人教A数学必修二直线与圆的位置关系

人教A数学必修二直线与圆的位置关系

‎4. 2.1　‎直线与圆的位置关系 ‎【教学目标】‎ ‎１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．‎ ‎２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．‎ ‎３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．‎ ‎【教学重难点】 ‎ 教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．‎ 教学难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．‎ ‎【教学过程】‎ ㈠情景导入、展示目标 问题：‎ 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？‎ 运用平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下.‎ ㈡检查预习、交流展示 ‎1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？‎ ‎2．怎样判断直线与圆的位置关系呢？‎ ㈢合作探究、精讲精练 ‎ 探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？‎ 教师：利用坐标法，需要建立直角坐标系，为使直线与圆的方程应用起来简便，在这个实际问题中如何建立直角坐标系？‎ 学生：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取‎10km为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为 轮船航线所在直线 l 的方程为 ‎.‎ 教师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系.‎ 让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系。教师对学生在知识上进行适当的补遗，思维上的启迪，方法上点拨，鼓励学生积极、主动的探究.‎ ‎ 由学生回答并补充,总结出以下两种解决方法：‎ ‎ 方法一：代数法 ‎ 由直线与圆的方程，得： 消去y，得 因为 所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。‎ ‎ 方法二：几何法 ‎ 圆心（0，0）到直线的距离 所以，直线与圆相离，航线不受台风影响.‎ 探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？‎ ‎ 让学生通过实际问题的解决，对比总结，掌握方法.‎ ‎ ①代数法：‎ 由方程组，‎ 得，‎ ‎,则方程组有两解,直线与圆相交；，则方程组有一解，直线与圆相切；，则方程组无解，直线与圆相离.‎ ‎②几何法：‎ 直线与圆相交 ,则；直线与圆相切 ,则；直线与圆相离 ,则.‎ 例1　已知直线l：x＋y－5=0和圆Ｃ：，判断直线和圆的位置关系.‎ ‎ 解析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.‎ 解:(法一)‎ 联立方程组,消y得 因为 所以直线与圆相交.‎ ‎(法二)‎ 将圆的方程化为.‎ 可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5.‎ 因为圆心到直线的距离d=<5,‎ 所以直线与圆相交.‎ 点评:巩固用方程判断直线与圆位置关系的两种方法.‎ 变式1.判断直线x－y＋5=0和圆Ｃ：的位置关系.‎ 解:将圆的方程化为.‎ 可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5.‎ 因为圆心到直线的距离d=>5,‎ 所以直线与圆相离.‎ 例2．求直线l：3x-y-6=0被圆Ｃ：截得的弦ＡＢ的长．‎ 解析:可以引导学生画图分析几何性质.‎ 解:(法一)‎ 将圆的方程化为.‎ 可得圆心Ｃ(1,2),半径r=.‎ 圆心到直线的距离 ‎.‎ 弦ＡＢ的长.‎ ‎(法二)‎ 联立方程组,消y得 ‎ 得,‎ 则,‎ 所以直线l被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长 ‎.‎ ‎(法三)‎ 联立方程组,消y得 根据一元二次方程根与系数的关系,有 直线l被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长 点评:强调图形在解题中的辅助作用,加强了形与数的结合.‎ ‎ ㈣反馈测试 导学案当堂检测 ‎ ‎　　㈤总结反思、共同提高 位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法 相交 有两个公共点 方程组有两个不同实根 d0‎ 相切 有且只有一公共点 方程组有且只有一实根 d=r ‎△=0‎ 相离 没有公共点 方程组无实根 d>r ‎△<0‎ ‎【板书设计】‎ 一． 直线与圆的位置关系 ‎ (1)相交，两个交点；‎ ‎(2)相切，一个交点；‎ ‎(3)相离，无交点.‎ 二.实例的解决 方法一 方法二 三. 判断直线与圆位置关系的方法 四. 例题 例1‎ 变式1‎ 例2‎ ‎ 【作业布置】‎ ‎ 导学案课后练习与提高 ‎4.2.1　‎直线与圆的位置关系学案 课前预习学案 一． 预习目标 回忆直线与圆的位置关系有几种及几何特征，初步了解用方程判断直线与圆的位置关系的方法．‎ 二． 预习内容 1． 初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？‎ 2． 怎样判断直线与圆的位置关系呢？‎ 三． 提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 ‎ 一．学习目标 ‎１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．‎ ‎２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．‎ ‎３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．‎ 学习重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．‎ 学习难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．‎ 二． 学习过程 问题：‎ 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西‎80km处，受影响的范围是半径长为‎30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北‎40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？‎ 探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？‎ 1. 如何建立直角坐标系？‎ 1. 根据直角坐标系写出直线和圆的方程.‎ ‎3.怎样用方程判断他们的位置关系?‎ 探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？‎ 例1　已知直线l：x＋y－5=0和圆Ｃ：，判断直线和圆的位置关系.‎ 变式１.判断直线x－y＋5=0和圆Ｃ：的位置关系.‎ 例2．求直线l：3x-y-6=0被圆Ｃ：截得的弦ＡＢ的长．‎ 三． 反思总结 位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法 四．当堂检测 ‎　　1．已知直线与圆相切，则的值为（ ）‎ ‎ 　　 A．8 B．‎-18 C．－18或8 D．不存在 ‎　　2．设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平　分线方程是 . ‎ ‎ 3．求经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y= -2x上的圆的方程．‎ 参考答案:1.Ｃ　2．‎ ‎3．解：设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2‎ ‎　　由题意则有 ‎　　解得a=1，b=-2，r=，故所求圆的方程为 ‎　　　　　（x-1）2+（y+2）2=2.‎ 课后练习与提高 ‎　1．直线与圆没有公共点，则的取值范围是（ ）‎ A．　 B．　 C． D． ‎ ‎ 2.圆在点处的切线方程为 ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎　3．若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( )‎ A.[] B.[] C.[ D.‎ ‎ 4．设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则________ ____．‎ ‎ 5．已知圆和直线. 若圆与直线没有公 共点，则的取值范围是 . ‎ ‎ 6．已知圆，定点P(4，0)，问过P点的直线斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆(1)相切？(2)相交？(3)相离？‎