【数学】2018届一轮复习人教A版8-4　直线、平面平行的判定与性质　学案

【数学】2018届一轮复习人教A版8-4　直线、平面平行的判定与性质　学案

‎1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)‎ ‎∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)‎ ‎∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b ‎2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)‎ ‎∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ‎∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b ‎【知识拓展】‎ 重要结论：‎ ‎(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；‎ ‎(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　×　)‎ ‎(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　×　)‎ ‎(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　×　)‎ ‎(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　√　)‎ ‎(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　×　)‎ ‎(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(　×　)‎ ‎1．(教材改编)下列命题中正确的是(　　)‎ A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α 答案　D 解析　A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．‎ ‎2．设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅”是“α∥β”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅”是“α∥β”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件．‎ ‎3．(2016·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)‎ A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 答案　D 解析　若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.‎ ‎4．(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．‎ 答案　平行 解析　连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，‎ 则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，‎ 所以BD1∥平面ACE.‎ ‎5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．‎ 答案　平行四边形 解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，‎ 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，‎ ‎∴EF∥HG.同理EH∥FG，‎ ‎∴四边形EFGH的形状是平行四边形.‎ 题型一　直线与平面平行的判定与性质 命题点1　直线与平面平行的判定 例1　如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．‎ ‎(1)求证：AP∥平面BEF；‎ ‎(2)求证：GH∥平面PAD.‎ 证明　(1)连接EC，‎ ‎∵AD∥BC，BC＝AD，‎ ‎∴BC綊AE，‎ ‎∴四边形ABCE是平行四边形，‎ ‎∴O为AC的中点．‎ 又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，‎ FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，‎ ‎∴AP∥平面BEF.‎ ‎(2)连接FH，OH，‎ ‎∵F，H分别是PC，CD的中点，‎ ‎∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.‎ 又∵O是BE的中点，H是CD的中点，‎ ‎∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.‎ 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.‎ 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.‎ 命题点2　直线与平面平行的性质 例2　(2017·长沙调研)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.‎ ‎(1)证明：GH∥EF；‎ ‎(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．‎ ‎(1)证明　因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，‎ 且平面PBC∩平面GEFH＝GH，‎ 所以GH∥BC.‎ 同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.‎ ‎(2)解　如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.‎ 因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，‎ 同理可得PO⊥BD.‎ 又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，‎ 所以PO⊥底面ABCD.‎ 又因为平面GEFH⊥平面ABCD，‎ 且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.‎ 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，‎ 所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，‎ 从而GK⊥EF.‎ 所以GK是梯形GEFH的高．‎ 由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，‎ 从而KB＝DB＝OB，即K为OB的中点．‎ 再由PO∥GK得GK＝PO，‎ 即G是PB的中点，且GH＝BC＝4.‎ 由已知可得OB＝4，‎ PO＝＝＝6，‎ 所以GK＝3.‎ 故四边形GEFH的面积S＝·GK ‎＝×3＝18.‎ 思维升华　判断或证明线面平行的常用方法 ‎(1)利用线面平行的定义(无公共点)；‎ ‎(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；‎ ‎(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；‎ ‎(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．‎ ‎　如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．‎ 证明　∵CD∥平面EFGH，‎ 而平面EFGH∩平面BCD＝EF，‎ ‎∴CD∥EF.‎ 同理HG∥CD，∴EF∥HG.‎ 同理HE∥GF，‎ ‎∴四边形EFGH为平行四边形．‎ ‎∴CD∥EF，HE∥AB，‎ ‎∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角（或补角）．‎ 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.‎ ‎∴平行四边形EFGH为矩形．‎ 题型二　平面与平面平行的判定与性质 例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ 证明　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，‎ ‎∴GH是△A1B1C1的中位线，‎ ‎∴GH∥B1C1.‎ 又∵B1C1∥BC，‎ ‎∴GH∥BC，‎ ‎∴B，C，H，G四点共面．‎ ‎(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，‎ ‎∴EF∥BC.‎ ‎∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，‎ ‎∴EF∥平面BCHG.‎ ‎∵A1G綊EB，‎ ‎∴四边形A1EBG是平行四边形，‎ ‎∴A1E∥GB.‎ ‎∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，‎ ‎∴A1E∥平面BCHG.‎ ‎∵A1E∩EF＝E，‎ ‎∴平面EFA1∥平面BCHG.‎ 引申探究 ‎1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.‎ 证明　如图所示，连接HD，A1B，‎ ‎∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，‎ ‎∴HD∥A1B，‎ 又HD⊄平面A1B1BA，‎ A1B⊂平面A1B1BA，‎ ‎∴HD∥平面A1B1BA.‎ ‎2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.‎ 证明　如图所示，连接A1C交AC1于点M，‎ ‎∵四边形A1ACC1是平行四边形，‎ ‎∴M是A1C的中点，连接MD，‎ ‎∵D为BC的中点，‎ ‎∴A1B∥DM.‎ ‎∵A1B⊂平面A1BD1，‎ DM⊄平面A1BD1，‎ ‎∴DM∥平面A1BD1.‎ 又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，‎ ‎∴四边形BDC1D1为平行四边形，‎ ‎∴DC1∥BD1.‎ 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，‎ ‎∴DC1∥平面A1BD1，‎ 又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，‎ ‎∴平面A1BD1∥平面AC1D.