2020届二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1)

2020届二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1)

集合、简易逻辑与不等式 一、单选题 1 ． 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 当 时 ， ， 若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：当 时，有函数解析式可知函数为增函数， 的解为 ， 又 为偶函数，所以在图像关于 y 轴对称，因此 的取值范围是 考点：1.函数奇偶性；2.函数单调性解不等式 2．（2013•成都）一元二次方程 x2+x﹣2=0 的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解析】 试题分析：先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况． 解：△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣2）=9， ∵9＞0， )(xf 0≥x )1(log)( 2 2 ++= xxxf )2()( ftf ≥ t ]2,( −−∞ ),2[ +∞ ]2,2[− ),2[]2,( +∞∪−−∞ 0≥x ( ) (2)f t f∴ ≥ 2t > )(xf t ( , 2] [2, )−∞ − +∞ ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选 A． 考点：根的判别式． 3．已知实数 满足不等式组 ，则 的最大值为 A．3 B．5 C．4 D．6 【答案】B 【解析】 绘制不等式组表示的可行域，目标函数表示可行域内的点与点 之间 连线的斜率，则目标函数在点 处取得最大值： . 本题选择 B 选项. 点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求 法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的 几何意义． ,x y 2 4 0 0 x y x y + =  ≥  ≥ 1 1 y x + + ( )1, 1C − − ( )0,4B 4 1 50 1 + =+ 4．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值与最小值的和为（ ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】 由题意，可作出约束条件的可行域图，如图中的阴影部分，将目标函数转化为 ， 并作出其平行直线 ，在可行域范围内进行平移，从而可发现，当直线过顶点 时，有 ，当直线过顶点 时，有 ，从而有 .故选 C. 5．设全集 是实数集 ， 与 都是 的子集 （如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 x y 3 3 1 0 x y x y y + ≤  − ≥  ≥ z x y= + y x z= − + y x= − ( )0,1A min 1z = ( )0,3B max 3z = min max 4z z+ = I R { }| 3M x x= > { }| ( 3)( 1) 0N x x x= − − ≤ I { }|1 3x x< < { }|1 3x x≤ < { }|1 3x x< ≤ { }|1 3x x≤ ≤ 试 题 分 析 ： 集 合 ， 图 中 阴 影 部 分 表 示 ， ，所以 . 考点：集合的运算. 6．对于任意实数 a、b、c、d，命题:①若 a＞b，则 ＜ ；②若 a＞b，c＞d，则 a－ c＞b－d；③若 ，则 ；④若 ，则 ．其中真命 题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】 试题分析：①若 ，显然不成立；②若 ，显然不成 立；③若 ，不成立，故选 D 考点：不等式的基本性质． 7．已知集合 ， ，则 （ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ． 或 ．∴ ． 综上所述，故选 ． 8．已知 e1，e2 为平面上的单位向量，e1 与 e2 的起点均为坐标原点 O，e1 与 e2 夹角为π 3. 平面区域 D 由所有满足OP = λe1 +μe2的点 P 组成，其中{λ + μ ≤ 1 0 ≤ λ 0 ≤ μ ，那么平面区域 D 的 { }1 3N x x= ≤ ≤ ( )UC M N { }3IC M x= ≤ ( ) { }1 3IC M N x x= ≤ < 1 a 1 b 2 2ac bc> a b> 0,a b c d> > > ac bd> 0,0 <> ba 1,6,3,5 ==== dcba 0=c { }( 1) 0A x x x= − < { }e 1xB x= > ( )A B∩ =R [1, )+∞ (0, )+∞ (0,1) [0,1] { ( 1) 0} { 0 1}A x x x x x= − < = < < { e 1} { 0}xB x x x= > = > { 0A x x= ≤R 1}x ≥ ( ) { 1}A B x xR ∩ = ≥ A 面积为（ ） A．1 2 B． 3 C． 3 2 D． 3 4 【答案】D 【解析】 【详解】 设e1 = (1,0),e2 = (1 2, 3 2 ),P(x,y)，则{x = λ + 1 2μ y = 3 2 μ ∴ { μ = 2 3y λ = x− y 3 因为{λ + μ ≤ 1 0 ≤ λ 0 ≤ μ ，所以{x + y 3 ≤ 1 x− y 3 ≥ 0 y ≥ 0 ，围成一个三角形，面积为1 2 × 1 × 3 2 = 3 4 ，选 D. 9．