【数学】2020届一轮复习（理）通用版2-4指数与指数函数

【数学】2020届一轮复习（理）通用版2-4指数与指数函数

‎2.4　指数与指数函数 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 指数、指数函数的图象与性质 ‎①了解指数函数模型的实际背景;‎ ‎②理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;‎ ‎③理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点;‎ ‎④知道指数函数是一类重要的函数模型 ‎2017课标Ⅰ,11,5分 大小比较 ‎★★★‎ ‎2016课标Ⅲ,6,5分 指数式大小比较 幂函数 ‎2015天津,7,5分 指数函数性质 对数函数 ‎2015山东,14,5分 指数函数性质 函数的单调性 分析解读　　1.会利用指数幂的运算法则进行幂的运算.2.结合指数函数的图象与性质比较大小,解指数方程或不等式,求复合函数的单调性、最值、参数范围等.3.高考命题多以指数函数为载体,考查指数函数的图象、性质及应用,分值约为5分,属中低档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　指数及指数幂的运算 ‎1.(2017河北八所重点中学一模,6)设a>0,将a‎2‎a·‎‎3‎a‎2‎表示成分数指数幂的形式,其结果是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.a‎1‎‎2‎ B.a‎5‎‎6‎ C.a‎7‎‎6‎ D.‎a‎3‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎2.(2018河南南阳第一中学第二次考试,13)计算0.02‎7‎‎1‎‎3‎+2560.75-‎4‎‎17‎‎27‎‎-‎‎1‎‎3‎-72‎9‎‎1‎‎6‎=　　　　. ‎ 答案　60.7‎ 考点二　指数函数的图象与性质 ‎1.(2018广东深圳耀华实验学校期中,9)函数y=‎1‎‎2‎x‎2‎‎-2x的值域为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎2‎‎,+∞‎ B.‎-∞,‎‎1‎‎2‎ C.‎0,‎‎1‎‎2‎ D.(0,2]‎ 答案　D　‎ ‎2.(2018河南八市第一次测评,10)设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=‎1‎a‎0.1‎的大小关系是(　　)‎ A.M=N B.M≤N C.MN 答案　D　‎ ‎3.(2017河南濮阳第二次检测,15)若“m>a”是“函数f(x)=‎1‎‎3‎x+m-‎1‎‎3‎的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a能取的最大整数为　　　　. ‎ 答案　-1‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　比较幂值的大小 ‎　(2018浙江杭州第二中学高三仿真考)已知0(1-a)b B.(1-a)b>(1-a‎)‎b‎2‎ C.(1+a)a>(1+b)b D.(1-a)a>(1-b)b 答案　D　‎ 方法2　探究指数型函数的性质 ‎1.(2019届黑龙江哈尔滨第三中学第一次调研,6)函数f(x)=‎2‎‎4x-‎x‎2‎的单调增区间是(　　)‎ A.(-∞,2] B.[0,2]‎ C.[2,4] D.[2,+∞)‎ 答案　B　‎ ‎2.(2017河北承德实验中学期中,21)已知函数f(x)=2x-‎1‎‎2‎‎|x|‎.‎ ‎(1)若f(x)=2,求x的值;‎ ‎(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解析　(1)当x≤0时, f(x)=0,当x>0时, f(x)=2x-‎1‎‎2‎x,‎ 由题意可得,2x-‎1‎‎2‎x=2,即22x-2×2x-1=0,‎ 解得2x=1±‎2‎,‎ ‎∵2x>0,∴2x=1+‎2‎,‎ ‎∴x=log2(1+‎2‎).‎ ‎(2)当t∈[1,2]时,2t‎2‎‎2t‎-‎‎1‎‎2‎‎2t+m‎2‎t‎-‎‎1‎‎2‎t≥0,‎ 即m(22t-1)≥-(24t-1).‎ ‎∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).‎ ‎∵t∈[1,2],‎ ‎∴-(1+22t)∈[-17,-5],‎ 故m的取值范围是[-5,+∞).‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 ‎　(2017课标Ⅰ,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 答案　D　‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 ‎1.(2015天津,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.a0,且a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=　　　　. ‎ 答案　-‎‎ ‎‎3‎‎ 2‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2018上海,11,5分)已知常数a>0,函数f(x)=‎2‎x‎2‎x‎+ax的图象经过点Pp,‎‎6‎‎5‎、Qq,-‎‎1‎‎5‎.