2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§8-1 空间几何体的三视图、表面积和体积（讲解部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§8-1 空间几何体的三视图、表面积和体积（讲解部分）

专题八　立体几何 §8.1 　空间几何体的三视图、表面积和体积 高考文数 考点一　空间几何体的结构及其三视图和直观图 考点清单 考向基础 一、空间几何体的结构 1.多面体的结构特征 　　2.旋转体的结构特征 【知识拓展】 1.特殊的四棱柱 2.球的截面性质 (1)球心和不过球心的截面圆的圆心的连线垂直于截面; (2)球心到不过球心的截面的距离 d 与球的半径 R 以及截面圆的半径 r 的关 系为 r =   . 二、空间几何体的三视图与直观图 1.三视图是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的方向看 这个几何体,描绘出的图形分别称为 正视图 (主视图)、 侧视图 (左视图)、 俯视图 . 2.三视图的排列位置:先画正视图,俯视图画在正视图的下方,侧视图画在正 视图的右方. 3.画三视图的三个原则: 长对正、高平齐、宽相等 . 4.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法 (1)在已知图形中,取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O ,画直观图时,把 它们画成对应的 x '轴和 y '轴,两轴相交于 O ',且使∠ x ' O ' y '=45 ° (或135 ° ),用它 们确定的平面表示水平面. (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中,分别画成平行于 x '轴或 y '轴的线段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中 保持长度不变 ,平行于 y 轴的线 段,在直观图中 长度变为原来的一半 . 例1　如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不正确的是 　　　     .   ①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体; ②该几何体有12条棱、6个顶点; ③该几何体有8个面,并且各面均为三角形; ④该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形. 考向一　空间几何体的结构特征 考向突破 解析　平面 ABCD 将该几何体分割成两个四棱锥,因此该几何体是这两个 四棱锥的组合体,因而平面 ABCD 是该组合体的一个截面,而不是一个面,故 填④. 答案　④ 例2    (2018课标全国Ⅲ,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构 件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫 头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带 卯眼的木构件的俯视图可以是   (　　)     考向二　空间几何体的三视图 解析　两木构件咬合成长方体时,榫头完全进入卯眼,易知咬合时带卯眼的 木构件的俯视图为A.故选A. 答案    A 例3　某几何体的主视图和左视图如图1,它的俯视图的直观图是矩形 O 1 A 1 B 1 C 1 ,如图2,其中 O 1 A 1 =6, O 1 C 1 =2,则该几何体的侧面积为   (　　)   A.48　    B.64　    C.96　    D.128 考向三　空间几何体的直观图 解析　由题意可知该几何体是一个直四棱柱, ∵它的俯视图的直观图是矩形 O 1 A 1 B 1 C 1 ,且 O 1 A 1 =6, O 1 C 1 =2, ∴它的俯视图是边长为6的菱形,∵棱柱的高为4, ∴该几何体的侧面积为4 × 6 × 4=96,故选C. 答案    C 考向基础 1.多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是表面展开图的面积. 2.旋转体的表面积 圆柱(底面半径为 r ,母线长为 l ) 圆锥(底面半径 为 r ,母线长为 l ) 圆台(上、下底面半径为 r ‘, r ,母线长为 l ) 球(半径 为 R ) 侧面展 开图       底面积 S 底面 =π r 2 S 底面 =π r 2 S 底面 =π r ' 2 +π r 2 侧面积 S 侧 =2π rl S 侧 =π rl S 侧 =π( r '+ r ) l 表面积 S 表 =2π r ( r + l ) S 表 =π r ( r + l ) S 表 =π( r ' 2 + r 2 + r ' l + rl ) S =4π R 2 考点二　空间几何体的表面积 考向突破 考向一　根据几何体的特征求表面积 例4　已知各棱长为5,底面为正方形,各侧面均为正三角形的四棱锥,则它 的表面积为 　　　　　     . 解析　如图,设 E 为 AB 的中点, O 为底面正方形对角线的交点,连接 SO , SE , OE ,∵四棱锥 S - ABCD 的各棱长均为5,各侧面都是全等的正三角形,∴ SE ⊥ AB ,则 SE =   =   =   .∴ S 侧 =4 S △ SAB =4 ×   × AB × SE =2 × 5 ×   = 25   .∴ S 表 = S 侧 + S 底面 =25   +25=25(   +1).   答案　25(   +1) 例5    (2016课标全国Ⅰ,7,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的 圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是   ,则它的表面 积是   (　　)   A.17π　　B.18π　　C.20π　　D.28π 考向二　已知几何体的三视图求表面积 解析　由三视图知该几何体为球去掉了   所剩的几何体(如图),设球的半 径为 R ,则   ×   π R 3 =   ,故 R =2,从而它的表面积 S =   × 4π R 2 +   × π R 2 =17π.故选 A.   答案    A   解后反思    球的表面积公式和体积公式要记准、记牢;在计算表面积时 “不重不漏”是关键. 考点三　空间几何体的体积 考向基础 1.柱体、锥体、台体、球体的体积 名称 体积 柱体 V = Sh 锥体 V =   Sh 台体 V =   ( S + S '+   ) h 球体 V =   π R 3 2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系   3.关于空间几何体体积的常用结论 (1)完全相同的几何体的体积相同; (2)一个组合体的体积等于它的各部分体积之和; (3) 等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等 . 