已知 ，若 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为 ，化简可得 ，故 ，即 ，当 且仅当 是等号成立，即 的最小值是 8，故选 C. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式 求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等 式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等 技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 10．若直线ax + by = 4与不等式组{2x−5y + 8 ≥ 0 2x + y−4 ≤ 0 x + 2y + 4 ≥ 0 表示的平面区域无公共点,则a + b的取 值范围（ ） A．(3 2,3) B．(−3,3) C．(−3,3 2) D．(−1,3) , (0, )m n∈ +∞ 2mm n = + mn 4 6 8 10 2mm n = + 2 2 2mn m n mn= + ≥ ( )2 8mn mn≥ 8mn ≥ 2 4m n= = mn 【答案】B 【解析】 试题分析：作出不等式组{2x−5y + 8 ≥ 0 2x + y−4 ≤ 0 x + 2y + 4 ≥ 0 所表示的平面区域为三角形ABC，且A(−4,0)， B(−4,4)，C(1,2)，因为直线ax + by = 4不在该区域内，所以 { −4a−4 < 0 −4a + 4b−4 < 0 a + 2b−4 < 0 或{ −4a−4 > 0 −4a + 4b−4 > 0 a + 2b−4 > 0 ，即{ a > −1 a−b−1 < 0 a + 2b−4 < 0 或{ a < −1 a−b−1 < 0 a + 2b−4 > 0 这两个不等式组所表 示的平面区域如下图所示三角形区域，其中M(−1,−2),N(2,1)，P(−1,5 2)，由此可知a + b的 值为3，最小值为−3,所以a + b的取值范围为(−3,3)，故选 B． 考点：线性规划． 11．已知命题 ： ， ；命题 ： ， ，则 下列命题中为真命题的是（ ） A． B． C． D． p x R∀ ∈ 2 2log ( 2 3) 1x x+ + > q 0x R∃ ∈ 0sin 1x > p q¬ ∧ ¬ p q∧ ¬ p q¬ ∧ p q∧ 【答案】A 【解析】 ， ，故 为假命题， 为真命 题.因为 ， ，所以命题 ： ， 为假命题，所以 为真 命题，则 为真命题，故选 A． 12．已知集合A = {−1,0,1}，B = {x|x > a}，若A ∩ B = A,则实数a的取值可以为（ ） A．−2 B．−1 C．1 D．2 【答案】A 【解析】 【分析】 由 A∩B＝A，得 A⊆B，得 a＜﹣1，结合选项得 a＝﹣2． 【详解】 ∵A∩B＝A，∴A⊆B，∴a＜﹣1，∴a＝﹣2． 故选：A． 【点睛】 本题考查集合间的基本关系的应用，属基础题． 二、填空题 13．设 是非空集合，定义 ．已知集合 ,则 ＝__________________. 【答案】 【解析】 ( )22 2 3 1 2 2x x x+ + = + + ≥ ( )2 2log 2 3 1x x∴ + + ≥ p p¬ x R∀ ∈ sin 1x ≤ q 0x R∃ ∈ 0sin 1x > q¬ p q¬ ∧ ¬ A B、 { }( ) ( )A B x s A B x A B⊗ = ∈ ∪ ∈ ∩且 { }{ 0 2}, 0A x x B y y= < < = ≥ A B⊗ { }0 2x x x= ≥或 , 则 14．下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______ ∵ 即 ……① 即 ……② 即 ……③ ∵ 可证得 ……④ 【答案】③ 【解析】 【分析】 由于 ，所以所以 即 . 【详解】 由于 ， ， 所以 即 ，所以第③步推理错误. 【点睛】 本题考查不等式 8 条基本性质，其中出问题的是不等式两边同时乘以一个负数，不等号 要改变方向. 15．设 A＝{x|x≤1 或 x≥3}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，A∩B＝∅，则 a 的取值范围是 ________． { } { }|0 2 , | 0A x x B y y = < < = ≥ { }| 0A B x x∴ ∪ = ≥ { }|0 2A B x x∩ = < < { }| 0 2A B x x x 或= = ≥ a b< a a b a∴ + < + 2a b a< + 2 2 2a b b a b∴ − < + − 2( )a b a b− < − 2( )( ) ( )( )a b a b a b a b∴ − − < − − 2 22( ) ( )a b a b− < − 2( ) 0a b− > ∴ 2 1< 0a b− < 2( )( ) ( )( )a b a b a b a b− − > − − 2 22( ) ( )a b a b− > − 0a b− < 2( )a b a b− < − 2( )( ) ( )( )a b a b a b a b− − > − − 2 22( ) ( )a b a b− > − 【答案】(1,2) 【解析】 画数轴，可得 ,解得 1＜a＜2,故填(1,2). 点睛: 集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它 的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常 常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分 式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集 合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集 和补集的题目. 