浙江省温州十五校联合体2019-2020学年高一上学期期中联考试题 数学

浙江省温州十五校联合体2019-2020学年高一上学期期中联考试题 数学

‎2019-2020学年浙江省温州十五校联合体高一上学期期中联考 数学试题 一、单选题 ‎1．下列函数中与函数相同的函数是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】可用相等函数的两个重要判断依据逐项判断 ‎【详解】‎ A项定义域，定义域不同，A错 B 项，对应关系不同，B错 C 项定义域，定义域不同，C错 D项，定义域和对应关系都相同，D对 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查相等函数的判断方法，抓住两点：定义域相同，对应关系相同（化简之后的表达式一致）‎ ‎2．下列结论描述正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用元素与集合，集合与集合的基本关系判断即可 ‎【详解】‎ 集合为自然数集，还包括正整数之外的其他正数，A错 为无理数，B错 空集是任何非空集合的真子集，表示不含任何元素的集合，C错 ‎·14·‎ 整数集的范围比自然数集大，所以，D对 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查元素与集合，集合与集合的基本关系，是基础题 ‎3．函数的定义域为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别求解分子和分母对应表达式所满足的限定条件，再求交集即可 ‎【详解】‎ 由题可知，应满足 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查具体函数的定义域，是基础题 ‎4．已知，函数与的图象只可能是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别判断，函数与的图像特征，结合选项采用排除法可快速求解 ‎·14·‎ ‎【详解】‎ ‎，，为减函数，答案在C,D中选择；根据与图像关于轴对称，可得与关于轴对称，所以四个选项中C项符合 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查函数图像的辨析，涉及函数图像的翻折变换，函数图形的翻折变换具有以下特点：‎ ‎①与图像关于轴对称 ‎②与图像关于轴对称 ‎③与图像关于原点对称 ‎5．在如图所示的三角形空地中，欲建一个如图所示的内接矩形花园（阴影部分），则该矩形花园的面积的最大值为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】可设矩形的长为，宽为，则以长为底的三角形和该锐角三角形相似，再根据相似比求出与的关系式，表示出面积关于的关系式，即可求解 ‎【详解】‎ 设矩形的长为，宽为，则以长为底的三角形和该锐角三角形相似，可得，则矩形面积，当矩形长时，面积最大，为225‎ 故选：C ‎【点睛】‎ ‎·14·‎ 本题考查以三角形为载体建立的一元二次函数求最值问题，找出长与宽的等量代换关系是解题关键 ‎6．已知，函数是奇函数，则的值( )‎ A.随的取值而变化 B.只与的取值有关 C.与和的取值都有关 D.0‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据奇函数的性质可得，，同时可判断，再将代入表达式求值即可 ‎【详解】‎ 因为是奇函数，所以，又奇函数定义域关于原点对称，所以，则，，，所以 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查奇函数的性质，求解具体的函数值，若函数是奇函数，则，且函数的定义域关于原点对称 ‎7．已知，，，则的大小为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先判断，对比发现既不同底，也不同幂，则应考虑引入一个新的参考量，可设，再分别将，进行对比，即可得出三者大小关系 ‎【详解】‎ 由题可判断，，，设，‎ 先对比，看成，由函数单调递减得 再对比，看成，函数在第一象限为增函数，故 ‎·14·‎ 所以 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查根据指数函数、幂函数、对数函数特点比较大小，解题常规思路为：根据表达式直接判断每个式子大致范围，当范围不能确定时，需要通过构造同底数或同幂的函数，结合函数的增减性来比较大小，再进一步确定大小关系 ‎8．已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】先确定函数的定义域应满足，再根据偶函数的增减性和对称性来进行求解即可 ‎【详解】‎ 由题可简单画出拟合题意的偶函数图像，函数定义域为，故应满足 解得 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查根据偶函数性质求解不等式，易错点为忽略函数定义域，是中档题 ‎·14·‎ ‎9．定义函数序列:，，， ，，则函数的图象与曲线的交点坐标为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】观察式子可得，函数序列应满足的基本递推关系，可先通过递推前几项，进而求出的表达式，再联立函数与曲线进行求解即可 ‎【详解】‎ 本题主要考查函数的概念与图象。‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以函数，‎ 要求函数的图象与曲线的交点坐标，‎ 则可令，‎ 解得（舍去）或，‎ ‎·14·‎ 将代入得，‎ 所以函数的图象与曲线的交点坐标为 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查由函数的概念求函数解析式，求函数交点坐标，根据递推式找出规律是关键，属于中档题 ‎10．已知,设函数()的最大值为M , 最小值为N ,那么=( )‎ A.2025 B.2022 C.2020 D.2019‎ ‎【答案】B ‎【解析】可类比求解分式函数值域的形式分离常数，得，再表示出，通过，结合函数的增减性即可求得结果 ‎【详解】‎ 由题可知，‎ ‎，‎ 在为增函数， ‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查分离常数法的具体应用，函数单调性的判断与应用，运算能力，属于中档题 二、填空题 ‎11．已知集合，，若，则_____.