北京市中央民族大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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北京市中央民族大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

中央民族大学附属中学2019——2020学年第一学期 高二年级期中考试数学试题 第I卷(共40分)‎ 一、选择题(本大题共8小题每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)‎ ‎1.已知数列的通项公式为,则  ‎ A. 100 B. ‎110 ‎C. 120 D. 130‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在数列的通项公式中,令,可得的值.‎ ‎【详解】数列的通项公式为,‎ 则.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查已知数列通项公式,求数列的项,考查代入法求解,属于基础题.‎ ‎2.双曲线1的焦点坐标为(  )‎ A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线,,,可得双曲线的焦点坐标.‎ ‎【详解】双曲线方程可得:,,,‎ 因为双曲线的焦点在轴上,‎ 所以双曲线的焦点为,,,.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的焦点的坐标,考查方程思想和运算能力,属于基础题.‎ ‎3.抛物线的准线方程是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:由抛物线方程可知,,焦点在轴正半轴,所以其准线方程为.故C正确.‎ 考点:抛物线准线方程.‎ ‎4.已知不等式的解集是,则的值为  ‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的解集得出对应方程的实数根,由根与系数的关系求出和的值,再计算.‎ ‎【详解】不等式的解集是,‎ 所以方程的实数根为1和2,‎ 所以,解得:,;‎ 所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的求解,考查一元二次不等式与一元二次方程根的关系.‎ ‎5.若,为正实数,且,则的最大值为  ‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,为正实数,则,再验证等号成立,从而得出结论.‎ ‎【详解】,为正实数,且,当且仅当成立,‎ 因为,所以.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用,考查基本运算求解能力,求解时要注意验证等号成立的条件.‎ ‎6. 下列结论正确的是( )‎ A. 若,则 B 若,则 C. 若,,则 D. 若<,则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:对于A项,考查的是不等式的性质,当大于零时才行,所以A不对,对于B项,结论应该为,故B项是错的,对于C项,应该是不等式的两边同时加上一个数,不等号的方向不变,故C错,对于D项涉及到的是不等式的乘方运算性质,只有D对,故选D.‎ 考点:不等式性质.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎7.在各项均为正数的等比数列中,且,,成等差数列,记是数列的前项和,则  ‎ A. 60 B. ‎61 ‎C. 62 D. 64‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质及等比数列的通项公式求出公比,然后代入等比数列的前项和公式得答案.‎ ‎【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为,又,‎ 则,,,‎ ‎,,成等差数列,‎ ‎,‎ ‎,‎ 由,解得,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式、前项和公式、等差中项性质,考查方程思想和运算求解能力.‎ ‎8.已知直线与直线的交点为,椭圆的焦点为,,则的取值范围是  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,由直线的方程分析可得直线恒过点,直线恒过点,且直线与直线相互垂直,为两直线的交点,进而分析可得的轨迹,设,求出椭圆的焦点坐标,分析可得用表示和的值,据此分析可得答案.‎ ‎【详解】由条件可知恒过点,恒过点,且,垂直,所以点在以为圆心,为直径的圆上运动,‎ 设,则,‎ 根据椭圆方程可知焦点坐标分别为,,,,‎ 则当与和共线时,最短为,‎ 又因为,,‎ 而,‎ 当且仅当,时等号成立,‎ 故的取值范围是,.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质,涉及轨迹方程的计算,分析出点的轨迹是关键,属于中档题.‎ 第II卷(共110分)‎ 二、填空题:(本大题共6小题每小题5分,共30分)‎ ‎9.双曲线的渐近线方程________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】∵双曲线的a=2,b=1,焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=±‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±‎ 故答案为y=±‎ ‎【点睛】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想 ‎10.椭圆的焦点在x轴上,则实数m的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的标准方程,结合焦点所在的轴,列出不等式求解即可.‎ ‎【详解】椭圆焦点在轴上,,‎ 解得:,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查对方程的认识,属于基础题.‎ ‎11.等差数列的前项和为,已知,,则__时,取得最小值.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的前项和公式,可得,,从而得到前4项和最小.‎ ‎【详解】等差数列的前项和为,由,得,‎ ‎,故,‎ 所以前4项和最小,‎ 故答案为:4.‎ ‎【点睛】考查等差数列前项和的最值,考查逻辑推理能力,求解的关键是找出前4项均小于0,从第5项开始大于0,考查基本运算求解能力.‎ ‎12.已知抛物线的焦点是,点是抛物线上的动点,又有点,则的最小值为_____.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过作准线,交准线于点,则的最小值为,由此能求出的最小值.‎ ‎【详解】抛物线的焦点是,焦点,准线方程,‎ 如图,过作准线,交准线于点,‎ 的最小值为,‎ ‎.‎ 故答案为:4.‎ ‎【点睛】本题考查两线段和的最小值的求法,考查抛物线、直线方程等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.‎ ‎13.