高考文科数学复习：夯基提能作业本 (53)

高考文科数学复习：夯基提能作业本 (53)

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 A组　基础题组 ‎1.直线l:x-y+1=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是(　　)‎ A.相离 B.相切 C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心 ‎2.直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,则a的值为(　　)‎ A.3 B.2‎2‎ C.3或-5 D.-3或5‎ ‎3.(2014安徽,6,5分)过点P(-‎3‎,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎π‎6‎ B.‎0,‎π‎3‎ C.‎0,‎π‎6‎ D.‎‎0,‎π‎3‎ ‎4.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为(-2,3),则直线l的方程为(　　)‎ A.x+y-3=0 B.x+y-1=0‎ C.x-y+5=0 D.x-y-5=0‎ ‎5.过点P(1,‎3‎)作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A和B,则弦长|AB|=(　　)‎ A.‎3‎ B.2 C.‎2‎ D.4‎ ‎6.(2015重庆,12,5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为　　　　　　　. ‎ ‎7.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与圆(x-2)2+(y-3)2=8相外切,则圆C的方程为　　　　　　. ‎ ‎8.圆x2+y2+2y-3=0被直线x+y-k=0分成两段圆弧,且较短弧长与较长弧长之比为1∶3,则k=　　　　. ‎ ‎9.(2016天津南开中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-‎3‎y+‎3‎-2=0相切.‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2‎3‎,求直线MN的方程.‎ ‎10.(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.‎ ‎(1)求M的轨迹方程;‎ ‎(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.‎ B组　提升题组 ‎11.过点(-2,3)的直线l与圆x2+y2+2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB|取得最小值时l的方程为(　　)‎ A.x-y+5=0 B.x+y-1=0‎ C.x-y-5=0 D.2x+y+1=0‎ ‎12.(2016重庆一中模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2.y轴被圆C截得的弦长与直线y=2x+b被圆C截得的弦长相等,则b=(　　)‎ A.-‎6‎ B.±‎6‎ C.-‎5‎ D.±‎‎5‎ ‎13.(2016辽宁抚顺二模)已知直线l:kx+y-2=0(k∈R)是圆C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴,过点A(0,k)作圆C的一条切线,切点为B,则线段AB的长为(　　)‎ A.2 B.2‎2‎ C.3 D.2‎‎3‎ ‎14.(2016山东,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2‎2‎.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)‎ A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 ‎15.(2014课标Ⅱ,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是　　　　. ‎ ‎16.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).‎ ‎(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;‎ ‎(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.D　将圆C的方程化为标准方程得C:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(2,1),半径为2,圆心到直线l的距离为‎|2-1+1|‎‎2‎=‎2‎<2,所以直线l与圆相交.又圆心不在直线l上,所以直线不过圆心.故选D.‎ ‎2.C　解法一:联立y=x+4,‎‎(x-a‎)‎‎2‎+(y-3‎)‎‎2‎=8,‎消去y可得,2x2-(2a-2)x+a2-7=0,则由题意可得Δ=[-(2a-2)]2-4×2×(a2-7)=0,整理可得a2+2a-15=0,解得a=3或-5.‎ 解法二:(x-a)2+(y-3)2=8的圆心为(a,3),半径为2‎2‎,由直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,知圆心到直线的距离等于半径,即‎|a-3+4|‎‎1‎‎2‎‎+(-1‎‎)‎‎2‎=2‎2‎,即|a+1|=4,解得a=3或-5.‎ ‎3.D　过P点作圆的切线PA、PB,连接OP,如图所示.‎ 显然,直线PA的倾斜角为0,又OP=‎(-‎3‎‎)‎‎2‎+(-1‎‎)‎‎2‎=2,PA=‎3‎,OA=1,因此∠OAP=π‎2‎,∠OPA=π‎6‎,由对称性知,直线PB的倾斜角为π‎3‎.