2018届二轮复习函数与方程思想课件（江苏专用）

2018届二轮复习函数与方程思想课件（江苏专用）

专题 10 　数学思想 第 1 讲 　 函数与方程思想 1. 函数与方程思想的含义 (1) 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法． (2) 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法 ． 思想方 法解读 2 . 函数 与方程思想在解题中的应用 (1) 函数与不等式的相互转化，对函数 y ＝ f ( x ) ，当 y >0 时，就化为不等式 f ( x )>0 ，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式． (2) 数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要． (3) 解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论． (4) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切． 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 1 2 解析 答案 ( － ∞ ， 0) ∪ (1 ，＋ ∞ ) 1 2 解析 解析　 函数 g ( x ) 有两个零点，即方程 f ( x ) － b ＝ 0 有两个不等实根，则函数 y ＝ f ( x ) 和 y ＝ b 的图象有两个公共点 . ① 若 a <0 ，则当 x ≤ a 时， f ( x ) ＝ x 3 ，函数单调递增；当 x > a 时， f ( x ) ＝ x 2 ，函数先单调递减后单调递增， f ( x ) 的图象如图 (1) 实线部分所示，其与直线 y ＝ b 可能有两个公共点 . 1 2 ② 若 0 ≤ a ≤ 1 ，则 a 3 ≤ a 2 ，函数 f ( x ) 在 R 上单调递增， f ( x ) 的图象如图 (2) 实线部分所示，其与直线 y ＝ b 至多有一个公共点 . ③ 若 a >1 ，则 a 3 > a 2 ，函数 f ( x ) 在 R 上不单调， f ( x ) 的图象如图 (3) 实线部分所示，其与直线 y ＝ b 可能有两个公共点 . 综上， a <0 或 a >1 . 1 2 2.(2015· 安徽 ) 设 x 3 ＋ ax ＋ b ＝ 0 ，其中 a ， b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 ________.( 写出所有正确条件的编号 ) ① a ＝－ 3 ， b ＝－ 3 ； ② a ＝－ 3 ， b ＝ 2 ； ③ a ＝－ 3 ， b >2 ； ④ a ＝ 0 ， b ＝ 2 ； ⑤ a ＝ 1 ， b ＝ 2. 解析 √ √ √ √ 返回 1 2 解析　 令 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ax ＋ b ， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ a ， 当 a ≥ 0 时， f ′ ( x ) ≥ 0 ， f ( x ) 单调递增，必有一个实根， ④⑤ 正确； 当 a <0 时，由于选项当中 a ＝－ 3 ， ∴ 只考虑 a ＝－ 3 这一种情况， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 3 ＝ 3( x ＋ 1)( x － 1) ， ∴ f ( x ) 极大 ＝ f ( － 1) ＝－ 1 ＋ 3 ＋ b ＝ b ＋ 2 ， f ( x ) 极小 ＝ f (1) ＝ 1 － 3 ＋ b ＝ b － 2 ，要有一根， f ( x ) 极大 <0 或 f ( x ) 极小 >0 ， ∴ b < － 2 或 b >2 ， ①③ 正确， ② 错误 . 所有正确条件为 ①③④⑤ . 返回 高考 必会题型 题型一　利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题 解析 答案 点评 点评 解析　 由 y ＝ log a ( x ＋ 1) ＋ 1 在 [0 ，＋ ∞ ) 上递减，得 0< a <1. 又由 f ( x ) 在 R 上单调递减， 如图所示，在同一坐标系中作出函数 y ＝ | f ( x )| 和 y ＝ 2 － x 的图象 . 由图象可知，在 [0 ，＋ ∞ ) 上， | f ( x )| ＝ 2 － x 有且仅有一个解 . 解析 点评 故在 ( － ∞ ， 0) 上， | f ( x )| ＝ 2 － x 同样有且仅有一个解 . 得 x 2 ＋ (4 a － 2) x ＋ 3 a － 2 ＝ 0( 其中 x <0) ， 点评 函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想 . 