专题29+空间点、直线、平面之间的位置关系-高考全攻略之备战2018年高考数学（文）考点一遍过

专题29+空间点、直线、平面之间的位置关系-高考全攻略之备战2018年高考数学（文）考点一遍过

考点29空间点、直线、平面之间的位置关系 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：‎ ‎◆公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内.‎ ‎◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.‎ ‎◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.‎ ‎◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.‎ ‎◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.‎ 一、平面的基本性质及应用 ‎1．平面的基本性质 名称 图形 文字语言 符号语言 公理1‎ 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内 Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α 公理2‎ 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 若点直线a，则A和a确定一个平面 公理2的推论 推论1‎ 推论2‎ 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ⇒有且只有一个平面，使， 推论3‎ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 ⇒有且只有一个平面，使， 公理3‎ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 Pα，且Pβ⇒α∩β=l，Pl，且l是唯一的 公理4‎ ‎———l1‎ ‎———l2‎ ‎———l 平行于同一直线的两条直线平行 l1∥l，l2∥l⇒l1∥l2‎ ‎2．等角定理 ‎（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.‎ ‎（2）符号语言：如图（1）、（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，，则或.‎ 图（1）图（2）‎ 二、空间两直线的位置关系 ‎1．空间两直线位置关系的分类 空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：‎ ‎（1）从有无公共点的角度分类：‎ ‎（2）从是否共面的角度分类：‎ ‎【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.‎ ‎2．异面直线所成的角 ‎（1）异面直线所成角的定义 如图,已知两异面直线a,b,经过空间任一点O,分别作直线a′∥a,b′∥b,相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.‎ ‎（2）异面直线所成角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是.‎ ‎（3）两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b. ‎ 三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系 ‎1．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 ‎（1）直线和平面位置关系的分类 ‎①按公共点个数分类：‎ ‎②按是否平行分类：‎ ‎③按直线是否在平面内分类：‎ ‎（2）平面和平面位置关系的分类 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：‎ ‎（1）两个平面平行——没有公共点；‎ ‎（2）两个平面相交——有一条公共直线. ‎ ‎2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面相交 ‎1个 直线与平面平行 ‎0个 直线在平面内 无数个 平面与平面平行 ‎0个 平面与平面相交 无数个 ‎2．常用结论 ‎（1）唯一性定理 ‎①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．‎ ‎②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．‎ ‎③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．‎ ‎④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．‎ ‎（2）异面直线的判定方法 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．‎ 考向一平面的基本性质及应用 ‎（1）证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：‎ ‎①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；‎ ‎②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.‎ ‎（2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.‎ ‎（3）证明点或线共面问题，主要有两种方法：‎ ‎①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；‎ ‎②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.‎ 典例1（1）在下列命题中，不是公理的是 A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ‎（2）给出以下四个命题：‎ ‎①不共面的四点中，其中任意三点不共线；‎ ‎②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；‎ ‎③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；‎ ‎④依次首尾相接的四条线段必共面.‎ 其中正确命题的个数是 A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】（1）A （2）B ‎【解析】（1）选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公里是不需要证明的.根据平面的基本性质知，选项B为公理2，选项C为公理1，选项D为公理3.‎ 所以选A.‎ ‎（2）①中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设矛盾，故①正确；‎ ‎②中，若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E有可能不共面，故②错误；‎ ‎③中，如图所示正方体的棱中，a、b共面，a、c共面，而b、c异面，故③错误；‎ ‎④中，空间四边形的四条线段不共面，故④错误.‎ 故选B.‎ ‎1．如图所示,已知空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且，.求证：‎ ‎（1）四点共面；‎ ‎（2）三直线共点．‎ 考向二空间线面位置关系的判断 两条直线位置关系判断的策略：‎ ‎(1)异面直线的判定常用到的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．‎ ‎(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．‎ ‎(3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查.‎ 典例2如图，在正方体中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线．‎ 其中正确的结论为 A．③④ B．①②‎ C．①③ D．②④‎ ‎【答案】A ‎2．