江苏省徐州市第一中学2019-2020学年高二下学期寒假作业检测数学试题

江苏省徐州市第一中学2019-2020学年高二下学期寒假作业检测数学试题

徐州一中 2019～2020 学年度高二数学寒假检测 2 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．） 1．曲线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知 为函数 的极小值点，则 （ ） A． 4 B． 2 C．4 D．2 3．函数 的单调递减区间为（ ） A．(－1,1] B．(0,1] C． [1,+ ) D．(0,+ ) 4．设函数 ，则（ ） A． 为 的极大值点 B． 为 的极小值点 C． 为 的极大值点 D． 为 的极小值点 5．已知点 在曲线 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ ） A．[0, ) B． C． D． 6．已知函数 的图像是下列四个图像之一，且其导函数 的图像 如 右图所示，则该函数的图像是（ ） 7．若 ， ，且函数 在 处有极值，则 的最大值等于（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 8．设直线 与函数 ， 的图像分别交于点 ，则当 达到最小时 的值为（ ） A．1 B． C． D． 9．（多选题）已知函数 ，则（ ） A． 在 单调递增 B． 在 单调递减 C． 的图像关于直线 对称 D． 的图像关于点 对称 10．（多选题）设直线 ， 分别是函数 ，图象上点 ， 处的切线， 与 垂直相交于点 ，且 ， 分别与 轴相交于点 ， ，则 的面积可能是（ ） 1 0x y− − π − = 2 2 1 0x y− − π − = 2 2 1 0x y+ − π + = 1 0x y+ − π + = xxy ln2 1 2 −= ∞ ∞ ( ) xf x xe= 1x = ( )f x 1x = ( )f x 1x = − ( )f x 1x = − ( )f x 2sin cosy x x= + ( , 1)π − a 3( ) 12f x x x= − a = − − P 4 1xy e = + α P α 4 π [ , )4 2 π π 3( , ]2 4 π π 3[ , )4 π π ( )y f x= ( )y f x′= 0a > 0b > 3 2( ) 4 2 2f x x ax bx= − − + 1x = ab x t= 2( )f x x= ( ) lng x x= ,M N MN t 1 2 5 2 2 2 ( ) ln ln(2 )f x x x= + − ( )f x (0,1) ( )f x (1,2) ( )y f x= 1x = ( )y f x= (1,0) 1l 2l ln , 0 1( ) ln , 1 x xf x x x − < <=  > 1P 2P 1l 2l P 1l 2l y A B PAB∆ A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填写在答题卡相应的位置上．） 11．已知函数 为 的导函数，则 的值为____. 12．函数 在 =______处取得极小值． 13．在平面直角坐标系 中，若曲线 (a，b 为常数)过点 ，且该曲线在点 P 处的切 线与直线 平行，则 的值是 ． 14 ． 已 知 函 数 ， ( 其 中 ) ． 对 于 不 相 等 的 实 数 ， 设 ＝ ， ＝ ．现有如下命题：①对于任意不相等的实数 ，都有 ； ②对于任意的 及任意不相等的实数 ，都有 ；③对于任意的 ，存在不相等的实数 ，使得 ；④对于任意的 ，存在不相等的实数 ，使得 ．其中真命题 有___________(写出所有真命题的序号)． 三、解答题（本大题共 2 小题，共 30 分. 请将答案填写在答题卡相应的位置上．） 15．设函数 （I）求曲线 在点 处的切线方程； （II）设 ，若函数 有三个不同零点，求 c 的取值范围． 16．已知函数 ． （Ⅰ）求 的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线 的切线 的斜率为负数时，求 在 轴上截距的取值范围． xOy x baxy += 2 )5,2( −P 0327 =++ yx ba + ( ) 3 2 .f x x ax bx c= + + + ( ).y f x= ( )( )0, 0f 4a b= = ( )f x 2( ) xf x x e−= ( )f x ( )y f x= l l x 1 2 2 2+ 3 4 1 ln3+ ( ) (2 +1) , ( )xf x x e f x′= ( )f x (0)f ′ 3 2( ) 3 1f x x x= − + x ( ) 2xf x = 2( )g x x ax= + a∈R 1 2,x x m 1 2 1 2 ( ) ( )f x f x x x − − n 1 2 1 2 ( ) ( )g x g x x x − − 1 2,x x 0m > a 1 2,x x 0n > a 1 2,x x m n= a 1 2,x x m n= − 参考答案与解析 1．选 C 由 ，得 ，所以 ， 所 以 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 为 ， 即 ． 2．选 D 因为 ，令 ， ，当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增．所以 ．故选 D． 3．