方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象的交点个数问题也可转化为方程根的问题 . 解析 答案 － 7 由题意知函数 f ( x ) 的周期为 2 ，则函数 f ( x ) ， g ( x ) 在区间 [ － 5,1] 上的图象如图所示 . 由图象知 f ( x ) 、 g ( x ) 有三个交点，故方程 f ( x ) ＝ g ( x ) 题型二　函数与方程思想在不等式中的应用 点评 解析答案 (0 ，＋ ∞ ) 不等式恒成立问题的处理方法 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题 . 同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化 . 一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数 . 点评 解析答案 变式训练 2 　 已知 f ( x ) ＝ log 2 x ， x ∈ [2,16] ，对于函数 f ( x ) 值域内的任意实数 m ，使 x 2 ＋ mx ＋ 4>2 m ＋ 4 x 恒成立的实数 x 的取值范围为 _______________________. 解析 　 ∵ x ∈ [2,16] ， ∴ f ( x ) ＝ log 2 x ∈ [1,4] ，即 m ∈ [1,4]. 不等式 x 2 ＋ mx ＋ 4>2 m ＋ 4 x 恒成立， 即为 m ( x － 2) ＋ ( x － 2) 2 >0 恒成立， 设 g ( m ) ＝ ( x － 2) m ＋ ( x － 2) 2 ， 则此函数在 [1,4] 上恒大于 0 ， ( － ∞ ，－ 2) ∪ (2 ，＋ ∞ ) 解得 x < － 2 或 x >2. 题型三　函数与方程思想在数列中的应用 点评 解析答案 点评 又因为 { a n } 是正项等差数列，故 d ≥ 0 ， 所以 (2 ＋ 2 d ) 2 ＝ (2 ＋ d )(3 ＋ 3 d ) ， 得 d ＝ 2 或 d ＝－ 1( 舍去 ) ， 所以数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ 2 n . 因为 S n ＝ n ( n ＋ 1) ， 解析答案 点评 所以 f ( x ) 在 [1 ，＋ ∞ ) 上是增函数， 故当 x ＝ 1 时， f ( x ) min ＝ f (1) ＝ 3 ， 解析答案 点评 要使对任意的正整数 n ，不等式 b n ≤ k 恒成立， 数列问题函数 ( 方程 ) 化法 数列问题函数 ( 方程 ) 化法与形式结构函数 ( 方程 ) 化法类似，但要注意数列问题中 n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为： 第一步：分析数列式子的结构特征 . 第二步：根据结构特征构造 “ 特征 ” 函数 ( 方程 ) ，转化问题形式 . 第三步：研究函数性质 . 结合解决问题的需要，研究函数 ( 方程 ) 的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究 . 第四步：回归问题 . 结合对函数 ( 方程 ) 相关性质的研究，回归问题 . 点评 所以 a n ＜ a n ＋ 1 ，所以等差数列 { a n } 为递增数列 . 解析答案 即数列 { a n } 前 7 项均小于 0 ，第 8 项大于零，所以 S n 的最小值为 S 7 . S 7 题型四　函数与方程思想在解析几何中的应用 (1) 求椭圆 C 的方程； 解析答案 设 c >0 ， c 2 ＝ a 2 － b 2 ， (2) 求 m 的取值范围 . 点评 解析答案 ② 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ m ( k ≠ 0) ， l 与椭圆 C 的交点坐标为 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 点评 解析答案 Δ ＝ (2 km ) 2 － 4( k 2 ＋ 2)( m 2 － 1) ＝ 4( k 2 － 2 m 2 ＋ 2)>0 ， (*) 点评 解析答案 整理得 4 k 2 m 2 ＋ 2 m 2 － k 2 － 2 ＝ 0 ，即 k 2 (4 m 2 － 1) ＋ 2 m 2 － 2 ＝ 0 ， 点评 由 (*) 式，得 k 2 >2 m 2 － 2 ，又 k ≠ 0 ， 利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤 第一步：联立方程 . 第二步：求解判别式 Δ . 第三步：代换 . 利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换 . 第四 步： 下结论 . 将上述等量代换式代入 Δ >0 或 Δ ≥ 0 中，即可求出目标参数的取值范围 . 