【数学】2020届一轮复习人教B版6-3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学案

【数学】2020届一轮复习人教B版6-3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学案

第三节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 简单的线性规划 ‎(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．‎ ‎(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．‎ ‎(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．‎ 知识点一　二元一次不等式(组)表示的平面 区域 不等式 表示区域 Ax＋By＋C>0‎ 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括 边界直线 Ax＋By＋C≥0‎ 包括 边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 易误提醒　画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．‎ 必备方法　确定二元一次不等式表示平面区域的方法：‎ 二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在直线的同一侧，反之在直线的另一侧．‎ ‎[自测练习]‎ ‎1．不等式组表示的平面区域是(　　)‎ 解析：x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y ‎＋2＝0左上方部分．‎ 故不等式组表示的平面区域为选项B所示部分．‎ 答案：B ‎2．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：平面区域如图所示．‎ 解得A(1,1)，‎ 易得B(0,4)，C，‎ ‎|BC|＝4－＝.‎ ‎∴S△ABC＝××1＝.‎ 答案：C 知识点二　线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的不等式(组)‎ 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)‎ 目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 易误提醒　线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．‎ ‎[自测练习]‎ ‎3．已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的取值范围为(　　)‎ A．[7,23] B．[8,23]‎ C．[7,8] D．[7,25]‎ 解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z＝2x＋3y得y＝－x＋，平移直线y＝－x知在点B处目标函数取到最小值，解方程组得所以B(2,1)，zmin＝2×2＋3×1＝7，在点A处目标函数取到最大值，解方程组得所以A(4,5)，zmax＝2×4＋3×5＝23，故选A.‎ 答案：A ‎4．已知点P(x，y)满足目标函数z＝x＋ay(a<0)的最大值和最小值之和为0，则a的值为(　　)‎ A．－ B．－2‎ C．－1 D．－ 解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，A(1,0)，B(2,1)，C(1,1)，当z＝x＋ay过点A，B，C时，z的值分别为1,2＋a,1＋a.∵a<0，∴zmin＝1＋a.‎ ‎①当2＋a>1，即a>－1时，zmax＝2＋a，∴2＋a＋1＋a＝0，a＝－(舍去)；‎ ‎②当2＋a≤1，即a≤－1时，zmax＝1，∴1＋1＋a＝0，a＝－2，符合条件，故选B.‎ 答案：B 考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域|‎ ‎1．(2018·济南模拟)不等式组表示的平面区域的面积为(　　)‎ A．4　　　　　　　　　 B．1‎ C．5 D．无穷大 解析：不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求．求出点A，B，C的坐标分别为(1,2)，(2,2)，‎ ‎(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.‎ 答案：B ‎2．(2018·高考重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)‎ A．－3 B．1‎ C. D．3‎ 解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则m>－1.‎ 由 解得即A(1－m,1＋m)．由 解得即B.‎ 因为S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)＝(m＋1)2＝，所以m＝1或m＝－3(舍去)，故选B.‎ 答案：B ‎3．设集合A＝，B＝{(x，y)|3x－y－11＝0}，则A∩B中元素的个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．无数 解析：由题意作出集合A表示的平面区域如图中阴影部分所示，在同一直角坐标系中作出集合B表示的直线，观察图形可知，两集合的交集为一条线段，故A∩B中的元素有无数个．‎ 答案：D 确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．‎ ‎(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．常选(1,0)或(0,1)点．‎ ‎　　‎ 考点二　线性目标函数的最值及应用|‎ 线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．‎ 归纳起来常见的命题探究角度有：‎ ‎1．求线性目标函数的最值．‎ ‎2．求非线性目标函数的最值．‎ ‎3．求线性规划中的参数．‎ ‎4．线性规划的实际应用．‎ 探究一　求线性目标函数的最值 ‎1．(2018·高考全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．‎ 解析：在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示，易得在点A处，z取得最大值，且zmax＝.‎ 答案： 探究二　求非线性目标函数的最值 ‎2．(2018·高考全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________．‎ 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A(1,3)处，取得最大值3.‎ 答案：3‎ 探究三　求线性规划中的参数值或范围 ‎3．(2018·高考山东卷)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝(　　)‎ A．3　　　　　　　　 B．2‎ C．－2 D．－3‎ 解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝ax＋y的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y轴上的截距的最大值为4，作出过点D(0,4)的直线，由图可知，目标函数在点B(2,0)处取得最大值，故有a×2＋0＝4，解得a＝2.‎ 答案：B ‎4．已知实数x，y满足不等式组若目标函数z＝y－ax(a∈R)取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)‎ C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)‎ 解析：如图所示，当a≤0时，直线y＝ax＋z知在点(1,3)不可能取得最大值，则当a>0时，目标函数z＝y－ax要在(1,3)处取得最大值时有唯一最优解应满足a>1，故选A.‎ 答案：A 探究四　线性规划的实际应用 ‎5．