数学理卷·2018届福建省三明市大田县第一中学高二下学期第一次月考（2017-03）

数学理卷·2018届福建省三明市大田县第一中学高二下学期第一次月考（2017-03）

大田一中2016－2017学年高二下阶段考试卷 数　学(理科)‎ 一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．设复数在复平面内对应的点关于实轴对称，，则(　)‎ A． B． C． D．‎ ‎2．“e是无限不循环小数，所以e为无理数．”该命题是演绎推理中的三段论推理，其中大前提是(　　)‎ A. 无理数是无限不循环小数 　B. 有限小数或有限循环小数为有理数 C. 无限不循环小数是无理数 　D. 无限小数为无理数 ‎3．已知复数是纯虚数，则实数的值为(　　)‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎4．下面给出了关于复数的三种类比推理，其中类比错误的是(　　)‎ ‎①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；‎ ‎②由向量a的性质|a|2＝a2可以类比复数的性质|z|2＝z2；‎ ‎③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．‎ A．② 　　B．①② 　　C．①③ 　　D．③‎ ‎5．下列几种推理中是演绎推理的序号为(　　)‎ A．由20＜22，21＜32，22＜42，…，猜想2n－1＜(n＋1)2(n∈N＋)‎ B．半径为r的圆的面积S＝πr2，单位圆的面积S＝π C．猜想数列 …的通项为an＝(n∈N＋)‎ D．由平面直角坐标系中，圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2‎ ‎6．已知M是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是(　　)‎ A．2 　　　B．3 　　　C．3.5 　　　D．4‎ ‎7．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个偶数．”正确的反设为(　　)‎ A．a，b，c中至少有两个偶数 　　　　　　　　B．a，b，c都是奇数 C．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 　　D．a，b，c都是偶数 ‎8．设Sk＝＋＋＋…＋（k≥3，k∈N*），则Sk＋1＝（　　）‎ A． Sk＋ B．Sk＋＋‎ C．Sk＋＋－ D．Sk－－‎ ‎9．将点的直角坐标(－2，2)化为极坐标为（　　）‎ A．(4，π)　　　　B．(－4，π)　　　　C．(－4，π)　　　　D．(4，π)‎ ‎10．要证：，只要证明（　　）‎ A．　　　　　　　　　　B．‎ C．　　　　　　　　D．‎ ‎11．若0＜x1＜x2＜1，则(　　) ‎ A．＞lnx2－lnx1 　B．＜lnx2－lnx1 　C．x2＞x1　D．x2＜x1‎ ‎12．已知函数，若且，则的取值范围是(　)‎ A． B． C． D． ‎ 二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．已知，且的最小值为1，则的值为＿＿＿＿．‎ ‎14．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1．‎ 类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝＿＿＿＿．‎ ‎15．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在区间(－1，0)上单调递减，则a2＋b2的取值范围为＿＿＿＿．‎ ‎16．对于函数f(x)给出定义： ‎ 设f ′(x)是函数y＝f(x)的导数，f ″(x)是函数f ′(x)的导数，若方程f ″(x ‎)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．‎ 某同学经过探究发现：任何一个三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算＝＿＿＿＿＿．‎ 三．解答题：(本大题共6小题，第17题10分，第18～22题，每小题12分，共70分)‎ ‎17．(Ⅰ)若圆x2＋y2＝4在伸缩变换(λ>0)的作用下变成一个焦点在x轴上，且离心率为的椭圆，求λ的值；‎ ‎(Ⅱ)在极坐标系中，已知点A(2，0)，点P在曲线C：ρ＝ 上运动，求P、A两点间的距离的最小值．‎ ‎18．已知函数．‎ ‎(Ⅰ)求不等式的解集；‎ ‎(Ⅱ)若，求证：．‎ ‎19．设不等式－2＜＜0的解集为M，且a，b∈M．‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)比较与的大小，并说明理由．‎ ‎20．设函数f(x)＝(a∈R)‎ ‎(Ⅰ)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f ‎(1))处的切线方程； ‎ ‎(Ⅱ)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．‎ ‎21．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：(为参数，且)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l1的极坐标方程是，直线l2：与曲线C的交点为P，与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长.‎ ‎22．已知函数，．‎ ‎(1)若，，求的单凋区间；‎ ‎ (2)若函数是函数的图像的切线，求的最小值；‎ ‎(3)求证：．‎ 大田一中2016－2017年高二下阶段考试卷 数　学(理科)参考答案 一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ BCCAB　BBCAD　CD 二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．2　　14．2　　15． 　　16．2016‎ 三．解答题：(本大题共6小题，第17题10分，第18～22题，每小题12分，共70分)‎ ‎17．解析：(Ⅰ)依题意变换后椭圆y轴正半轴顶点为(0，6)，所以短半轴长b＝6，再由离心率为可得长半轴长为10，所以λ的值为5.　　　　　5分 ‎(Ⅱ)曲线C的极坐标方程可化为ρ＝，即ρ－ρcosθ＝2.‎ 化为直角坐标方程，得　－x＝2，即y2＝4(x＋1)．‎ 设点P(x，y)(x≥－1)，则 ‎|PA|＝＝≥2，当且仅当x＝0时取等号．‎ 故|PA|min＝2.　　　　　10分 ‎18．解析：(Ⅰ)即为：　　　………………1分 即或或　　…………4分 解得，所以不等式的解集为或　　　………6分 ‎(Ⅱ)证明：．　　………………8分 令，即．‎ 则是上的增函数, 　　………………10分 因此, ,故．…………12分 ‎19．解析： (1)证明：设 ‎ 由解得，‎ 所以．‎ ‎(2) 由(1)可知．‎ 所以 ‎＝．‎ 所以，‎ 故．‎ ‎20．解析：(I)f ′(x)＝＝，‎ ‎∵f(x)在x＝0处取得极值，∴f′(0)＝0，解得a＝0．‎ 当a＝0时，f(x)＝，f ′(x)＝，∴f(1)＝，f′(1)＝，‎ ‎∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为，化为：3x－ey＝0；‎ ‎(II)解法一：由(I)可得：f ′(x)＝，‎ 令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，‎ 由g(x)＝0，解得x1＝，x2＝． ‎ 当x＜x1时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，此时函数f(x)为减函数；‎ 当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，此时函数f(x)为增函数；‎ 当x＞x2时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，此时函数f(x)为减函数．‎ 由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，可知：x2＝≤3，解得a≥－．‎ 因此a的取值范围为：．‎ 解法二：由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0，‎ 可得a≥，在[3，＋∞)上恒成立． ‎ 令u(x)＝，u′(x)＝＜0，‎ ‎∴u(x)在[3，＋∞)上单调递减，∴a≥u(3)＝－．‎ 因此a的取值范围为：．‎ ‎21．解析：(1)曲线C的普通方程为，又，‎ 所以曲线C的极坐标方程为.‎ ‎(2)设，则有，解得，‎ 设，则有，解得，‎ 所以．‎ ‎22．解析：(1)时，，‎ ‎，，‎ 解得，解得，‎ ‎∴的单调增区间为，单调减区间为区间为．‎ ‎(2)设切点坐标为设切点坐标为，，‎ 切线斜率，又，‎ ‎∴，∴‎ 令， ，‎ 解得，解得，‎ ‎∴在上递减，在上递增．‎ ‎∴，∴的最小值为．‎ ‎(3)法一：令，‎ 由(1)知，∴.‎ 又，∴‎ ‎∴，(两个等号不会同时成立)‎ ‎∴．‎ 法二：令，‎ 显然在上递增，，‎ ‎∴在上有唯一实根，且，，‎ ‎∴在上递减，在上递增，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