已知直线a和平面α，β，，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是 A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 典例3若直线l不平行于平面α，且，则 A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交 ‎【答案】B ‎【解析】如图，设，α内直线若经过A点，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l异面．故选B.‎ ‎3．已知α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是 A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β 考向三异面直线所成的角 求异面直线所成的角的常见策略：‎ ‎(1)求异面直线所成的角常用平移法．‎ 平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．‎ ‎(2)求异面直线所成角的步骤 ‎①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；‎ ‎②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；‎ ‎③三求：解三角形，求出作出的角．‎ 如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.‎ ‎(3)判定空间两条直线是异面直线的方法 ‎①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．‎ ‎②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．‎ 典例4如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线和所成角的大小为 A． B． C． D． ‎【答案】A 在中，，则，所以，故选A.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线和所成的角转化为平面角，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.‎ ‎4．如图，在底面为正方形、侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． ‎1．已知三条不同的直线，，，若和是异面直线，和是异面直线，则直线和的位置关系是 A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面 ‎2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，，且，那么 A． B． C． D． ‎3．若直线aα,给出下列结论：‎ ‎①α内的所有直线与a异面； ②α内的直线与a都相交；‎ ‎③α内存在唯一的直线与a平行； ④α内不存在与a平行的直线 其中成立的个数是 A．0 B．1 ‎ C．2 D．3‎ ‎4．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 A．12对　　　 B．24对 C．36对　　　 D．48对 ‎5．设A、B、C、D是空间中四个不同的点，则下列命题中，不正确的是 A．若AC与BD共面，则AD与BC共面 B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若，则AD=BC D．若，则AD⊥BC ‎6．若空间中四条两两不同的直线，满足，，，则下列结论一定正确的是 A． B． C．与既不垂直也不平行 D．与的位置关系不确定 ‎7．已知四面体中，分别是的中点，若，，，则与所成角的度数为 A． B． C． D． ‎8．给出下列命题：‎ ‎①如果线段AB在平面α内，那么直线AB在平面α内；‎ ‎②两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A、B、C；‎ ‎③若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；‎ ‎④若三条直线两两相交，则这三条直线共面；‎ ‎⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．‎ 其中正确命题的个数是 A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎9．已知在正方体中（如图），平面，且与不平行，则下列一定不可能的是 A．l与AD平行 B．l与AB异面 C．l与CD所成的角为30° D．l与BD垂直 ‎10．在空间四边形中，分别是的中点.若，且与所成的角为，则四边形的面积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎11．已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：‎ ‎①若，则； ②若，则；‎ ‎③若，则； ④若，则.‎ 其中所有正确的命题是 A．①④ B．②④‎ C．① D．④‎ ‎12．在下图中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)‎ ‎13．如图是某个正方体的展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，对于l1与l2的下面四个结论中，正确的是________．‎ ‎①互相平行； ②异面垂直；‎ ‎③异面且夹角为； ④相交且夹角为.‎ ‎14．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：‎ ‎①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；‎ ‎②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；‎ ‎③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；‎ ‎④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．‎ 其中真命题的个数是________．‎ ‎15．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将沿DE，‎ EF，DF折成正四面体P－DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________．‎ ‎16．如图，A是所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．‎ ‎（1）求证：直线EF与BD是异面直线；‎ ‎（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角．‎ ‎　‎ ‎17．如图，已知正方体的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且.‎ ‎（1）证明：M，N，C，D1四点共面；‎ ‎（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.‎ ‎1．（2016年高考山东卷）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面相交”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．（2016年高考上海卷）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是 A．直线AA1 B．直线A1B1‎ C．直线A1D1 D．直线B1C1‎ ‎3．（2015年高考广东卷）若直线l1与l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A．l与l1,l2都不相交 B．l与l1,l2都相交 C．l至多与l1,l2中的一条相交 D．l至少与l1,l2中的一条相交 ‎4．（2015年高考湖北卷）表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则 A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎5．（2015年高考浙江卷）如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC.若AB=AC=AA1=1，BC=，则异面直线A1C与B1C1所成的角为 A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ ‎6．