2019届二轮复习集合与简单逻辑学案（全国通用）

2019届二轮复习集合与简单逻辑学案（全国通用）

集合知识一般以一个选择题的形式出现，其中以集合知识为载体，集合与不等式、解析几何知识相结合是考查的重点，难度为中、低档；对常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大.‎ ‎1．集合的概念、运算和性质 ‎(1)集合的表示法：列举法，描述法，图示法．‎ ‎(2)集合的运算：‎ ‎①交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．‎ ‎②并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．‎ ‎③补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．‎ ‎(3)集合的关系：子集，真子集，集合相等．‎ ‎(4)需要特别注意的运算性质和结论．‎ ‎①A∪∅＝A，A∩∅＝∅；‎ ‎②A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U. ‎ A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A ‎2．四种命题 ‎(1)用p、q表示一个命题的条件和结论，¬p和¬q分别表示条件和结论的否定，那么若原命题：若p则q；则逆命题：若q则p；否命题：若¬p则¬q；逆否命题：若¬q则¬p.‎ ‎(2)四种命题的真假关系 原命题与其逆否命题同真同真；原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假．‎ ‎3．充要条件 ‎(1)若p⇒q，则p是q成立的充分条件，q是p成立的必要条件．‎ ‎(2)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．‎ ‎(3)若p⇔q，则p是q的充分必要条件．‎ ‎4．简单的逻辑联结词“且”、“或”、“非” ‎ 用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”；‎ 用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”；‎ 对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“¬p”．‎ ‎5．全称量词与存在量词 ‎(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)． ‎ 它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)． ‎ ‎(2)特称命题(存在性命题)p：∃x0∈M，p(x0)． ‎ 它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x).‎ 高频考点一　集合的概念及运算 例1、（2018年全国I卷） 已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A.‎ ‎【变式探究】【2017课标1，文1】已知集合A=，B=，则 A．AB= B．AB C．AB D．AB=R ‎【答案】A ‎【解析】由得，所以，选A．‎ ‎ 【变式探究】设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝(　　)‎ A.　　　　　 B. C. D. 解析：通解：(直接法)解x2－4x＋3＜0，即(x－1)(x－3)＜0，得1＜x＜3，故A＝{x|1＜x＜3}；‎ 解2x－3＞0，得x＞，所以B＝{x|x＞}．‎ 如图，用数轴表示两个集合A，B.‎ 由图可得A∩B＝{x|＜x＜3}，选D.‎ 优解：(排除法)观察选项可知A，B两项对应集合中含有负数，C，D 两项对应集合中的元素均为正数．‎ 当x＝－1时，2x－3＝2×(－1)－3＝－5＜0，故－1∉B，所以－1∉A∩B，故排除A，B两项；‎ 当x＝2时，2x－3＝2×2－3＝1＞0，x2－4x＋3＝22－4×2＋3＝－1＜0，所以2∈A,2∈B，所以2∈A∩B，故可排除C项．‎ 综上，选D.‎ 答案：D ‎【变式探究】 (1)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝(　　)‎ A．{－1,0}　 B．{0,1}‎ C．{－1,0,1} D．{0,1,2}‎ ‎ ‎ ‎(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)‎ A．1 B．3‎ C．5 D．9‎ 解析：基本法：用列举法把集合B中的元素一一列举出来．‎ 当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；‎ 当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；‎ 当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；‎ 当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；学 - ‎ 当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．故选C.‎ 速解法一：排除法：估算x－y值的可能性，排除不可能的结果．‎ ‎∵x∈A，y∈A，∴x－y＝±1，x－y＝±2.‎ B中至少有四个元素，排除A、B，而D选项是9个元素．‎ 即3×3更不可能．故选C.‎ 速解法二：当x＝y时，x－y＝0；‎ 当x≠y时，x与y可以相差1，也可以相差2，即x－y＝±1，x－y＝±2.‎ 故B中共有5个元素，B＝{0，±1，±2}．故选C.‎ 答案：C 高频考点二　充分、必要条件 例2、（2018年浙江卷）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得，由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.‎ ‎【变式探究】【2017天津，文2】设，则“”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，则，，则， ，据此可知：“”是“”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项.‎ ‎【变式探究】设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：通解：(画出可行域，数形结合求解)‎ 如图作出p，q表示的区域，其中⊙M及其内部为p表示的区域，△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域，故p是q的必要不充分条件．‎ 优解：q：满足条件的三个边界点分别是A(0,1)，B(2,1)，C(1,0)都适合p；而p中的点O(0,0)，不适合q，‎ 故p是q的必要不充分条件，选A.‎ 答案：A ‎ 【变式探究】(1) 函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)‎ A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 解析：基本法：利用命题和逆命题的真假来判断充要条件，注意判断为假命题时，可以采用反例法．‎ 当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，‎ 比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．‎ 由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.‎ 综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．‎ 答案：C ‎(2)“x∈”是“函数y＝sin为单调递增函数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：基本法：若函数y＝sin为单调递增函数，则－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈ ，‎ 即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈ .‎ 从而函数y＝sin的单调递增区间是(k∈ )．‎ 因此若x∈，则函数y＝sin为单调递增函数；‎ 若函数y＝sin为单调递增函数⇒/ x∈.‎ 所以“x∈”是“函数y＝sin为单调递增函数”的充分不必要条件．故选A.‎ 速解法：当x∈时⇒x＋∈⇒y＝sin为增函数，‎ 但y＝sin为增函数⇒/ x＋∈⇒/ x∈.‎ 答案：A ‎【变式探究】已知x∈R，则“x2－3x>‎0”‎是“x－4>‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：基本法：判断x2－3x>0⇒x－4>0还是x－4>0⇒x2－3x>0.‎ 注意到x2－3x>0⇔x<0或x>3，x－4>0⇔x>4.由x2－3x>0不能得出x－4>0；反过来，由x－4>0可得出x2－3x>0，因此“x2－3x>‎0”‎是“x－4>‎0”‎的必要不充分条件．故选B.‎ 答案：B 速解法：利用反例和实数的运算符号寻找推导关系．如x＝4时，满足x2－3x>0，但不满足x－4>0‎ ‎，即不充分．‎ 若x－4>0，则x(x－3)>0，即必要．故选B.‎ 答案：B 高频考点三　命题判定及否定 例3、【2017山东，文5】已知命题p：;命题q：若,则a

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