(2018·高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、‎ 乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)‎ 甲 乙 原料限额 A(吨)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ A.12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 解析：根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A(2,3)时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.‎ 答案：D ‎1．求目标函数的最值的三个步骤：‎ 一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．‎ ‎2．常见的目标函数有：‎ ‎(1)截距型：形如z＝ax＋by.‎ 求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．‎ ‎(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.‎ ‎(3)斜率型：形如z＝.‎ ‎　　‎ ‎　　20.转化思想在非线性目标函数最值问题中的应用 ‎【典例】　变量x，y满足 ‎(1)设z＝，求z的最小值；‎ ‎(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；‎ ‎(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．‎ ‎[思维点拨]　点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，＝·表示点(x，y)和 连线的斜率；x2＋y2表示点(x，y)和原点距离的平方；x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2表示点(x，y)和点(－3,2)的距离的平方．‎ ‎[解]　(1)由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示．‎ 由 解得A.‎ 由解得C(1,1)．‎ 由解得B(5,2)．‎ ‎∵z＝＝× ‎∴z的值即是可行域中的点与连线的斜率，观察图形可知zmin＝×＝.‎ ‎(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.‎ ‎∴2≤z≤29.‎ ‎(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，‎ dmin＝1－(－3)＝4，‎ dmax＝＝8.‎ ‎∴16≤z≤64.‎ ‎[方法点评]　(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．‎ ‎(2)解决这类问题的关键是利用转化思想与数形结合的思想方法，给目标函数赋予一定的几何意义．‎ ‎(3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题．‎ ‎[跟踪练习]　(2018·湖州质检)已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A为(1,2)，B为(2,1)时，tan∠AOB取得最大值，此时由于tan α＝kBO＝，tan β＝kAO＝2，故tan∠AOB＝tan (β－α)＝＝＝，故选C.‎ 答案：C A组　考点能力演练 ‎1．(2018·唐山期末)设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最小值为(　　)‎ A．7　　　　　　　　　　 B．8‎ C．22 D．23‎ 解析：变量x，y满足的区域如图阴影部分所示：‎ 目标函数z＝2x＋3y在点(2,1)处取得最小值7，故选A.‎ 答案：A ‎2．在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为(　　)‎ A．2 B. C. D．1‎ 解析：作出可行域如图所示，当点P位于的交点(1,1)时，(kOP)max＝1，故选D.‎ 答案：D ‎3．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为(　　)‎ A．2 B．1‎ C. D. 解析：不等式所表示的可行域如图所示，设a＝x＋y，b＝x－y，则此两目标函数的范围分别为a＝x＋y∈[0,1]，b＝x－y∈[－1,1]，又a＋b＝2x∈[0,2]，a－b＝2y∈[0,2]，∴点坐标(x＋y，x－y)，即点(a，b)满足约束条件作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S＝×2×1＝1，故选B.‎ 答案：B ‎4．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为4，则ab的取值范围是(　　)‎ A．(0,4) B．(0,4]‎ C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)‎ 解析：作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z＝ax＋by(a>0，b>0)过点A(1,1)时取最大值，∴a＋b＝4，ab≤2＝4，∵a>0，b>0，∴ab∈(0,4]，故选B.‎ 答案：B ‎5．已知实数x，y满足：则z＝2x－2y－1的取值范围是(　　)‎ A.　B．[0,5]　C.　D. 解析：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：2x－2y－1＝0，平移l可知2×－2×－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是.‎ 答案：D ‎6．(2018·石家庄二检)已知动点P(x，y)在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k的值为________．‎ 解析：由目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx＋y＝0的倾斜角为120°，于是有－k＝tan 120°＝－，所以k＝.‎ 答案： ‎7．已知实数x，y满足则w＝x2＋y2－4x－4y＋8的最小值为________．‎ 解析：目标函数w＝x2＋y2－4x－4y＋8＝(x－2)2＋(y－2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x，y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x＋y ‎－1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又＝，所以wmin＝.‎ 答案： ‎8．(2018·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．‎ 解析：设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，‎ 由题意知利润z＝5x＋3y，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x＝3，y＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．‎ 答案：27‎ ‎9．已知实数x，y满足求z＝的取值范围．‎ 解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝＝2＋的取值范围可转化为点(x，y)与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为(，1)，则点(1，－1)与(，1)所在直线的斜率为2＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z的取值范围为(－∞，1]∪[2＋4，＋∞)．‎ ‎10．若x，y满足约束条件 ‎(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；‎ ‎(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．‎ 解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.‎ 所以z的最大值为1，最小值为－2.‎ ‎(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4

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