专题09 等差数列与等比数列-2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点

专题09 等差数列与等比数列-2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点

专题09 等差数列与等比数列 ‎2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点 ‎1．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于(　　)‎ A．100B．99C．98D．97‎ 答案　C 解析　由等差数列性质，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1，‎ ‎∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.‎ ‎2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．12 D．13‎ 答案　C 解析　∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，‎ ‎∴S12>0，S13<0，‎ ‎∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.‎ ‎3．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b12等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ 答案　C 解析　设等差数列{an}的公差为d，因为a4－2a＋3a8＝0，所以a7－3d－2a＋3(a7＋d)＝0，即a＝2a7，解得a7＝0(舍去)或a7＝2，所以b7＝a7＝2.因为数列{bn}是等比数列，所以b2b12＝b＝4.‎ ‎4．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A ‎5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：‎ ‎①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|.‎ 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为(　　)‎ A．①② B．③④‎ C．①③ D．②④‎ 答案　C 解析　等比数列性质，anan＋2＝a，‎ ‎①f(an)f(an＋2)＝aa＝(a)2＝f2(an＋1)；‎ ‎③f(an)f(an＋2)＝＝＝f2(an＋1)；‎ ‎④f(an)f(an＋2)＝ln|an|ln|an＋2|≠(ln|an＋1|)2＝f2(an＋1)．故选C.‎ ‎6．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.‎ 答案　6‎ 解析　∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.‎ 又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.‎ ‎∴S6＝6×6＋×(－2)＝6.‎ ‎7．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．‎ 答案　20‎ 解析　设等差数列{an}公差为d，由题意可得：‎ 解得 则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.‎ ‎8．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为__________．‎ 答案　64‎ 解析　设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∴⇒解得 ‎∴a1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)‎ ‎∵n∈N*，‎ ‎∴当n＝3或4时，取到最小值－6，‎ 此时取到最大值26＝64，‎ ‎∴a1a2…an的最大值为64.‎ ‎9．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.‎ 答案　50‎ 解析　∵数列{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10a11＝e5，‎ ‎∴lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)‎ ‎＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50.‎ ‎10．已知数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝ (n∈N*)，则b2015＝________.‎ 答案　 解析　∵an＋bn＝1，且bn＋1＝，‎ ‎∴bn＋1＝，∵a1＝，且a1＋b1＝1，‎ ‎∴b1＝，∵bn＋1＝，∴－＝－1.‎ 又∵b1＝，∴＝－2.‎ ‎∴数列是以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴＝－n－1，∴bn＝.‎ 则b2015＝.‎ 易错起源1、等差数列、等比数列的运算 例1、(1)已知数列{an}中，a3＝，a7＝，且是等差数列，则a5等于(　　)‎ A.B.C.D. ‎(2)已知等比数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，且a1＋a7＝9，a4＝2，则S8等于(　　)‎ A．15(1＋) B．15 C．15 D．15(1＋)或15(1＋)‎ 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)设等差数列的公差为d，则＝＋4d，∴＝＋4d，解得d＝2.‎ ‎∴＝＋2d＝10，解得a5＝.‎ ‎(2)由a4＝2，得a1a7＝a＝8，故a1，a7是方程x2－9x＋8＝0的两根，所以或因为等比数列{an}的各项都为正数，所以公比q>0.当时q＝＝，所以S8＝＝15(1＋)；‎ 当时，q＝＝，所以S8＝＝15.故选D.‎ ‎【变式探究】(1)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.‎ ‎(2)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，则log2＝________.‎ 答案　(1)　－1　(2)1006‎ ‎【名师点睛】‎ 在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．通项公式 等差数列：an＝a1＋(n－1)d；‎ 等比数列：an＝a1·qn－1.‎ ‎2．求和公式 等差数列：Sn＝＝na1＋d；‎ 等比数列：Sn＝＝(q≠1)．‎ ‎3．性质 若m＋n＝p＋q，‎ 在等差数列中am＋an＝ap＋aq；‎ 在等比数列中am·an＝ap·aq.‎ 易错起源2、等差数列、等比数列的判定与证明 例2、已知数列{an}的前n项和为Sn (n∈N*)，且满足an＋Sn＝2n＋1.‎ ‎(1)求证：数列{an－2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：＋＋…＋<.‎ ‎ ‎ ‎(2)∵＝ ‎＝＝－，‎ ‎∴＋＋…＋ ‎＝(－)＋(－)＋…＋(－)‎ ‎＝－<.‎ ‎【变式探究】(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝________.‎ ‎(2)已知数列{bn}的前n项和为Tn，若数列{bn}满足各项均为正项，并且以(bn，Tn) (n∈N*)为坐标的点都在曲线ay＝x2＋x＋b (a为非零常数)上运动，则称数列{bn}为“抛物数列”．已知数列{bn}为“抛物数列”，则(　　)‎ A．{bn}一定为等比数列 B．{bn}一定为等差数列 C．{bn}只从第二项起为等比数列 D．