4，则该三棱锥的外接球的半径为（ ）‎ A．36 B．6 C．3 D．9‎ ‎10.过直线 上的点 P 作圆 C: 的两条切线 ，，‎ 当直线, 关于直线对称时，= （ ）‎ ‎ A. 3 B. C. D. 2‎ ‎11.已知函数=与的图象有且只有3对关于y轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B.(0,1) C. D.‎ ‎12.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.‎ 若=+，则的最大值为（ ）‎ A.3 B. C. D.2‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.某高中有高一学生400名，高二学生350名，高三学生300名，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取若干名参加数学建模竞赛，若抽取高一学生80名，则该校参加数学建模竞赛的总人数为________.‎ ‎14.在[0,2]上随机地取两个实数,,则,满足不等式的概率为________.‎ ‎15.在平行四边形ABCD中，AB=2AD=2，且()=-8 ，则∠BAD=_____.‎ ‎16.在△ABC中，AC=AB，点D为边AC的中点，若BD=2，则△ABC面积的最大值为_____.‎ 三.解答题：（共70分）‎ ‎17.（10分）已知数列的前n项和为，且 ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，求Tn．‎ ‎18.（12分）设函数，其中.已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.‎ ‎19.（12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2）（茎叶图中仅列出了得分在[50，60]，[90，100]的数据）．‎ ‎（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；‎ ‎（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．‎ ‎20．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．‎ ‎（Ⅰ）求c；‎ ‎（Ⅱ）设为边上一点，且，求的面积．‎ ‎21.（12分）如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2AF，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面ADF⊥平面CBF；‎ ‎（Ⅱ）求证：PM∥平面AFC.‎ ‎22.（12分）已知圆C：x2+（y﹣4）2=4，直线l：（3m+1）x+（1﹣m）y﹣4=0.‎ ‎（Ⅰ）求直线l所过定点A的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；‎ ‎（Ⅲ）已知点M（﹣3，4），在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），‎ 满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的 坐标及该常数．‎ ‎ ‎ 一.选择题： ‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D B A B C D C B A A ‎13.210 14. 15. 16.‎ 三.解答题：（共70分）‎ ‎17.（10分）已知数列的前n项和为，且 ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，求Tn．‎ 解： （Ⅰ）……5分 （Ⅱ）……10分 ‎18.（12分）设函数，其中.已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.‎ 解：（Ⅰ）因为，所以 由题设知，所以，，‎ 所以，，又 所以 ……6分 ‎（II）由（I）得，所以 因为，所以 所以当，即时，取得最小值 ……12分 ‎19.（12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2）（茎叶图中仅列出了得分在[50，60]，[90，100]的数据）．‎ ‎（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；‎ ‎（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，‎ ‎，…‎ x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．……4分 ‎（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90]内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，‎ 抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．‎ 其中2名同学的分数恰有一人在[90，100]内的情况有10种，‎ ‎∴所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．……12分 ‎20．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．‎ ‎（Ⅰ）求c；‎ ‎（Ⅱ）设为边上一点，且，求的面积．‎ ‎【解】（1）由得，‎ 即，又，∴，得.‎ 由余弦定理.又∵代入并整理得，故…….6分 ‎（2）∵，由余弦定理.‎ ‎∵，即为直角三角形，则，得.‎ 由勾股定理.又，则，‎ ‎…..12分 ‎21.（12分）如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2AF，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面ADF⊥平面CBF；‎ ‎（Ⅱ）求证：PM∥平面AFC.‎ ‎18．证明　(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，且CB⊥AB，‎ ‎∴CB⊥平面ABEF，又AF⊂平面ABEF，∴CB⊥AF，‎ ‎∵AB＝2AF，设AF＝a，则AB＝2a.又∠BAF＝60°，根据余弦定理得BF＝a，‎ ‎∴AB2＝AF2＋BF2，从而AF⊥BF，又CB∩BF＝B，∴AF⊥平面CBF，‎ 又AF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面CBF ……6分 ‎(2)取BF的中点Q，连接PO，PQ，OQ.∵P，O，Q分别是CB，AB，BF的中点，‎ ‎∴PO∥AC，PQ∥CF，又PO⊄平面AFC，PQ⊄平面AFC，‎ 从而PO∥平面AFC，PQ∥平面AFC，又PO∩PQ＝P，AC∩CF＝C，‎ ‎∴平面POQ∥平面AFC，∵M为底面△OBF的重心，∴M∈OQ，‎ 从而PM⊂平面POQ，∴PM∥平面AFC ……12分 ‎22.（12分）已知圆C：x2+（y﹣4）2=4，直线l：（3m+1）x+（1﹣m）y﹣4=0‎ ‎（Ⅰ）求直线l所过定点A的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；‎ ‎（Ⅲ）已知点M（﹣3，4），在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），‎ 满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的 坐标及该常数．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意得，m（3x﹣y）+（x+y﹣4）=0，‎ 令3x﹣y=0且x+y﹣4=0，得x=1，y=3∴直线l过定点A（1，3），‎ ‎（Ⅱ）当AC⊥l时，所截得弦长最短，由题知C（0，4），r=2，‎ ‎∴，得，∴由得m=﹣1，‎ ‎∴圆心到直线的距离为，‎ ‎∴最短弦长为．…….4分 ‎（Ⅲ）法一：由题知，直线MC的方程为y=4，假设存在定点N（t，4）满足题意，‎ 则设P（x，y），，得|PM|2=λ2|PN|2（λ＞0），且（y﹣4）2=4﹣x2‎ ‎∴（x+3）2+（y﹣4）2=λ2（x﹣t）2+λ2（y﹣4）2 ∴（x+3）2+4﹣x2=λ2（x﹣t）2+λ2（4﹣x2）‎ 整理得，（6+2tλ2）x﹣（λ2t2+4λ2﹣13）=0‎ ‎∵上式对任意x∈[﹣2，2]恒成立，∴6+2tλ2=0且λ2t2+4λ2﹣13=0‎ 解得或t=﹣3，λ=1（舍去，与M重合）‎ 综上可知，在直线MC上存在定点，使得为常数 法二：设直线MC上的点N（t，4）‎ 取直线MC与圆C的交点P1（﹣2，4），则 取直线MC与圆C的交点P2（2，4），则 令，解得或t=﹣3（舍去，与M重合），此时 若存在这样的定点N满足题意，则必为，‎ 下证：点满足题意，‎ 设圆上任意一点P（x，y），则（y﹣4）2=4﹣x2‎ ‎∴==，‎ ‎∴‎ 综上可知，在直线MC上存在定点，使得为常数．…..12分