2016年高考试题——数学理（北京卷）原卷版

2016年高考试题——数学理（北京卷）原卷版

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必 将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项． 1.已知集合 ， ，则 （）[来源:学+科+网] A. B. C. D. . 2.若 ， 满足 ，则 的最大 值为（） A.0 B.3 C.4 D.5 3.执行如图所示的程序框图，若输入的 值为 1，则输出的 值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 4.设 ， 是向量，则“ ”是“ ”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知 ， ，且 ，则（） A. B. C. D. 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A. B. C. D. 7.将函数 图象上的点 向左平移 （ ） 个单位长度得到点 ，若 位于函数 的图象上，则（）[来源:学*科*网] { || | 2}A x x  { 1,0,1,2,3}B   A B  {0,1} {0,1,2} { 1,0,1} { 1,0,1,2} x y 2 0 3 0 x y x y x        2x y a k a b | | | |a b  | | | |a b a b      x y R 0x y  1 1 0x y  sin sin 0x y  1 1( ) ( ) 02 2 x y  ln ln 0x y  1 6 1 3 1 2 1 sin(2 )3y x   ( , )4P t s 0s  'P 'P sin 2y x 开始 输入a k=0,b=a a=b 输出k 结束 k=k+11 1a a   否 是 A. ， 的最小值为 B. ， 的最小值为 C. ， 的最小值为 D. ， 的最小值为 8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球 ，将其 中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否 则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋 中所有球都被放入盒中，则（）[来源:Z#xx#k.Com] A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与 丙盒中黑球一样多 [来源:学*科*网] C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 第二部分（非选择题　共 110 分）[来源:ZXXK] 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．[来源:Zxxk.Com] 9.设 ，若复数 在复平面内对应的点位于实轴上，则 _______________. 10.在 的展开式中， 的系数为__________________.（用 数字作答） 11.在极坐标系中，直线 与圆 交于 A，B 两点，则 ______. 12.已知 为等差数列， 为其前 项和，若 ， ，则 _______.. 13.双曲线 （ ， ）的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双 曲线的焦点，若正方形 OABC 的 边长为 2，则 _______________. 14.设函数 . ①若 ，则 的最大值为_______ _______； ②若 无最大值，则实数 的取值范围是________. 三、解答题（共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15.（本小题 13 分） 在 ABC 中， . （1）求 的大小； 1 2t  s 6  3 2t  s 6  1 2t  s 3  3 2t  s 3  a R (1 )( )i a i  a  6(1 2 )x 2x cos 3 sin 1 0      2cos  | |AB  { }na nS n 1 6a  3 5 0a a  6 =S 2 2 2 2 1x y a b  0a  0b  a  3 3 ,( ) 2 , x x x af x x x a      0a  ( )f x ( )f x a  2 2 2 2  a c b ac B （2）求 的最大值.[来源:ZXXK] 16.（本小题 13 分） A、B、C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼 时间，数据如下表（单位：小时）； A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （1）试估计 C 班的学生人数； （2）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所 有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （3）再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25（单位：小 时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断 和 的大小，（结论不要求证明） 17.（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ， ， .[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 2 cos cosA C 1 0 0 1 P ABCD PAD  ABCD PA PD PA PD AB AD 1AB  2AD  5AC CD  （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平 面 所成角的正弦值； （3）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 18.（本小题 13 分） 设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ， （1）求 ， 的值； （2）求 的单调区间. 19.（本小题 14 分） 已知椭圆 C： （ ）的离心率为 ， ， ， ， 的 面积 为 1. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 的椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 M，直线 PB 与 轴交于点 N. 求证： 为定值. PD  PAB PB PCD PA M / /BM PCD AM AP ( ) a xf x xe bx  ( )y f x (2, (2))f ( 1) 4y e x   a b ( )f x 2 2 2 2 1 x y a b 0a b  3 2 ( ,0)A a (0, )B b (0,0)O OAB P C PA y x BMAN  20.（本小题 13 分） 设数列 A： ， ,… ( ).如果对小于 ( )的每个正整数 都有 ＜ ，则称 是 数列 A 的一个“G 时刻”.记“ 是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合. （1）对数列 A：-2，2，-1，1，3，写出 的所有元素； （2）证明：若数列 A 中存在 使得 > ，则 ； （3）证明：若数列 A 满足 - ≤1（n=2,3, …,N）, 则 的元素个数不小于 - . [来源:] [来源: ] 1a 2a Na N  n 2 n N  k ka na n )(AG )(AG na na 1a )(AG na 1na  )(AG Na 1a