‎ ‎·14·‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由题可知，可求出，再推导出，即可求解 ‎【详解】‎ 由得，，则，又，故，则 故答案为：3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由交集结果求解具体参数，是基础题 ‎12．已知幂函数的图象经过点（3,27），则此幂函数的解析式是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将点（3,27）代入即可求出 ‎【详解】‎ 将点（3,27）代入得：，则 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数解析式的求法，是基础题 ‎13．设函数，则=________.‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】先求内层的值，代入对应的表达式，得，再将代入的表达式即可求解 ‎【详解】‎ 先求，再求，即 故答案为：24‎ ‎【点睛】‎ ‎·14·‎ 本题考查分段函数具体值的求法，应先求内层函数值，再将此值当作自变量再次代入对应的表达式求解，是基础题 ‎14．已知实数，则函数的单调递增区间为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可先确定复合函数外层为增函数，故求解内层函数在满足定义域情况下的增区间即可 ‎【详解】‎ 根据复合函数“同增异减”性质，设，时为增函数，故应取对应的增区间，，解得或，当时，为增函数，故的增区间为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数增减区间的求解，复合函数增减性满足“同增异减”性质，同时求解时内层函数表达式一定要在外层函数定义域内进行求解 ‎15．设，且，求=_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可对左右同时平方，结合平方关系即可求解 ‎【详解】‎ 对左右同时平方得 同时由可判断，则，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用整体法求解表达式数值，和的平方与差的平方的关系，可简单记为：‎ ‎·14·‎ ‎16．设函数,若且,则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可先画出函数图像，结合图像，对化简，根据的范围求解即可 ‎【详解】‎ 如图所示：‎ 的两根为，，则 又由可得，（对称性）‎ 故，由图可知 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数图像的画法，根据函数图像的交点求解取值范围问题，综合性强，数形结合大大减小了试题难度，根与函数图像关系值得深入研究，是一道好题 三、解答题 ‎17．计算：.‎ ‎【答案】10‎ ‎·14·‎ ‎【解析】采用指数与对数相关公式进行化简即可 ‎【详解】‎ 原式= ‎ ‎=‎ ‎= ‎ ‎=10 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数与对数的化简求值，熟练掌握基本运算公式是解题关键，如幂的乘方、积的乘方、正分数指数幂，对数的加法（减法）公式、对数的化简公式（逆运算）、和（差）的平方公式、去绝对值的基本方法等，掌握这些基本公式和运算法则能让我们在数学运算中游刃有余 ‎18．已知全集，集合,.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若集合，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】（1）先对集合进行化简，再根据集合的混合运算法则进行求解即可 ‎（2）由判断，集合应该分为和两种情况进行求解即可 ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得， ‎ ‎∴或 ‎ ‎ ‎ ‎∴ 或 . ‎ ‎ （2） ‎ 当时，即时，，满足， ‎ ‎·14·‎ 当时，由题意，解得， ‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的混合运算，根据集合的包含关系求解参数问题，易错点为由，容易忽略的情况 ‎19．已知定义在上的函数 .‎ ‎(1) 当时,试判断在区间上的单调性,并给予证明.‎ ‎(2) 当时,试求的最小值.‎ ‎【答案】(1) 在区间上单调递增，证明见解析； (2)4.‎ ‎【解析】（1）用定义法严格证明即可 ‎（2）用换元法设，，由（1）可得，再根据对勾函数增减性求出的最小值即可 ‎【详解】‎ ‎(1) 用定义法证明如下:‎ ‎ 设 , ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎,，‎ ‎, ，‎ ‎·14·‎ ‎, 即，‎ 在区间上单调递增；‎ ‎(2)设,则，‎ 由(1)知, 当时在区间上单调递增 ‎ ‎ ，‎ 在区间上单调递减,在区间上单调递增 ，‎ 当, 即,解得时,.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数增减性的证明，复合函数值域的求法，换元法的应用，换元法的核心在于新元的取值范围必须明确，复合函数的增减性遵循同增异减 ‎20．已知函数,,.‎ ‎(1)如果时,有意义,求实数的取值范围;‎ ‎(2)当时,若函数的图象上存在两个不同的点与图象上的两点关于轴对称,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】（1）可通过分离参数法，要使对恒成立，等价于对恒成立，求出的最大值，即可求解 ‎（2）先对进行化简，可得，可将函数的图象上存在两个不同的点与图象上的两点关于轴对称转化为在上有两个不等实根，化简后可得在上有两个不等实根，再根据二次函数图像特征即可求解 ‎·14·‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意知, 对恒成立,‎ 则等价于对恒成立. ‎ ‎ ， ,‎ ‎ ,‎ ‎ . ‎ ‎(2) 由题意知, ，‎ 且可得方程在上有两个不等实根， ‎ 即满足 在上有两个不等实根, ‎ ‎, ‎ ‎,‎ 所以实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查根据恒成立问题求解参数问题，函数图像对称类问题，函数与方程的转化；恒成立问题求参常采用分离参数法，用不等式性质进行求解；函数对称类问题是处理的难点，可通过点的对称加深对函数对称的理解；二次函数存在类问题需要考虑结合开口，判别式，对称轴进行综合分析 ‎·14·‎