若直线l与圆有公共点,由图形知其倾斜角的取值范围是‎0,‎π‎3‎.故选D.‎ ‎4.C　由题意知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,又弦AB的中点为(-2,3),所以直线l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,由x2+y2+2x-4y+a=0得圆的圆心坐标为(-1,2),所以圆心到直线的距离为‎2‎,所以‎|-k-2+2k+3|‎k‎2‎‎+1‎=‎2‎,解得k=1,所以直线l的方程为x-y+5=0.‎ ‎5.A　如图所示,‎ ‎∵PA、PB分别为圆O:x2+y2=1的切线,‎ ‎∴OA⊥AP.‎ ‎∵P(1,‎3‎),O(0,0),‎ ‎∴|OP|=‎1+3‎=2.‎ 又∵在Rt△APO中,|OA|=1,cos∠AOP=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴∠AOP=60°,‎ ‎∴|AB|=2|OA|sin∠AOP=‎3‎.‎ ‎6.答案　x+2y-5=0‎ 解析　设圆的方程为x2+y2=r2,将P的坐标代入圆的方程,得r2=5,故圆的方程为x2+y2=5.‎ 设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x,y),则PM=(x-1,y-2).由OP⊥PM(O为坐标原点),得OP·PM=0,即1×(x-1)+2×(y-2)=0,即x+2y-5=0.‎ ‎7.答案　(x+1)2+y2=2‎ 解析　设圆C的半径为R.由题意知圆心C(-1,0),其与已知圆圆心(2,3)的距离d=3‎2‎,由两圆相外切可得R+2‎2‎=d=3‎2‎,R=‎2‎,故圆C的标准方程为(x+1)2+y2=2.‎ ‎8.答案　1或-3‎ 解析　由题意知,圆的标准方程为x2+(y+1)2=4.较短弧所对圆心角是90°,所以圆心(0,-1)到直线x+y-k=0的距离为‎2‎‎2‎×2=‎2‎,即‎|1+k|‎‎2‎=‎2‎,解得k=1或-3.‎ ‎9.解析　(1)将圆C:x2+y2+4x-2y+m=0化为(x+2)2+(y-1)2=5-m,‎ ‎∵圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-‎3‎y+‎3‎-2=0相切,‎ ‎∴圆心(-2,1)到直线x-‎3‎y+‎3‎-2=0的距离d=‎4‎‎1+3‎=2=r,‎ ‎∴圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=4.‎ ‎(2)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,则可设直线MN的方程为2x-y+c=0,‎ ‎∵|MN|=2‎3‎,半径r=2,‎ ‎∴圆心(-2,1)到直线MN的距离为‎2‎‎2‎‎-(‎‎3‎‎)‎‎2‎=1,即‎|-4-1+c|‎‎5‎=1,‎ ‎∴c=5±‎5‎,‎ ‎∴直线MN的方程为2x-y+5±‎5‎=0.‎ ‎10.解析　(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).‎ 由题设知CM·MP=0,‎ 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,‎ 即(x-1)2+(y-3)2=2.‎ 由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.‎ ‎(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,‎2‎为半径的圆.‎ 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.‎ 因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-‎1‎‎3‎,故l的方程为y=-‎1‎‎3‎x+‎8‎‎3‎.‎ 又|OM|=|OP|=2‎2‎,O到l的距离为‎4‎‎10‎‎5‎,|PM|=‎4‎‎10‎‎5‎,所以△POM的面积为‎16‎‎5‎.‎ B组　提升题组 ‎11.A　由题意得圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心C(-1,2).过圆心与点(-2,3)的直线l1的斜率为‎3-2‎‎-2-(-1)‎=-1.当直线l与l1垂直时,|AB|取得最小值,故直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y-3=x-(-2),即x-y+5=0.‎ ‎12.D　在(x-1)2+(y-2)2=2中,令x=0,得(y-2)2=1,解得y1=3,y2=1,则y轴被圆C截得的弦长为2,所以直线y=2x+b被圆C截得的弦长为2,所以圆心C(1,2)到直线y=2x+b的距离为1,‎ ‎ 即‎|2×1-2+b|‎‎5‎=1,解得b=±‎5‎.选D.‎ ‎13.D　由圆C:x2+y2-6x+2y+9=0得(x-3)2+(y+1)2=1,则C(3,-1).‎ 由题意可得,直线l:kx+y-2=0经过圆C的圆心(3,-1),‎ 故有3k-1-2=0,解得k=1,则点A(0,1),‎ 则|AC|=‎(0-3‎)‎‎2‎+[1-(-1)‎‎]‎‎2‎=‎13‎.‎ 故线段AB的长为AC‎2‎-‎r‎2‎=‎(‎13‎‎)‎‎2‎-1‎=2‎3‎.故选D.‎ ‎14.B　由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2‎2‎,所以圆心M到直线x+y=0的距离d=‎|a|‎‎2‎=a‎2‎‎-2‎(a>0),解得a=2(舍负),又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=‎2‎,则R-r<‎2‎

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