湖北省2020届高三上学期期末考试精编仿真金卷数学(A理)试题

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湖北省2020届高三上学期期末考试精编仿真金卷数学(A理)试题

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2019-2020学年上学期高三期末考试备考精编金卷 理科数学(A)‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合,,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在复平面内,复数(为虚数单位)对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.从,,,这四个数字中随机选择两个不同的数字,则它们之和为偶数的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知向量,,若,则实数( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.函数的图象可能是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎6.函数在区间上至少存在个不同的零点,则正整数的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知抛物线的焦点为,点为抛物线上一点,过点作抛物线的准线的垂线,垂足为,若,的面积为,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.一个放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年就有的质量发生衰变,剩余质量为原来的.若该物质余下质量不超过原有的,则至少需要的年数是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.设,分别是正方体的棱上两点,且,,给出下列四个命题:‎ ‎①三棱锥的体积为定值;‎ ‎②异面直线与所成的角为;‎ ‎③平面;‎ ‎④直线与平面所成的角为.‎ 其中正确的命题为( )‎ A.①②④ B.②③ C.①② D.①④‎ ‎10.点,,,在同一球面上,,,若球的表面积为,则四面体体积的最大值为( )‎ A. B. C. D.1‎ ‎11.已知函数是偶函数,则下列结论可能成立的是( )‎ A., B.,‎ C., D.,‎ ‎12.若函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.的展开式中,的系数为 .‎ ‎14.在平面直角坐标系中,设角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,‎ 终边与单位圆的交点的横坐标为,则的值等于 .‎ ‎15.已知是定义在上的奇函数,若的图象向左平移个单位后关于轴对称,且,则 .‎ ‎16.已知是抛物线的焦点,为抛物线上的动点,且的坐标为,‎ 则的最小值是 .‎ 三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)已知数列的前项和为,,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)记,数列的前项和为,求证:.‎ ‎18.(12分)某家电公司销售部门共有名销售员,每年部门对每名销售员都有万元的年度销售任务.已知这名销售员去年完成的销售额都在区间(单位百万元)内,现将其分成组:第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为,,,,,并绘制如下的频率分布直方图.‎ ‎(1)若用分层抽样的方法从这名销售员中抽取容量为的样本,求的值和样本中完成年度任务的销售员人数;‎ ‎(2)从(1)中样本内完成年度任务的销售员中随机选取名,奖励海南三亚三日游,设获得此奖励的名销售员在第组的人数为,求的分布列和期望.‎ ‎19.(12分)如图,在边长为的菱形中,已知,且 ‎.将梯形沿直线折起,使平面,如图,,分别是,上的点.‎ ‎(1)若平面平面,求的长;‎ ‎(2)是否存在点,使直线与平面所成的角是?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎20.(12分)已知椭圆的离心率为,且过点.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)是否存在直线与相交于,两点,且满足:①与(为坐标原点)的斜率之和为2;②直线与圆相切,若存在,求的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎21.(12分)已知函数(,).‎ ‎(1)当时,比较与的大小,并证明;‎ ‎(2)若存在两个极值点,,证明:.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中,已知点的直角坐标为,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)直线和曲线交于、两点,求的值.‎ ‎23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】‎ 已知函数,的解集为.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)若关于的不等式对恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎2019-2020学年上学期高三期末考试备考精编金卷 理科数学(A)答案 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.【答案】B ‎【解析】由题意,集合,‎ ‎,所以.‎ ‎2.【答案】C ‎【解析】复数,则对应的点为,位于第三象限.‎ ‎3.