16．关于 的不等式 的解集是 ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】 利用二次不等式解集与二次方程根的关系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再 利用根与系数的关系，得到 和 的值，得到答案. 【详解】 因为关于 的不等式 的解集是 ， 所以关于 的方程 的解是 ， 由根与系数的关系得 ，解得 ， 所以 . 1 1 3 a a >  + < x 2 0x bx c+ + > ( ) 1, 2 ,2  −∞ − − +∞   b c+ = 7 2 b c x 2 0x bx c+ + > ( ) 1, 2 ,2  −∞ − − +∞   x 2 0x bx c+ + = 12, 2x x= − = − 12 2 12 2 b c − − = −  − × − =    5 2 1 b c  =  = 7 2b c+ = 【点睛】 本题考查二次不等式解集和二次方程根之间的关系，属于简单题. 三、解答题 17．已知函数 . （1）求函数 的最小值 ； （2）当 时，求证： . 【答案】（1）a = 5 2；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）分三段讨论函数 的单调性进而求出最小值； （2）左边变形为(m−n) + (m−n) + a (m−n)2利用基本不等式可证. 试题解析：（1） ，所以 在 单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 ． （2）只需证 ，即证 . 考点：1、分段函数求最值；2、基本不等式的应用. 18． 已知 p：|x－8|≤2，q： ，r：x2－3ax＋2a2＜0(a＞0)．若 r 是 p 1 0 1 x x − > + 的必要不充分条件，且 r 是 q 的充分不必要条件，试求 a 的取值范围． 【答案】 【解析】 试题分析：可分别求出 为真时的对应的 的集合，利用充分必要条件与集合之间 的包含关系得参数 的不等关系. 试题解析：命题 p：{x|6≤x≤10}；命题 q：{x|x>1}；命题 r：{x|a { }2| log , 2A y y x x= = > 1| , 12 x B y y x    = = <      A B ( )1,+∞ ( )1 1,y A> ∴ = +∞ 1 1 ,2 2 x y  = >   1 ,2  +∞   ( )1,A = +∞ ( )1,+∞ 20．解关于 的不等式 ． 【答案】见解析. 【解析】 试题分析：等式 等价于 ，即 ，可化为 ，讨论 和 0 求解即可. 试题解析： 不等式 等价于 ， 即 ，可化为 ， 当 时， ，解得 ； 当 时， ∵方程 的两根为 ， ， ∴当 时，解得 或 ； 当 时，解得 ， 综上所述，当 时，不等式的解集为 或 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ． 点睛： （1）解答本题时要注意分类讨论的运用，根据实数 的不同的取值得到不同的集合； x 2 01 mx xmx − >− 2 01 mx xmx − >− 2 2 01 mx mx x mx − + >− 01 x mx >− ( )1 0x mx − > m 2 01 mx xmx − >− 2 2 01 mx mx x mx − + >− 01 x mx >− ( )1 0x mx − > 0m = 0x− > 0x < 0m ≠ ( )1 0x mx − = 1 0x = 2 1x m = 0m > 0x < 1x m > 0m < 1 0xm < < 0m > { | 0x x < 1x m >  0m = { }| 0x x < 0m < 1 0x xm  < <    m 另外还应注意转化思想的运用，在本题中将分式不等式转化为一元二次不等式求解． （2）对于二次型的不等式，要注意二次项系数是否为 0，是被容易忽视的问题． 21．有定点 P（6，4）及定直线 l：y=4x，Q 是 l 上在第一象限内的点．PQ 交 x 轴的正 半轴于 M 点，问点 Q 在什么位置时，△OMQ 的面积最小，并求出最小值． 【答案】40 【解析】 【分析】 设出 Q 点坐标，写出直线 PQ 的方程，令 x=0 求出 OM，利用三角形 OMQ 的 OM 上的 高为 Q 的纵坐标，则根据三角形的面积公式表示出面积，然后利用基本不等式求出面 积的最小值即可． 【详解】 解：设 Q（a，4a），则直线 PQ 的方程为 y﹣4= （x﹣6）， 令 y=0，得到 x=OM= ， 所以当 a＞1，即 a+1＞0，a﹣1＞0 时， △OMQ 的面积 S= × ×4a=10×[ ]=10×[（a﹣1） + ]+20≥10×2 +20=40，当且仅当（a﹣1）= 时（a=2）取等 号； 所以当 Q 的坐标为（2，8）时，面积 S 的最小值为 40． 考点：基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式；直线的一般式方程． 22．已知集合 A 可表示为{a,a2, },求实数 a 应满足的条件. 【答案】a≠0,a≠1,a≠-1. 【解析】 4 4 6 a a − − 5 1 a a − 1 2 5 1 a a − 2( 1) 2( 1) 1 1 a a a − + − + − 1 1a − 1( 1) 1a a − × − 1 1a − 1 a 分析：利用元素的互异性求解． 详解： 由题意可得 A={a,a2, },由集合中元素的互异性可得 ,解得 a≠0,a≠1,a≠-1.故实数 a 应满足的条件为 a≠0,a≠1,a≠-1. 点睛：本题考查集合中元素的互异性，由集合中元素两两不等，可得 的范围． 1 a 2 2 1 1 a a a a a a   ≠  ≠   ≠ a