第五步：回顾反思 . 在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约 . 点评 返回 解析 答案 返回 解析　 设 P ( x ， y ) ， ＝ x 2 － c 2 ＋ y 2 ＝ c 2 ， ① 又 x 2 ∈ [0 ， a 2 ] ， ∴ 2 c 2 ≤ a 2 ≤ 3 c 2 ， 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1. 关于 x 的方程 3 x ＝ a 2 ＋ 2 a 在 ( － ∞ ， 1] 上有解，则实数 a 的取值范围是 ______________ _ ___. [ － 3 ，－ 2) ∪ (0,1] 解析　 当 x ∈ ( － ∞ ， 1] 时， 3 x ∈ (0,3] ， 要使 3 x ＝ a 2 ＋ 2 a 有解， a 2 ＋ 2 a 的值域必须为 (0,3] ， 即 0< a 2 ＋ 2 a ≤ 3 ， 解不等式可得－ 3 ≤ a ＜－ 2 或 0 ＜ a ≤ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 设函数 f ( x ) ＝ e x ( x 3 － 3 x ＋ 3) － a e x － x ，若不等式 f ( x ) ≤ 0 有解，则实数 a 的最小值为 ________. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析　 因为 f ( x ) ≤ 0 有解， 所以 f ( x ) ＝ e x ( x 3 － 3 x ＋ 3) － a e x － x ≤ 0 有解， 令 G ( x ) ＝ 3 x ＋ 3 ＋ e － x ， G ′ ( x ) ＝ 3 － e － x ， 令 3 － e － x ＝ 0 ，则 x ＝－ ln 3 ， G ( x ) 最小值 G ( － ln 3) ＝ 6 － 3ln 3>0 ， F ( x ) 在 ( － ∞ ， 1) 上递减，在 (1 ，＋ ∞ ) 上递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 3. 已知 f ( x ) ＝ x 2 － 4 x ＋ 4 ， f 1 ( x ) ＝ f ( x ) ， f 2 ( x ) ＝ f ( f 1 ( x )) ， … ， f n ( x ) ＝ f ( f n － 1 ( x )) ，函数 y ＝ f n ( x ) 的零点个数记为 a n ，则 a n ＝ ________. 解析　 f 1 ( x ) ＝ x 2 － 4 x ＋ 4 ＝ ( x － 2) 2 ，有 1 个零点 2 ，由 f 2 ( x ) ＝ 0 可得 f 1 ( x ) ＝ 2 ， 即 y ＝ f 3 ( x ) 有 4 个零点，以此类推可知， y ＝ f n ( x ) 的零点个数 a n ＝ 2 n － 1 . 2 n － 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 令 f ′ ( x )>0 得 x 2 － 4 x ＋ 3<0 ，解得 1< x <3 ， 故函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (1,3) ，单调递减区间是 (0,1) 和 (3 ，＋ ∞ ) ， 故 在区间 (0,2) 上， x ＝ 1 是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的， 由于函数 g ( x ) ＝－ x 2 ＋ 2 bx － 4 ， x ∈ [1,2 ]. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当 b <1 时， g ( x ) max ＝ g (1) ＝ 2 b － 5 ； 当 1 ≤ b ≤ 2 时； g ( x ) max ＝ g ( b ) ＝ b 2 － 4 ； 当 b >2 时， g ( x ) max ＝ g (2) ＝ 4 b － 8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 6. 已知直线 y ＝ a 交抛物线 y ＝ x 2 于 A ， B 两点 . 若该抛物线上存在点 C ，使得 ∠ ACB 为直角，则 a 的取值范围为 __ _ ______. 解析　 以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ a ， 得 y 2 ＋ (1 － 2 a ) y ＋ a 2 － a ＝ 0 . 