考向一　根据几何体的特征求体积 考向突破 例6　已知 E 、 F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的棱 AA 1 , CC 1 的中 点,则四棱锥 C 1 - B 1 EDF 的体积为 　　　     . 解析　解法一:如图所示,连接 A 1 C 1 , B 1 D 1 交于点 O 1 ,连接 B 1 D , EF ,过 O 1 作 O 1 H ⊥ B 1 D 于 H .   易知 EF ∥ A 1 C 1 ,且 A 1 C 1 ⊄ 平面 B 1 EDF , EF ⊂ 平面 B 1 EDF , 所以 A 1 C 1 ∥平面 B 1 EDF .所以 C 1 到平面 B 1 EDF 的距离就是 A 1 C 1 到平面 B 1 EDF 的距离. 易知平面 B 1 D 1 D ⊥平面 B 1 EDF ,又平面 B 1 D 1 D ∩ 平面 B 1 EDF = B 1 D ,所以 O 1 H ⊥ 平面 B 1 EDF ,所以 O 1 H 的长等于四棱锥 C 1 - B 1 EDF 的高. 因为△ B 1 O 1 H ∽△ B 1 DD 1 ,所以 O 1 H =   =   a . 所以   =     · O 1 H =   ×   · EF · B 1 D · O 1 H =   ×   ·   a ·   a ·   a =   a 3 . 解法二:连接 EF , B 1 D . 设 B 1 到平面 C 1 EF 的距离为 h 1 , D 到平面 C 1 EF 的距离为 h 2 ,则 h 1 + h 2 = B 1 D 1 =   a . 由题意得,   =   +   =   ·   ·( h 1 + h 2 )=   a 3 . 答案       a 3 例7    (2017浙江,3,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体 的体积(单位:cm 3 )是   (　　)   A.   +1　    B.   +3 C.   +1　    D.   +3 考向二　已知几何体的三视图求体积 解析　本题考查三视图和直观图,三棱锥和圆锥的体积计算. 由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm,高为3 cm的半个圆锥和一个 三棱锥组成的,如图,三棱锥的高为3 cm,底面△ ABC 中, AB =2 cm, OC =1 cm, AB ⊥ OC .故该几何体的体积 V =   ×   × π × 1 2 × 3+   ×   × 2 × 1 × 3=   cm 3 .故选 A.   答案    A 方法1 　空间几何体表面积的求解方法 1.求多面体的表面积时,把各个面的面积相加即可. 2.求旋转体(球除外)的表面积时,将旋转体(球除外)展成平面图形求其面 积,注意弄清楚它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系. 3.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割或补形成基本的 柱、锥、台体.先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作 差获得所求几何体的表面积. 方法技巧 例1    (2019湖南岳阳一模,6)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的 表面积为   (　　)   A.8+16   　     B.16+12   C.16+16   　    D.32+16   解析　由三视图得到该几何体是四棱锥 P - ABCD (如图),其中 PA ⊥平面 ABCD , 底面四边形 ABCD 是正方形,且 PA = AB = BC = CD = DA =4, ∴ S △ PAB = S △ PAD =   × 4 × 4=8, S △ PBC = S △ PCD =   × 4 ×   =8   , S 正方形 ABCD =4 2 =16, ∴四棱锥 P - ABCD 的表面积 S =2 × 8+2 × 8   +16=32+16   .故选D.   答案    D 方法2　 空间几何体体积的求解方法 1.公式法:当所给几何体是常见的柱、锥、台等规则的几何体时,可以直接 代入各自几何体的体积公式进行计算. 2.割补法:求不规则几何体的体积时,可以将所给几何体分割成若干个常见 的几何体,分别求出这些几何体的体积,从而得出所求几何体的体积. 3.等体积转化法:利用三棱锥的特性,即任意一个面都可以作为底面,从而进 行换底换高计算.此种方法充分体现了数学的转化思想, 在运用过程中要充 分注意距离之间的等价转化 . 例2    (2019北京,12,5分)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其 三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积 为 　　　     .     解析　本题考查了空间几何体的直观图和三视图,考查了空间几何体的体 积,考查了空间想象能力和数学运算能力.考查的核心素养为直观想象与数 学运算. 由三视图可知,该几何体的直观图如图所示.它是由棱长为4的正方体去掉 一个底面为梯形、高为4的直四棱柱后得到的几何体,其体积 V =4 3 -   × (2+4) × 2 × 4=40.   答案　40   解题关键    由三视图正确得到直观图是关键.该几何体也可看作由一个 长方体与一个三棱柱组合而成. 方法3 　与球有关的切、接问题的求解方法 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要 认真分析图形, 明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面 图. 如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球 的直径;球外接于正方体,正方体的各个顶点均在球面上,正方体的体对角 线长等于球的直径;球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题;球与多 面体的组合,通常过多面体的一条侧棱和球心、“切点”或“接点”作出 截面图进行解题. 例3    (2018课标全国Ⅲ,12,5分)设 A , B , C , D 是同一个半径为4的球的球面上 四点,△ ABC 为等边三角形且其面积为9   ,则三棱锥 D - ABC 体积的最大值 为   (　　) A.12   　    B.18   C.24   　    D.54   解析　设等边△ ABC 的边长为 a , 则有 S △ ABC =   a · a ·sin 60 ° =9   ,解得 a =6. 设△ ABC 外接圆的半径为 r ,则2 r =   ,解得 r =2   , 则球心到平面 ABC 的距离为   =2, 所以点 D 到平面 ABC 的最大距离为2+4=6, 所以三棱锥 D - ABC 体积的最大值为   × 9   × 6=18   ,故选B. 答案    B