【数学】2018届一轮复习人教A版11-6几何概型学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版11-6几何概型学案

§11.6 几何概型 考纲展示► 1.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. 2.了解几何概型的意义. 考点 1 与长度(角度)有关的几何概型 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中可能出现的结果________; (2)等可能性:每个试验结果的发生具有________. 答案:(1)有无限多个 (2)等可能性 3.几何概型的概率计算公式 P(A)= 构成事件 A 的区域长度 面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 . [提醒] 求解几何概型问题注意数形结合思想的应用. [教材习题改编]在区间[-3,5]上随机取一个数 x,则 x∈[1,3]的概率为__________. 答案:1 4 解析:记“x∈[1,3]”为事件 A,则由几何概型的概率计算公式可得 P(A)=3-1 5+3 =1 4 . 几何概型的特点:等可能性;无限性. 给出下列概率模型: ①在区间[-5,5]上任取一个数,求取到 1 的概率; ②在区间[-5,5]上任取一个数,求取到绝对值不大于 1 的数的概率; ③在区间[-5,5]上任取一个整数,求取到大于 1 的数的概率; ④向一个边长为 5 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P,求点 P 与正方形 ABCD 的中心的距离不 超过 1 cm 的概率. 其中,是几何概型的有__________.(填序号) 答案:①②④ 解析:①在区间[-5,5]内有无限多个数,取到 1 这个数的概率为 0,故是几何概型; ②在区间[-5,5]和[-1,1]内有无限多个数(无限性),且在这两个区间内每个数被取到 的可能性都相同(等可能性),故是几何概型; ③在区间[-5,5]内的整数只有 11 个,不满足无限性,故不是几何概型; ④在边长为 5 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性),且点 P 落在 这两个区域内的任何位置的可能性都相同(等可能性),故是几何概型. [典题 1] (1)在区间[0,2]上随机地取一个数 x,则事件“-1≤log1 2 x+1 2 ≤1”发生 的概率为( ) A.3 4 B.2 3 C.1 3 D.1 4 [答案] A [解析] 不等式-1≤log1 2 x+1 2 ≤1 可化为 log1 2 2≤log1 2 x+1 2 ≤log1 2 1 2 ,即1 2 ≤x+ 1 2 ≤2,解得 0≤x≤3 2 , 故由几何概型的概率公式,得 P= 3 2 -0 2-0 =3 4 . (2)[2017·河北衡水一模]在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,邻边长分 别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形的面积大于 20 cm2 的概率为( ) A.1 6 B.1 3 C.2 3 D.4 5 [答案] C [解析] 设|AC|=x,则|BC|=12-x, 所以 x(12-x)>20,解得 21 3 , 三棱锥 S-ABC 的高与三棱锥 S-APC 的高相同. 作 PM⊥AC 于 M,BN⊥AC 于 N, 则 PM,BN 分别为△APC 与△ABC 的高, 所以VS-APC VS-ABC =S△APC S△ABC =PM BN >1 3 , 又PM BN =AP AB ,所以AP AB >1 3 , 故所求的概率为2 3 (即为长度之比). 考点 3 与面积有关的几何概型 (1)[教材习题改编] 如图所示,圆中阴影部分的圆心角为 45°,某人向圆内投镖,假设他每次都投入圆内, 那么他投中阴影部分的概率为________. 答案:1 8 解析:所求概率为 45° 360° =1 8 . (2)[教材习题改编]如图所示,在边长为 a 的正方形内有不规则图形Ω,向正方形内随机 撒豆子,若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为 m,n,则图形Ω面积的估计值为 __________. 答案:ma2 n 解析:由题意知,不规则图形Ω的面积∶正方形的面积=m∶n,所以不规则图形Ω的面 积=m n ×正方形的面积=m n ×a2=ma2 n . 几何概型:构成事件区域的长度(面积或体积);几何概型的概率公式. 设一直角三角形的两条直角边长均是区间(0,1)上的任意实数,则斜边长小于3 4 的概率为 __________. 答案:9π 64 解析: 设两条直角边长分别为 a,b,由已知可知 a2+b2< 3 4 2,如图所示, 所以所求概率 P= 1 4 π× 3 4 2 1×1 =9π 64 . [考情聚焦] 与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一. 主要有以下几个命题角度: 角度一 与平面图形面积有关的问题 [典题 3] (1)[2017·广东七校联考]如图,已知圆的半径为 10,其内接三角形 ABC 的内 角 A,B 分别为 60°和 45°,现向圆内随机撒一粒豆子,则豆子落在三角形 ABC 内的概率为 ( ) A.3+ 3 16π B.3+ 3 4π C. 4π 3+ 3 D. 16π 3+ 3 [答案] B [解析] 由正弦定 理 BC sin A = AC sin B = 2R(R 为圆的半 径)⇒ BC=20sin 60°, AC=20sin 45° ⇒ BC=10 3, AC=10 2. 那么 S△ABC=1 2 ×10 3×10 2×sin 75° =1 2 ×10 3×10 2× 6+ 2 4 =25(3+ 3). 于是,豆子落在三角形 ABC 内的概率为 S△ABC 圆的面积 =25 3+ 3 102π =3+ 3 4π . (2)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为(1,0),且点 C 与点 D 在函数 f(x) = x+1,x≥0, -1 2 x+1,x<0 的图象上.若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等 于( ) A.1 6 B.1 4 C.3 8 D.1 2 [答案] B [解析] 由图形知 C(1,2),D(-2,2), ∴S 矩形 ABCD=6. 又 S 阴=1 2 ×3×1=3 2 , ∴P= 3 2 6 =1 4 . 角度二 与线性规划交汇命题的问题 [典题 4] (1)在区间[0,1]上随机取两个数 x,y,记 p1 为事件“x+y≤1 2 ”的概率,p2 为 事件“xy≤1 2 ”的概率,则( ) A.p1<p2<1 2 B.p2<1 2 <p1 C.1 2 <p2<p1 D.p1<1 2 <p2 [答案] D [解析] 如图, 满足条件的 x,y 构成的点(x,y)在正方形 OBCA 内,其面积为 1. 事件“x+y≤1 2 ”对应的图形为阴影△ODE, 其面积为1 2 ×1 2 ×1 2 =1 8 ,故 p1=1 8 <1 2 ; 事件“xy≤1 2 ”对应的图形为斜线表示部分,其面积显然大于1 2 ,故 p2>1 2 ,则 p1<1 2 <p2, 故选 D. (2)[2017·山东枣庄八中模拟]在区间[1,5]和[2,6]内分别取一个数,记为 a 和 b,则方 程x2 a2-y2 b2=1(a
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