即 ( y － a ) [ y － ( a － 1 )] ＝ 0 ， [1 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 (1) 若曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (2 ， f (2)) 处的切线与 x 轴平行，求实数 a 的值； 解　 函数 f ( x ) 的定义域为 (0,1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) ， 由于曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (2 ， f (2)) 处的切线与 x 轴平行， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 (2) 若函数 f ( x ) 在 (e ，＋ ∞ ) 内有极值，求实数 a 的取值范围 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 若函数 f ( x ) 在 (e ，＋ ∞ ) 内有极值， 则函数 y ＝ f ′ ( x ) 在 (e ，＋ ∞ ) 内有异号零点 . 令 φ ( x ) ＝ x 2 － (2 ＋ a ) x ＋ 1 ， 设 x 2 － (2 ＋ a ) x ＋ 1 ＝ ( x － α )( x － β ) ，可知 αβ ＝ 1 ， 不妨设 β > α ，则 α ∈ (0,1) ， β ∈ (1 ，＋ ∞ ) ， 若函数 y ＝ f ′ ( x ) 在 (e ，＋ ∞ ) 内有异号零点， 即 y ＝ φ ( x ) 在 (e ，＋ ∞ ) 内有异号零点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以 β >e ， φ ( x ) 的图象如图所示 . 由 φ ( x ) 的图象可知 φ (e) ＝ e 2 － (2 ＋ a )e ＋ 1<0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 8. 已知 f ( x ) ＝ e x － ax － 1. (1) 求 f ( x ) 的单调增区间； 解　 ∵ f ( x ) ＝ e x － ax － 1( x ∈ R ) ， ∴ f ′ ( x ) ＝ e x － a . 令 f ′ ( x ) ≥ 0 ，得 e x ≥ a ， 当 a ≤ 0 时， f ′ ( x )>0 在 R 上恒成立； 当 a >0 时，有 x ≥ ln a . 综上，当 a ≤ 0 时， f ( x ) 的单调增区间为 ( － ∞ ，＋ ∞ ) ； 当 a >0 时， f ( x ) 的单调增区间为 (ln a ，＋ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 (2) 若 f ( x ) 在定义域 R 内单调递增，求 a 的取值范围 . 解　 由 (1) 知 f ′ ( x ) ＝ e x － a . ∵ f ( x ) 在 R 上单调递增， ∴ f ′ ( x ) ＝ e x － a ≥ 0 在 R 上恒成立， 即 a ≤ e x 在 R 上恒成立 . ∵ 当 x ∈ R 时， e x >0 ， ∴ a ≤ 0 ，即 a 的取值范围是 ( － ∞ ， 0]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 (1) 求椭圆 C 的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 设点 M ， N 的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 已知等比数列 { a n } 满足 2 a 1 ＋ a 3 ＝ 3 a 2 ，且 a 3 ＋ 2 是 a 2 ， a 4 的等差中项 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解　 设等比数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公比为 q ， 由 ① 得 q 2 － 3 q ＋ 2 ＝ 0 ，解 得 q ＝ 1 或 q ＝ 2. 当 q ＝ 1 时，不合题意 . 舍去； 当 q ＝ 2 时，代入 ② 得 a 1 ＝ 2 ， 所以 a n ＝ 2 × 2 n － 1 ＝ 2 n . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以 S n ＝ 2 － 1 ＋ 2 2 － 2 ＋ 2 3 － 3 ＋ … ＋ 2 n － n ＝ (2 ＋ 2 2 ＋ 2 3 ＋ … ＋ 2 n ) － (1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n ) 解析答案 因为 S n － 2 n ＋ 1 ＋ 47<0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即 n 2 ＋ n － 90>0 ， 解得 n >9 或 n < － 10. 因为 n ∈ N * ， 故使 S n － 2 n ＋ 1 ＋ 47<0 成立的正整数 n 的最小值为 10. 返回