选 B∵ ,∴ ,由 ，解得 ，又 ，∴ 故 选 B． 4．选 D ， ， 恒成立，令 ，则 ，当 时， ，函数单调减，当 时， ，函数单调增，则 为 的极小值点，故选 D． 5．选 D 因为 ，即 tan ≥－1，所以 ． 6．选 B 由导函数图像可知函数的函数值在[ 1,1]上大于零，所以原函数递增，且导 函数值在[ 1,0]递增，即原函数在[ 1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数 值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选 B． 7．选 D ，由 ，即 ，得 ． 由 ， ，所以 ，当且仅当 时取等号．选 D． 8．选 D 由题 不妨令 ，则 ，令 解得 ，因 时， ，当 时， ， 所以当 时， 达到最小．即 ． 9．选 ABC 由 ， 知， 在 上单调递增，A 正确；在 上单调递减，B 正确；又 ，所以 的图象关于 对称，C 正确； ，D 不正确 10．选 BC 设 （不妨设 ），则由导数的几何 意 义 易 得 切 线 的 斜 率 分 别 为 由 已 知 得 切线 的方程分别为 ，切 线 的方程为 ，即 ．分别令 得 又 与 的交点为 ．∵ 2cos siny x x′ = − π 2cos π sin π=-2xy =′ = − (π, 1)− 1 2( π)y x+ = − − 2 2 1 0x y+ − π + = ( ) xf x xe= 0>xe 1−=x 1−x 1x = − ( )f x 2sin cosy x x= + 2sin cosy x x= + 2( ) 3 12 3( 2)( 2)f x x x x′ = − = + − ( ) 0f x′ = 2x = ± ( , 2)x ∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x ( 2,2)x ∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( 2, )x ∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 2a = 21 ln2y x x= − 1y x x ′ = − 0y′ 1 1x−   0x > 0 1x<  ( ) ( 1)xf x e x′ = + ( ) 0f x′ = ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ > ' 2 4 4 1( 1) 2 x x x x ey e e e − −= = ≥ −+ + + α 3 4 π α π≤ ≤ − − − 2( ) 12 2 2f x x ax b′ = − − (1) 0f ′ = 12 2 2 0a b− − = 6a b+ = 0a > 0b > 2( ) 92 a bab + =≤ 3a b= = 2| | lnMN x x= − ( 0)x > 2( ) lnh x x x= − 1'( ) 2h x x x = − '( ) 0h x = 2 2x = 2(0, )2x∈ '( ) 0h x < 2( , )2x∈ +∞ '( ) 0h x > 2 2x = | |MN 2 2t = 2(1 )( ) (2 ) xf x x x −′ = − 0 2x< < ( )f x (0,1) (1,2) (2 ) ln(2 ) ln ( )f x x x f x− = − + = ( )f x 1x = (2 )+ ( ) 2[ln(2 ) ln ] 0f x f x x x− = − + ≠ ( ) ( )1 1 1 2 2 2, ln , , lnP x x P x x− 1 21, 0 1x x> < < 1 2,l l 1 2 1 2 1 1, .k kx x = = − 1 2 1 2 2 1 11, 1, .k k x x x x = − ∴ = ∴ = ∴ 1l ( )1 1 1 1lny x x xx − = − 2l ( )2 2 2 1lny x x xx + = − − 1 1 1 1lny x x x x  − = − −   0x = ( ) ( )1 10 , 1 ln , 0 ,1 ln .A x B x− + + 1l 2l 2 1 1 1 2 1 1 2 1( ,ln )1 1 x xP xx x −++ + ， ∴ ， ∴ ， 故 选 BC． 11．3 ． 12．2 由题意 ，令 得 或 ．因 或 时， ， 时， ．∴ 时 取得极小值． 13．－3 由题意可得 ①又 ，过点 的切线的斜率 ②，由①②解得 ，所以 ． 14 ． ①④ 因 为 在 上 是 单 调 递 增 的 ， 所 以 对 于 不 相 等 的 实 数 ， 恒成立，①正确； 因为 ，所以 = ，正负不定，②错误； 由 ， 整 理 得 ． 令 函 数 ，则 ，令 ，则 ，又 ， ，从而存在 ，使得 ，于是 有 极 小 值 ， 所 以 存 在 ，使得 ，此时 在 上单调递增，故不存在不 相等的实数 ，使得 ，不满足题意，③错误； 由 得 ， 即 ， 设 ， 则 ， 所 以 在 上 单 调 递 增 的 ， 且 当 时 ， ，当 时， ，所以对于任意的 ， 与 的图象一定有交点，④正确． 15．（本题满分 15 分）（I）由 ，得 ．┄┄┄┄2 分 因为 ， ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ．┄┄┄┄5 分 （II）当 时， ，所以 ． 令 ，得 ，解得 或 ．