若2p+q=36pq,则a=　　　　. ‎ 答案　6‎ ‎2.(2015江苏,7,5分)不等式‎2‎x‎2‎‎-x<4的解集为　　　　. ‎ 答案　{x|-1b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c 答案　D　‎ ‎4.(2018湖南永州第三次模拟,4)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是(　　)‎ A.y=sin x B.y=x3 C.y=‎1‎‎2‎x D.y=log2x 答案　B　‎ ‎5.(2018福建泉州晋江平山中学期中,6)若函数f(x)=3-|x-1|+m的图象与x轴没有交点,则实数m的取值范围是(　　)‎ A.m≥0或m<-1 B.m>0或m<-1‎ C.m>1或m≤0 D.m>1或m<0‎ 答案　A　‎ ‎6.(2017广东茂名二模,9)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是(　　)‎ 答案　C　‎ ‎7.(2017安徽江淮十校第三次联考,10)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A. f(bx)≤f(cx) B. f(bx)≥f(cx)‎ C. f(bx)>f(cx) D.与x有关,不确定 答案　A　‎ ‎8.(2018重庆万州二模,11)设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A,B,若函数y=2x的图象上存在点C,使得△ABC为等边三角形,则这样的直线l(　　)‎ A.不存在 B.有且只有一条 C.至少有两条 D.有无数条 答案　B　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎9.(2018湖南益阳4月调研,13)已知函数f(x)=‎2‎x‎1+a·‎‎2‎x(a∈R)的图象关于点‎0,‎‎1‎‎2‎对称,则a=　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎10.(2018广东六校第三次联考,14)已知函数f(x)=asin x-bcos x,若fπ‎4‎‎-x=fπ‎4‎‎+x,则函数y=3ax+b+1的图象恒过点　. ‎ 答案　(1,3)‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎11.(2019届山西太原高三阶段性考试,19)已知函数f(x)=x‎1‎ax‎+1‎‎-‎‎1‎‎2‎,其中a>0,且a≠1.‎ ‎(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)≤‎1‎‎6‎|x|在[-1,1]上恒成立,求实数a的取值范围.‎ 解析　(1)函数f(x)是偶函数.证明如下:易知f(x)的定义域为R.任取x∈R,则f(-x)=-x‎1‎a‎-x‎+1‎‎-‎‎1‎‎2‎=x‎1‎‎2‎‎-‎axax‎+1‎,‎ ‎∴f(x)-f(-x)=x‎1‎ax‎+1‎‎-‎‎1‎‎2‎-x‎1‎‎2‎‎-‎axax‎+1‎=x‎1+‎axax‎+1‎‎-1‎=0,‎ ‎∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数.‎ ‎(2)由(1)知f(x)是R上的偶函数,则不等式f(x)≤‎1‎‎6‎|x|在[-1,1]上恒成立,等价于f(x)≤‎1‎‎6‎x在[0,1]上恒成立,‎ 显然,当x=0时,上述不等式恒成立;‎ 当x≠0时,上述不等式可转化为‎1‎ax‎+1‎-‎1‎‎2‎≤‎1‎‎6‎,‎ ‎∴ax≥‎1‎‎2‎在[0,1]上恒成立,‎ ‎∴‎1‎‎2‎≤a<1或a>1,‎ ‎∴实数a的取值范围是‎1‎‎2‎‎,1‎∪(1,+∞).‎ ‎12.(2017山东潍坊期中,20)已知函数f(x)=1-‎4‎‎2ax+a(a>0,且a≠1)且f(0)=0.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)若函数g(x)=(2x+1)·f(x)+k有零点,求实数k的取值范围;‎ ‎(3)当x∈(0,1)时, f(x)>m·2x-2恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解析　(1)对于函数f(x)=1-‎4‎‎2ax+a(a>0,且a≠1),‎ 由f(0)=1-‎4‎‎2+a=0,得a=2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=1-‎4‎‎2·‎2‎x+2‎=1-‎2‎‎2‎x‎+1‎.‎ 因为函数g(x)=(2x+1)·f(x)+k=2x+1-2+k=2x-1+k有零点,‎ 所以函数y=2x的图象和直线y=1-k有交点,‎ ‎∴1-k>0,即k<1.‎ ‎(3)当x∈(0,1)时, f(x)>m·2x-2恒成立,‎ 即1-‎2‎‎2‎x‎+1‎>m·2x-2恒成立,‎ 亦即m<‎3‎‎2‎x-‎2‎‎2‎x‎(‎2‎x+1)‎恒成立,‎ 令t=2x,则t∈(1,2),且m<‎3‎t-‎2‎t(t+1)‎=‎3t+1‎t(t+1)‎=‎1‎t+‎2‎t+1‎.‎ 由于y=‎1‎t+‎2‎t+1‎在t∈(1,2)上单调递减,‎ ‎∴‎1‎t+‎2‎t+1‎>‎1‎‎2‎+‎2‎‎2+1‎=‎7‎‎6‎,∴m≤‎7‎‎6‎.‎ 思路分析　(1)由f(0)=0求出a;‎ ‎(2)分离参数,转化为y=2x与y=1-k的图象有交点;‎ ‎(3)转化为m<‎3‎‎2‎x-‎2‎‎2‎x‎(‎2‎x+1)‎,换元,转化为最值问题.‎