北京市房山区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

北京市房山区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

房山区2019--2020学年度第一学期期末检测试卷 高二数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1.椭圆1的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆方程可知、、 的值，由离心率求出结果．‎ ‎【详解】解：由椭圆可知，，，，‎ 离心率，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出、 的值是解题的关键，属于基础题．‎ ‎2.在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ）‎ A. 一个球 B. 一个圆 C. 半圆 D. 一个点 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用共面向量的概念及向量的模即可得答案．‎ ‎【详解】解：平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．‎ 故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查方程，关键是理解共面向量的概念，属于基础题．‎ ‎3.双曲线的渐近线方程为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用双曲线的标准方程的渐近线方程为，求出双曲线的渐近线方程即可．‎ ‎【详解】解：因为双曲线的标准方程为，则它的渐近线方程为：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎4.已知向量与向量垂直，则实数x的值为（ ）‎ A. ﹣1 B. ‎1 ‎C. ﹣6 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数量积的坐标计算公式代入可得的值．‎ ‎【详解】解：向量，与向量垂直，则，‎ 由数量积坐标公式可得：，‎ 解得，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题．‎ ‎5.已知双曲线1的焦点为F1，F2，P为其上一点.若点P到F1的距离为15，则点P到F2的距离是（ ）‎ A. 31 B. ‎1 ‎C. ﹣1 D. ﹣1或31‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用双曲线的定义，转化求解即可．‎ ‎【详解】解：双曲线的焦点为，，为其上一点．‎ 所以，‎ 若点到的距离为，‎ ‎，‎ 解得或（舍去），‎ 所以点到的距离是：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属于基础题．‎ ‎6.已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可求，判断与共线，即可得解．‎ ‎【详解】解：直线的方向向量，平面的法向量，‎ ‎，‎ 则与共线，可得：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查满足线面平行的条件的判断，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎7.在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，向量与向量的夹角是（ ）‎ A. 150° B. 135° C. 45° D. 30°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用正方体的性质，求出向量与向量的夹角．‎ ‎【详解】解：如图，正方体中，，，‎ 的补角即为向量与向量 的夹角．‎ 为等腰直角三角形，‎ ‎，‎ 量与向量的夹角为，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题．‎ ‎8.已知抛物线上的点到抛物线焦点的距离，则点到轴的距离等于（ ）‎ A. 12 B. ‎9 ‎C. 6 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出的横坐标，即为到轴的距离．‎ ‎【详解】解：由抛物线的方程可得准线方程为：，设的横坐标为，由抛物线的性质可得，所以，所以到轴的距离为6，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】考查抛物线的定义的理解，属于基础题．‎ ‎9.已知双曲线的离心率，则实数的取值范围是　　‎ A. 或 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用已知条件求解即可．‎ ‎【详解】解：双曲线可知，并且，，双曲线的离心率为：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，综上．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的基本性质的应用，注意双曲线方程的判断，属于基础题．‎ ‎10.如果抛物线的焦点为．点为该抛物线上的动点，又点．那么的最大值是　　‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得在抛物线的准线上，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得，所以的最大值时，，，三点共线，可得结果．‎ ‎【详解】解：由抛物线的方程可得，焦点，准线方程为：，点在准线上，‎ 作准线交于，由抛物线的性质可得，所以，‎ 在三角形中，，所以的最大值时，最小，‎ 当，，上的共线时，最小，所以这时的最大值为1，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】考查抛物线简单几何性质，属于基础题．‎ ‎11.“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的标准方程，即可得到结论．‎ 详解】解：若方程表示椭圆，则，，‎ 则方程等价为，‎ 若方程表示焦点在轴上椭圆，‎ 则等价为，‎ 解得：，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义和方程，将条件转化为标准方程形式是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎12.在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，点Q是平面A1BCD1内的动点，且点Q到直线AB1和直线BC的距离相等，则动点Q的轨迹是（ ）‎ A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，证明到直线的距离为到点的距离，再由抛物线的定义得动点的轨迹．‎ ‎【详解】解：如图，‎ 在正方体中，有平面，则，‎ 又，，平面，平面，‎ 平面，‎ 设，连接，则，垂直为，‎ 而与在平面 内，且，‎ 又点到直线和直线的距离相等，即点到的距离与到直线的距离相等，‎ 由抛物线定义可知，动点的轨迹是抛物线的一部分．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查抛物线定义的应用，属于中档题．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎13.设θ是直线与平面所成的角，则角θ的取值范围是_____.‎ ‎【答案】[0，].‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，当直线与平面垂直时，取最大值，由此能求出角的取值范围．‎ ‎【详解】解：是直线与平面所成的角，‎ 当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，‎ 当直线与平面垂直时，取最大值，‎ 角的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查线面角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎14.双曲线1的实轴长为_____.‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用双曲线标准方程，求出实轴长即可．‎ ‎【详解】解：双曲线的实轴长为：．