┄┄┄┄8 分 与 在区间 上的情况如下： )5,2( −P 1 1x > 2 1 1 2 2 1 1 2 11 | | | | 12 1 1PAB A B P x xS y y x x x∆ += − ⋅ = < =+ + 0 1PABS∆< < ( ) (2 +3) , (0) 3xf x x e f′ ′= ∴ = 2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x′ = − = − ( ) 0f x′ = 0x = 2x = 0x < 2x > ( ) 0f x′ > 0 2x< < ( ) 0f x′ < 2x = ( )f x 5 4 2 ba− = + 2( ) 2 bf x ax x ′ = − 74 4 2 ba − = − 1, 2a b= − = − 3a b+ = − ( ) 2xf x = R 1 2,x x 1 2 1 2 2 2 0 x x m x x −= >− 2( )g x x ax= + 2 2 1 1 2 2 1 2 ( )x ax x axn x x + − += − 1 2x x a+ + m n= 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x− = − 2( ) ( ) ( ) 2xp x f x g x x ax= − = − − ( ) 2 ln 2 2xp x x a′ = − − ( ) ( )t x p x′= 2( ) 2 (ln 2) 2xt x′ = − 2(1) 2(ln 2) 2 0t′ = − < 2(3) 8(ln 2) 2 0t′ = − > 0 (1,3)x ∈ 0 2 0( ) 2 (ln 2) 2 0xt x′ = − = ( )p x′ 0 0 0 2 2 2 2( ) 2 ln 2 2 2logln 2 (ln 2) xp x x a a′ = − − = − − 2 2 22log (ln 2)a = − 2( ) 0ln 2p x′ = > ( )p x R 1 2,x x 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x− = − m n= − ( ) ( )f x g x′ ′= − 2 ln 2 2xa x− = + ( ) 2 ln 2 2xh x x= + 2( ) 2 (ln 2) 2 0xh x′ = + > ( )h x R x → +∞ ( )h x → +∞ x → −∞ ( )h x → −∞ a y a= − ( )y h x= ( ) 3 2f x x ax bx c= + + + ( ) 23 2f x x ax b′ = + + ( )0f c= ( )0f b′ = ( )y f x= ( )( )0, 0f y bx c= + 4a b= = ( ) 3 24 4f x x x x c= + + + ( ) 23 8 4f x x x′ = + + ( ) 0f x′ = 23 8 4 0x x+ + = 2x = − 2 3x = − ( )f x ( )f x′ ( ),−∞ +∞ x ( ), 2−∞ − 2− 22, 3  − −   2 3 − 2 ,3  − +∞   ( )f x′ + 0 − 0 + ┄┄┄┄10 分 所以，当 且 时，存在 ， ， ， 使得 ．┄┄┄┄13 分 由 的单调性知，当且仅当 时，函数 有三 个不同零点． ┄┄┄┄15 分 16．（本题满分 15 分） （Ⅰ） 的定义域为 ， ① ┄┄┄┄2 分 当 或 时， ；当 时， 所以 在 ， 单调递减，在 单调递增．┄┄┄┄4 分 故当 时， 取得极小值，极小值为 ； 当 时， 取得极大值，极大值为 ． ┄┄┄┄6 分 （Ⅱ）设切点为 ，则 的方程为 所以 在 轴上的截距为 ┄┄┄┄10 分 由已知和①得 ． 令 ，则当 时， 的取值范围为 ；当 时， 的取值范围是 ． ┄┄┄┄13 分 所以当 时， 的取值范围是 ． 综上， 在 轴上截距的取值范围 ． ┄┄┄┄15 分x ( )f x  c  32 27c −  0c > 32 027c − < ( )1 4, 2x ∈ − − 2 22, 3x  ∈ − −   3 2 ,03x  ∈ −   ( ) ( ) ( )1 2 3 0f x f x f x= = = ( )f x 320, 27c  ∈   ( ) 3 24 4f x x x x c= + + + ( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )2xf x e x x−′ = − − ( ),0x∈ −∞ ( )2,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )0,2x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),0−∞ ( )2,+∞ ( )0,2 0x = ( )f x ( )0 0f = 2x = ( )f x ( ) 22 4f e−= ( )( ),t f t l ( )( ) ( )y f t x t f t′= − + l x ( ) ( ) ( ) 22 32 2 f t tm t t t tf t t t = − = + = − + +′ − − ( ) ( ),0 2,t ∈ −∞ +∞ ( ) ( )2 0h x x xx = + ≠ ( )0,x∈ +∞ ( )h x [2 2, )+∞ ( ), 2x∈ −∞ − ( )h x ( ), 3−∞ − ( ) ( ),0 2,t ∈ −∞ +∞ ( )m t ( ),0 [2 2 3, )−∞ + +∞ l ( ),0 [2 2 3, )−∞ + +∞