（2016年高考新课标Ⅰ卷）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为 A． B． C． D． ‎7．（2017年高考天津卷节选）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎8．（2016年高考上海卷）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.‎ ‎（1）求圆柱的体积与侧面积；‎ ‎（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.‎ 变式拓展 ‎1．【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎∴GH∥BD，‎ ‎∴EF∥GH，‎ ‎∴四点共面．‎ ‎（2）易知FH与直线AC不平行，但共面，‎ ‎∴可设FH∩AC=M，‎ ‎∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.‎ 又∵平面EFHG∩平面ABC=EG，‎ ‎∴M∈EG，‎ ‎∴共点．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】依据题意，b，c分别为a在α，β内的射影，可判断b，c相交、平行或异面均可．‎ ‎3．【答案】D 故C选项错误.‎ 平面α内所有直线都与平面β平行，说明α，β一定无公共点，则α∥β.‎ 故D选项正确.‎ ‎【名师点睛】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形作出判断.‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，设，则，故.‎ 考点冲关 ‎1．【答案】D ‎2．【答案】A ‎【解析】因为，，所以M∈α，N∈α.而M，N确定直线l，根据公理1可知，.故选A.‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】∵直线aα,∴a∥α或a∩α=A.‎ 如图,显然①②③④都有反例,所以应选A.‎ ‎【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维.‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，所以共有异面直线(对)．故选B.‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】若，AD不一定等于BC，故C不正确．‎ ‎6．【答案】D ‎ ‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】如图，取的中点，连接则分别为的中位线．由此可得，且且或其补角即为直线与所成的角．又，因此，中， 则，可得．∴与所成的角为.故选D.‎ ‎8．【答案】B ‎9．【答案】A ‎【解析】假设，则由，可得，这与“与不平行”矛盾，所以与不平行．‎ ‎10．【答案】A ‎【解析】如图，连接EH，EF，FG，GH，因为EH是的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD.‎ 同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC.‎ 所以EH∥FG，且EH=FG，所以四边形EFGH为平行四边形.‎ 因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°，所以EF=EH.‎ 所以四边形EFGH为菱形，，‎ 所以四边形EFGH的面积是2××()2=a2.‎ ‎11．【答案】A 对于④，由可得，因为，所以过n作平面γ，且，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为，所以.故④正确.‎ 故选A.‎ ‎12．【答案】②④‎ ‎【解析】图①中，直线GH∥MN；‎ 图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；‎ 图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；‎ 图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．‎ 所以在图②④中，GH与MN异面．‎ ‎13．【答案】④‎ ‎【解析】将展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，故l1与l2相交，连接AD，则为正三角形，所以l1与l2的夹角为.‎ ‎14．【答案】0‎ ‎15．【答案】 ‎【解析】折成的正四面体，如图，连接HE，取HE的中点K，连接GK，PK.‎ 则GK∥DH，故∠PGK(或其补角)即为所求的异面直线所成的角．‎ 设这个正四面体的棱长为2，在中，，‎ 故.‎ 即异面直线PG与DH所成的角的余弦值为.‎ ‎16．【答案】（1）见解析；（2）45°.‎ ‎（2）取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，‎ 所以相交直线EF与EG所成的角，即∠FEG为异面直线EF与BD所成的角．‎ 在中，由，求得.‎ 即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ ‎17．【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）如图，连接，‎ 在四边形中，且，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以.‎ 在中，，，‎ 所以，‎ 所以MN∥A1B，‎ 所以MN∥D1C，‎ 所以M，N，C，D1四点共面.‎ ‎（2）记平面将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，连接D1A，D1N，DN，则几何体D1－AMN，D1－ADN，D1－CDN均为三棱锥，‎ 所以V1＝＋＋ ××3＋××3＋××3.‎ 从而V2＝＝，‎ 所以，‎ 所以平面分此正方体的两部分体积的比为.‎ 直通高考 ‎1．【答案】A ‎【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C选项中的直线与都是异面直线，故选D．‎ ‎【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、空间想象能力等.‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】可用反证法. 假设与，都不相交，因为与都在平面内，于是，同理，于是，与已知矛盾，故至少与，中的一条相交，故选D．‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】若p：是异面直线，由异面直线的定义知，不相交，所以命题q：不相交成立，即p是q的充分条件；反过来，若q：不相交，则可能平行，也可能异面，所以不能推出 是异面直线，即p不是q的必要条件，故应选A.‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A1B,在A1BC中，BC=A1C=A1B=,故∠A1CB=60°,即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.故选C.‎ ‎6．【答案】A 的正弦值为，选A.‎ ‎【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.‎ ‎7．【答案】（1）．‎ ‎【解析】（1）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．‎ 因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．‎ 在Rt△PDA中，由已知，得，故．‎ 所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．‎ ‎8．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径．‎ 圆柱的体积，‎ 圆柱的侧面积．‎ ‎【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答此类试题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等. ‎