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．‎ ‎15.抛物线的准线方程是_____，焦点坐标是_____.‎ ‎【答案】 (1). y＝2 (2). （0，﹣2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的方程直接可得的值及焦点所在轴，求出结果．‎ ‎【详解】解：由抛物线可得：，所以，且焦点在轴的负半轴上，所以焦点即：，准线，‎ 故答案分别为：；．‎ ‎【点睛】考查抛物线的标准方程求焦点坐标及准线方程，属于基础题．‎ ‎16.以下三个关于圆锥曲线的命题：‎ ‎①设，为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线；‎ ‎②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎③双曲线与椭圆有相同的焦点．‎ 其中真命题的序号为_____（写出所有真命题的序号）.‎ ‎【答案】②③.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据双曲线的定义知①不正确，（2）解方程知两个正根，一根大于1‎ 作双曲线的离心率，一根小于1作椭圆的离心率，判定②正确；，（3）求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，判定③正确．‎ ‎【详解】解：①平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线，当时是双曲线的一支，当时，表示射线，①不正确；‎ ‎②方程的两根是2和，2可作为双曲线的离心率，可作为椭圆的离心率，②正确；‎ ‎③双曲线与椭圆的焦点都是，有相同的焦点，③正确；‎ 故答案为：②③．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，属于基础题．‎ ‎17.在长方体中，，则二面角的大小为_____.‎ ‎【答案】45°.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．‎ ‎【详解】解：设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则平面的法向量， ‎ ‎， ， ，‎ ‎，0，，，，，‎ 设平面的法向量， ‎ 则，取，得，1，，‎ 设二面角的大小为，‎ 则，‎ ‎．‎ 二面角的大小为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎18.已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，采用“点差法”，得，再根据直线过点，和AB的中点坐标，得，结合椭圆中a，b，c的关系，可求得，，即可得E的方程.‎ ‎【详解】已知，设，，则①，②，‎ 已知AB的中点坐标为，，‎ ‎①－②得，‎ ‎∴， ‎ ‎∵，∴，即，‎ 又，‎ ‎∴，，即E的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中点问题中，常采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解.‎ 三、解答题：本大题共4小题，每题15分，共60分.‎ ‎19.如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．‎ ‎（1）求异面直线与所成的角；‎ ‎（2）求证：平面．‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为，，，利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，．因为三棱柱为直三棱柱，可得平面 ‎，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出．‎ ‎【详解】解：（1）因为，，，‎ 所以，所以是直角三角形，‎ 所以，所以 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，‎ 所以，‎ 以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，0，，，0，，，4，，，0，‎ 所以直线的方向向量为，直线的方向向量为，‎ 设异面直线与所成的角为，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以异面直线与所成的角为．‎ ‎（2）由（1）可知，，4，，则，‎ 设平面的法向量为，则，所以 令，则，，所以 直线的方向向量为，‎ 因，平面， 所以平面．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形中位线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20.在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，且，点是椭圆上一点，直线交椭圆于点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的性质，将代入椭圆方程，即可求得的值，求得椭圆方程；‎ ‎（2）由（1）可知，求得直线的方程，代入椭圆方程，求得点坐标，求得，即可求得的面积．‎ ‎【详解】解：（1）因为顶点的坐标为，，‎ 所以，‎ 因为点在椭圆上，所以，解得，‎ 故所求椭圆的方程为.‎ ‎（2）因为点的坐标为，点的坐标为，‎ 所以直线的斜率，所以直线的方程为，‎ 由得，，所以或，‎ 所以点的坐标为，所以，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．‎ ‎21.已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点．‎ ‎（1）当抛物线过点时，求抛物线的方程；‎ ‎（2）证明：定值．‎ ‎【答案】（1）y2＝4x（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点代入抛物线方程，即可求得的值，求得抛物线方程；‎ ‎（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，即可证明是定值．‎ ‎【详解】解：（1）因为抛物线过点，‎ 所以，，‎ 所以抛物线的方程；‎ ‎（2）证明：当直线斜率存在时，，设直线的方程为，则 ‎，‎ 将（1）代入（2）得，，化简得，‎ 设，的坐标分别为，，则，‎ 因为点，都在抛物线上，所以，，‎ 所以，所以，‎ 因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，‎ 所以，，所以，是定值．‎ 当直线无斜率时，，设，的坐标分别为，，，，则，代入抛物线方程得，，，‎ 所以，因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，‎ 所以，，所以，是定值．‎ 综上，，是定值．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查分类讨论思想，计算能力，属于中档题．‎ ‎22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝1，AD，F是PB中点，E为BC上一点.‎ ‎（1）求证：AF⊥平面PBC；‎ ‎（2）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）BE ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面．‎ ‎（2）设，，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出当时，二面角为．‎ ‎【详解】解：（1）证明：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎，，是中点，‎ ‎，0，，，0，，，1，，，1，，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 平面．‎ ‎（2）设，，1，，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，‎ 取，得，，，‎ 平面的法向量为，‎ 二面角为，‎ ‎，‎ 解得，‎ 当时，二面角为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面垂直证明，考查使得二面角为的线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．‎