{bn}只从第二项起为等差数列 答案　(1)2n＋1－3　(2)B 解析　(1)由已知可得an＋1＋3＝2(an＋3)，‎ 又a1＋3＝4，‎ 故{an＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎∴an＋3＝4×2n－1，‎ ‎∴an＝2n＋1－3.‎ ‎(2)由已知条件可知，若数列{bn}为“抛物数列”，设数列{bn}的前n项和为Tn，则数列{bn}满足各项均为正项，并且以(bn，Tn)(n∈N*)为坐标的点都在曲线ay＝x2＋x＋b (a为非零常数)上运动，即aTn＝·b＋·bn＋b，当n＝1时，aT1＝·b＋·b1＋b⇒ab1＝·b＋·b1＋b⇒·b－·b1＋b＝0⇒a·b－a·b1＋2b＝0，‎ 即b1＝；‎ 当n≥2时，由aTn＝·b＋·bn＋b，‎ 及aTn－1＝·b＋·bn－1＋b，‎ 两式相减得 a·bn＝·(b－b)＋·(bn－bn－1)‎ ‎⇒·(b－b)－·(bn＋bn－1)＝0，‎ 由各项均为正项，可得bn－bn－1＝1(n≥2)，‎ 由等差数列的定义可知{bn}一定为等差数列．‎ ‎【名师点睛】‎ ‎　 (1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法．‎ ‎(2)＝q和a＝an－1an＋1(n≥2)都是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ 数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法 ‎(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：‎ ‎①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；‎ ‎②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．‎ ‎(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法：‎ ‎①利用定义，证明(n∈N*)为一常数；‎ ‎②利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1(n≥2)．‎ 易错起源3、等差数列、等比数列的综合问题 例3、已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；‎ ‎(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn6.即实数λ的取值范围为(6，＋∞)．‎ ‎【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn－1＝3(an－1)，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{bn}满足若bn≤t对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．‎ ‎(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．‎ ‎(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ 解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．‎ ‎1．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为(　　)‎ A．20 B．22‎ C．24 D．28‎ 答案　C 解析　由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120，解得a8＝24，∵a8＋a12＝2a10，‎ ‎∴2a10－a12＝a8＝24.‎ ‎2．已知在等差数列{an}中，a1＝120，d＝－4，若Sn≤an (n≥2)，则n的最小值为(　　)‎ A．60 B．62‎ C．70 D．72‎ 答案　B 解析　由题意可知，Sn＝na1＋d＝－2n2＋122n，an＝a1＋(n－1)d＝124－4n，由Sn≤an得－2n2＋126n≤124，解得n≤1或n≥62，又n≥2，∴n≥62，故选B.‎ ‎3．在等比数列{an}中，a1＝4，公比为q，前n项和为Sn，若数列{Sn＋2}也是等比数列，则q等于(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．3 D．－3‎ 答案　C 解析　由题意可得q≠1，由数列{Sn＋2}是等比数列，可得S1＋2，S2＋2，S3＋2成等比数列，所以(S2＋2)2＝(S1＋2)(S3＋2)，所以(6＋4q)2＝24(1＋q＋q2)＋12，‎ ‎∴q＝3(q＝0舍去)．故选C.‎ ‎4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据： lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)(　　)‎ A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 答案　B 解析　设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x＝200，解得x＝log1.12＝≈3.80，因资金需超过200万，则x取4，即2019年．故选B.‎ ‎5．函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n) (n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(2,3) D．(1,3)‎ 答案　C 解析　因为an＝f(n) (n∈N*)，{an}是递增数列，‎ 所以函数f(x)＝为增函数需满足三个条件解不等式组得实数a的取值范围是(2,3)，故选C.‎ ‎6．若数列{n(n＋4)n}中的最大项是第k项，则k＝________.‎ 答案　4‎ 解析　设最大项为第k项，则有 ‎∴⇒故k＝4.‎ ‎7．数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＝ (n∈N*，n≥3)，则a2017＝________.‎ 答案　2‎ 解析　因为a1＝2，a2＝3，所以a3＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝，a6＝＝，a7＝＝2，a8＝＝3，…，所以数列{an}是以6为周期的周期数列，‎ 所以a2017＝a336×6＋1＝a1＝2.‎ ‎8．已知数列{an}的首项为a1＝2，且an＋1＝(a1＋a2＋…＋an) (n∈N*)，记Sn为数列{an}的前n 项和，则Sn＝________，an＝________.‎ 答案　2×n－1　 ‎9．已知数列{an}是等比数列，并且a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝a2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，证明：Sn<.‎ ‎(1)解　设等比数列{an}的公比为q，‎ 因为a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列，‎ 所以 即解得a1＝8，q＝.‎ 所以an＝a1qn－1＝8×()n－1＝24－n.‎ ‎(2)证明　因为＝＝，‎ 所以数列{bn}是以b1＝a2＝4为首项，为公比的等比数列．‎ 所以Sn＝＝·1－()n]<.‎ ‎10．设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值．‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)可得＝，‎ 所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.‎ 由|Tn－1|＜，得＜，‎ 即2n＞1000，‎ 因为29＝512＜1000＜1024＝210，所以n≥10，‎ 于是，使|Tn－1|＜成立的n的最小值为10.‎