若,,且,则的最小值是________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ 试题分析:,当且仅当时取等号 考点:基本不等式求最值 ‎【易错点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.‎ ‎14.设双曲线的两个焦点分别是、,以线段为直径的圆交双曲线于、、、四点,若、、、、、恰为正六边形的六个顶点,则双曲线的离心率等于_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得正六边形的边长为,由双曲线的定义可得,即,运用双曲线的离心率公式,即可得到所求值.‎ ‎【详解】如图所示:‎ ‎、、、、、恰为正六边形的六个顶点,,‎ 可得正六边形的边长为,,‎ 由双曲线的定义可得,‎ 即,即有.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义和性质,圆与内接正六边形的关系,考查转化与化归思想的运用及运算求解能力.‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.已知等差数列中,,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和公式.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由等差数列通项公式列出方程组,求出,,即可得到数列的通项公式.‎ ‎(2)由,,直接代入数列的前项和公式.‎ ‎【详解】(1)等差数列中,,,‎ ‎,解得,,‎ ‎.‎ ‎(2),,‎ 数列的前项和公式.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力.‎ ‎16.共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析,每辆单车的营运累计收入(单位:元)与营运天数满足.‎ ‎(1)要使营运累计收入高于800元,求营运天数的取值范围;‎ ‎(2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运收入最大?‎ ‎【答案】(1)要使营运累计收入高于800元,营运天数应该在内取值;(2)每辆单车营运40天,可使每天的平均营运收入最大.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:⑴根据题意转化为即可求出结果(2) 每天的平均营运收入表达式为,利用基本不等式求出结果 解析:(1)要使营运累计收入高于800元,则 ‎ ‎ 所以要使营运累计收入高于800元,营运天数应该在内取值.‎ ‎(2)每辆单车每天的平均营运收入为 当且仅当时等号成立,解得,‎ 即每辆单车营运40天,可使每天的平均营运收入最大.‎ 点睛:本题是道二次函数的应用题,将实际问题转为数学模型,利用数学知识来解决问题,结合二次函数的值域来求解范围问题,在解答平均最值问题时先要给出表达式,利用基本不等式求出结果 ‎17.已知点、是椭圆的焦点,是椭圆上一点,直线.‎ ‎(1)求△的周长;‎ ‎(2)若直线与椭圆相切,求的值;‎ ‎(3)当时,直线与椭圆相交于、两点,求弦长.‎ ‎【答案】(1);(2);(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意可知△周长;‎ ‎(2)利用直线与椭圆相切,联立直线与椭圆方程,则△,求得的值;‎ ‎(3)联立直线与椭圆方程,利用根与系数关系,即可求出的值.‎ ‎【详解】(1)由题的,,则因为在椭圆上,‎ 所以,,‎ 所以△周长为.‎ ‎(2)联立,整理得,则△,‎ 解得;‎ ‎(3)当时,方程为:,设,,,,‎ 联立,整理得,‎ 则,,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的周长、直线与椭圆相切、弦长计算等知识,考查运算求解能力,属于中档题.‎ ‎18.已知数列的前项和满足,.‎ ‎(1)求证:数列为等比数列;‎ ‎(2)若数列满足,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由,推导出,,由此能证明是首项为1,公比为的等比数列.‎ ‎(2)由,得,由此利用错位相减法能求出的前项和.‎ ‎【详解】(1)数列的前项和为,且满足,‎ 当时,,解得,‎ 当时,由①,得②,‎ ‎①②,得:,整理,得,‎ 是首项为1,公比为的等比数列.‎ ‎(2)是首项为1,公比为的等比数列,‎ ‎,‎ ‎,‎ 的前项和:‎ ‎,①‎ ‎,②‎ ‎②,得:‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的证明、错位相减法求和,考查方程思想的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意求和后常数的准确性.‎ ‎19.已知椭圆过点,且椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的标淮方程;‎ ‎(2)直线过点且与椭圆相交于、两点,椭圆的右顶点为,试判断是否能为直角.若能为直角,求出直线的方程,若不行,请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)不能为直角,证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)可得,..即可得椭圆的标淮方程.‎ ‎(2)对直线斜率分两种情况讨论:①当直线垂直轴时,易得不能为直角;‎ ‎②当直线不垂直轴时,可设直线代入椭圆方程,消去可得到关于的一元二次方程,再利用反证法,假设,得到与事实相矛盾,从而证明不能为直角.‎ ‎【详解】(1)椭圆过点,,‎ 椭圆的离心率,.‎ ‎,.‎ 椭圆的标淮方程为:.‎ ‎(2)①当直线垂直轴时,易得,.‎ 椭圆的右顶点为,,,‎ ‎,是不为直角.‎ ‎②当直线不垂直轴时,可设直线代入椭圆方程,‎ 消去可得:,‎ 设,,,,则有,,‎ 又,,,,,‎ 若是为直角:‎ 则 ‎,‎ 解得,不符合题意.‎ 故不能为直角.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的离心率与标准方程求解、直线与椭圆的置关系、向量数量积,考查方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,属于中档题.‎ ‎20.已知数列满足.‎ ‎(1)若,,,求,,及;‎ ‎(2)数列的前三项是等差数列,公差为,,若数列满足,对于任意的正整数,均有,求的范围.‎ ‎【答案】(1),,,,;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时,利用可以直接求出,的值,发现数列是以3为周期的周期数列,即可求出及;‎ ‎(2)利用数列的前三项是等差数列,可以得出,再利用已知条件求出的值,依次用表示出与代入数列求解即可;‎ ‎【详解】(1)当时,,‎ ‎,,‎ ‎,;‎ 数列是以3为周期的周期数列;‎ ‎;‎ ‎,;‎ ‎(2)数列的前三项是等差数列,‎ ‎,,,‎ ‎,‎ ‎,,,‎ 对于任意的正整数,均有,‎ ‎,即;‎ ‎,.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式求和公式,考查推理能力与计算能力,属于中档题.‎
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