【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第九章 第8讲 第1课时 圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题作业
第8讲 第1课时 圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题
[基础题组练]
1．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若
0，b>0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是( )
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0
C.x±y＝0 D．x±y＝0
解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1①，－＝1②，由①－②得＝，结合题意化简得＝1，即＝，所以双曲线C的渐近线方程为x±2y＝0.
3．抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线与x轴的交点为M，过点M作C的两条切线，切点分别为P，Q，则∠PMQ＝ ．
解析：由题意得M，设过点M的切线方程为x＝my－，代入y2＝2px得y2－2pmy＋p2＝0，所以Δ＝4p2m2－4p2＝0，所以m＝±1，则切线斜率k＝±1，所以MQ⊥MP，因此∠PMQ＝.
答案：
4．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA|－|PF|的最小值为 ．
解析：如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝4，
所以|PF|＝4－|PF′|，所以|PA|－|PF|＝|PA|＋|PF′|－4.当且仅当P，A，F′三点共线时，|PA|＋|PF′|取最小值|AF′|
＝＝5，所以|PA|－|PF|的最小值为1.
答案：1
5．(2020·长春市质量监测(二))已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，|PF2|＝，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
解：(1)由题意知，离心率e＝＝，|PF2|＝＝，得a＝2，b＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由条件可知F1(－，0)，直线l：y＝x＋，联立直线l和椭圆C的方程，得消去y得5x2＋8x＋8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝＝，所以S△AOB＝·|y1－y2|·|OF1|＝.
6．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
解：(1)由题设条件知，点M的坐标为，
又kOM＝，从而＝.
进而a＝b，c＝＝2b，
故e＝＝.
(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.
又AB＝(－a，b)，
从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．
由(1)的计算结果可知a2＝5b2，
所以·＝0，故MN⊥AB.
[综合题组练]
1．(2020·河南阶段性测试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点到右焦点F(c，0)的最大距离是＋1，且1，a，4c成等比数列．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m，0)，求实数m的取值范围．
解：(1)由已知可得
解得
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由题意得F(1，0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．
与椭圆方程联立得消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
可得线段AB的中点为N.
当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0.
当k≠0时，直线MN的方程为
y＋＝－，
化简得ky＋x－＝0.
令y＝0，得m＝.
所以m＝＝∈.
综上所述，m的取值范围为.
2．(2020·广州市综合检测(一))已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y＝x与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C的另一个焦点是F1，且·＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l过点(－1，0)，且与椭圆C交于P，Q两点，求△F2PQ的内切圆面积的最大值．
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，因为点M在直线y＝x上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c，0)，
所以点M.
因为·＝·＝，
所以c＝1.
所以
解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，F1(－1，0)，过点F1(－1，0)的直线与椭圆C交于P，Q两点，则△F2PQ的周长为4a＝8，又S△F2PQ＝·4a·r(r为△F2PQ的内切圆半径)，
所以当△F2PQ的面积最大时，其内切圆面积最大．
设直线l的方程为x＝ky－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则
消去x得(4＋3k2)y2－6ky－9＝0，
所以
所以S△F2PQ＝·|F1F2|·|y1－y2|＝.
令 ＝t，则t≥1，
所以S△F2PQ＝，
令f(t)＝3t＋，
则f′(t)＝3－，
当t∈[1，＋∞)时，f′(t)>0，
f(t)＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，
所以S△F2PQ＝≤3，当t＝1时取等号，
即当k＝0时，△F2PQ的面积取得最大值3，
结合S△F2PQ＝·4a·r，得r的最大值为，
所以△F2PQ的内切圆面积的最大值为π.