‎ 思维升华　证明面面平行的方法 ‎(1)面面平行的定义；‎ ‎(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；‎ ‎(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；‎ ‎(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；‎ ‎(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．‎ ‎　(2016·许昌三校第三次考试)如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：‎ ‎(1)BE∥平面DMF；‎ ‎(2)平面BDE∥平面MNG.‎ 证明　(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，‎ 连接MO，则MO为△ABE的中位线，‎ 所以BE∥MO.‎ 因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，‎ 所以BE∥平面DMF.‎ ‎(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，‎ 所以DE∥GN.‎ 因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，‎ 所以DE∥平面MNG.‎ 因为M为AB的中点，‎ 所以MN为△ABD的中位线，‎ 所以BD∥MN.‎ 因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，‎ 所以BD∥平面MNG.‎ 因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，‎ 所以平面BDE∥平面MNG.‎ 题型三　平行关系的综合应用 例4　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．‎ 解　方法一　存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.‎ 下面给出证明：‎ 如图，取BB1的中点F，连接DF，‎ 则DF∥B1C1，‎ ‎∵AB的中点为E，连接EF，ED，‎ 则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，‎ ‎∴平面DEF∥平面AB1C1.‎ 而DE⊂平面DEF，‎ ‎∴DE∥平面AB1C1.‎ 方法二　假设在棱AB上存在点E，‎ 使得DE∥平面AB1C1，‎ 如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，则DF∥B1C1，‎ 又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，‎ ‎∴DF∥平面AB1C1，‎ 又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，‎ ‎∴平面DEF∥平面AB1C1，‎ ‎∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，‎ 又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，‎ ‎∴EF∥AB1，‎ ‎∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．‎ 即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.‎ 思维升华　利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．‎ ‎　如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？‎ 解　∵AB∥平面EFGH，‎ 平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.‎ ‎∴AB∥FG，AB∥EH，‎ ‎∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，‎ ‎∴截面EFGH是平行四边形．‎ 设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α (α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)．‎ 又设FG＝x，GH＝y，则由平面几何知识可得＝，‎ ＝，两式相加得＋＝1，即y＝(a－x)，‎ ‎∴S▱EFGH＝FG·GH·sin α ‎＝x··(a－x)·sin α＝x(a－x)．‎ ‎∵x>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a为定值，‎ ‎∴x(a－x)≤，当且仅当x＝a－x时等号成立．‎ 此时x＝，y＝.‎ 即当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大．‎ ‎5．立体几何中的探索性问题 典例　(12分)如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝.‎ ‎(1)求四棱锥S－ABCD的体积；‎ ‎(2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．‎ 规范解答 解　(1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝，SA＝2，‎ ‎∴AD＝3.[2分]‎ 由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2，‎ VS－ABCD＝·SA··(BC＋AD)·AB ‎＝×2××(2＋3)×2＝.[6分]‎ ‎(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥平面SAB.[8分]‎ 证明如下：‎ 取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近A的三等分点为F，连接CE，EF，BF，‎ 则EF綊AD，BC綊AD，‎ ‎∴BC綊EF，∴CE∥BF.[10分]‎ 又∵BF⊂平面SAB，CE⊄平面SAB，‎ ‎∴CE∥平面SAB.[12分]‎ 解决立体几何中的探索性问题的步骤：‎ 第一步：写出探求的最后结论；‎ 第二步：证明探求结论的正确性；‎ 第三步：给出明确答案；‎ 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．‎ ‎1．(2017·保定月考)有下列命题：‎ ‎①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；‎ ‎②若直线a在平面α外，则a∥α；‎ ‎③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；‎ ‎④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　A 解析　命题①：l可以在平面α内，不正确；命题②：直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③：a可以在平面α内，不正确；命题④正确．故选A.‎ ‎2．(2016·滨州模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是(　　)‎ A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2‎ 答案　D 解析　由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.故选D.‎ ‎3．对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊂α，则m∥n C．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 答案　D 解析　对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．‎ ‎4．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是(　　)‎ A．垂直 B．相交不垂直 C．平行 D．重合 答案　C 解析　如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.‎ ‎5．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)‎ 答案　②③④‎ 解析　当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.‎ ‎6．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．‎ ‎①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.‎ 可以填入的条件有________．‎ 答案　①或③‎ 解析　由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．‎ ‎7．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.‎ 答案　Q为CC1的中点 解析　假设Q为CC1的中点．‎ 因为P为DD1的中点，‎ 所以QB∥PA.‎ 连接DB，因为O是底面ABCD的中心，‎ 所以D1B∥PO，‎ 又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，且PA∩PO于P，‎ 所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，‎ 又D1B∩QB于B，所以平面D1BQ∥平面PAO.‎ 故点Q满足条件，Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.‎ ‎8．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：‎ ‎①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是________．(填命题的序号)‎ 答案　①③‎ 解析　由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．‎ ‎9.如图，空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．‎ 答案　(8,10)‎ 解析　设＝＝k，∴＝＝1－k，‎ ‎∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周长＝8＋2k.‎ 又∵0

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