【答案】B ‎【解析】从,,,这个数字中,随机抽取两个不同的数字,基本事件为,,,,,,‎ 这两个数字的和为偶数包含的基本事件为,,‎ ‎∴这两个数字的和为偶数的概率为.‎ ‎4.【答案】D ‎【解析】向量,,则,,‎ 又,所以,解得.‎ ‎5.【答案】D ‎【解析】函数是奇函数,排除选项A,C,‎ 当时,,对应点在轴下方,排除B.‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】函数在区间上至少存在个不同的零点,‎ ‎,‎ 根据题意得到只需要,最小整数为.‎ ‎7.【答案】C ‎【解析】抛物线焦点为,点为抛物线上一点,过作抛物线的准线的垂线,垂足是,‎ 若,由抛物线的定义可得,‎ 是正三角形,的面积为,‎ ‎∴,得.‎ ‎8.【答案】B ‎【解析】设原物质的质量为单位,一年后剩余质量为原来的,两年后变为原来的,‎ 依此类推,得到年后质量是原来的,只需要,结果为.‎ ‎9.【答案】C ‎【解析】如图所示,‎ 三棱锥的体积为为定值,①正确;‎ ‎,是异面直线与所成的角,为,②正确;‎ 与不垂直,由此知与平面不垂直,③错误;‎ 在三棱锥中,设到平面的距离为,‎ ‎,即有,‎ 解得,直线与平面所成的角的正弦为,‎ 即所成角为,④错误,‎ 综上,正确的命题序号是①②.‎ ‎10.【答案】C ‎【解析】因为球的表面积为,所以,∴,‎ 因为,所以三角形为直角三角形,‎ 从而球心到平面距离为,‎ 因此四面体体积的最大值为.‎ ‎11.【答案】D ‎【解析】根据题意,设,则,则由,,‎ 又由函数是偶函数,则,‎ 变形可得,‎ 即,‎ 必有,,‎ 分析可得,可得,满足题意.‎ ‎12.【答案】D ‎【解析】由,得,‎ 令,则,‎ 因此当时,,;当时,,,‎ 从而要有两个不同的零点,需.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解析】的展开式的通项公式为,‎ 令,求得,可得的系数为.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】∵角的顶点与原点重合,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆的交点的横坐标为,‎ ‎∴,,∴,∴.‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】∵是定义在上的奇函数,∴,‎ 将的图象向左平移个单位后,得到为偶函数,则,‎ 即,‎ 又是定义在上的奇函数,∴,即,‎ ‎.‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】抛物线的焦点,准线方程为,‎ 过点作垂直于准线,为垂足,则由抛物线定义可得,‎ 当与重合时,;‎ 当与不重合时,所以,为锐角,‎ 故当最小时,最小,故当和抛物线相切时,最小,‎ 设切点,由得导数为,‎ 则的斜率为,求得或,可得或,‎ 当时,,,;‎ 当时,,,,‎ 综上所述,故的最小值是.‎ 三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.【答案】(1);(2)证明见解析.‎ ‎【解析】(1)因为,所以,,‎ 两式相减化简得,‎ 又,所以,符合上式,‎ 所以是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以.‎ ‎(2)由(1)知,所以,所以 ‎.‎ ‎18.【答案】(1),人;(2),分布列见解析.‎ ‎【解析】(1)∵,‎ ‎∴,样本中完成年度销售人数为人.‎ ‎(2),,,,,‎ 分布列如图所示,‎ ‎∴.‎ ‎19.【答案】(1);(2)存在,.‎ ‎【解析】(1)证明:因为平面与平面有公共点,‎ 所以平面与平面相交,‎ 设交线为,若平面平面,‎ 因为平面平面,则,‎ 设,又因为,所以,‎ 同理,由平面平面,‎ 因为平面平面,平面平面,‎ 所以,所以.‎ 因为,,,所以,所以.‎ ‎(2)在图中,以点为原点,分别以,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系,如下图所示.‎ 易得,则,‎ 又,,,‎ 所以,,,,‎ 设,则,‎ 则,‎ 设平面的法向量为,‎ 由它与,均垂直,可得,‎ 令,可得,,所以,‎ 若存在,使与平面所成的角是,‎ 则,解得,‎ 因为,所以,即.‎ ‎20.【答案】(1);(2)存在,.‎ ‎【解析】(1)由已知得,,解得,,‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)把代入的方程得,‎ 设,,则,①,‎ 由已知得,‎ ‎∴②,‎ 把①代入②得,即③,‎ 又,由,得或,‎ 由直线与圆相切,则④,‎ ‎③④联立得(舍去)或,∴,‎ ‎∴直线的方程为.‎ ‎21.【答案】(1)见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】(1)当时,,‎ 则,‎ 所以函数在上单调递减,且,‎ 所以当时,;当时,;当时,.‎ ‎(2)函数,则,‎ 当时,在上恒成立,‎ 即在不存在极值,与题意不符,所以,‎ 又,是方程的两根,不妨设,‎ 由韦达定理得,,‎ 又在区间上递增,且,,‎ 所以,,即.‎ ‎22.【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】(1)将中参数消去得,‎ 将代入,得,‎ ‎∴直线和曲线的直角坐标方程分别为和.‎ ‎(2)将直线的参数方程代入曲线的普通方程,得,‎ 设、两点对应的参数为、,则,,且,,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎23.【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)由题意,可得,‎ 即,‎ 又因为解集为,所以.‎ ‎(2)不等式,表示数轴上到点和的距离之和,则或,‎ 于是,当关于的不等式对恒成立时,‎ 实数的取值范围是.‎
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