2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练26 线线、线面、面面的位置关系

2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练26 线线、线面、面面的位置关系

考点26 线线、线面、面面的位置关系 ‎【考点分类】‎ 热点一 平行关系 ‎1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎2.(2012年高考四川卷理科6)下列命题正确的是（ ）‎ A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 ‎3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】‎ 如图，在四棱柱 ‎（I）当正视方向与向量的方向相同时，‎ 画出四棱锥的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；‎ ‎（II）若M为PA的中点，求证：求二面角 ‎（III）求三棱锥的体积.‎ ‎∴‎ ‎5. (2012年高考山东卷文科19) (本小题满分12分)‎ 如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.‎ ‎2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直. ‎ 线面平行的证明思考途径：线线平行线面平行面面平行.‎ ‎3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.‎ 热点二 垂直关系 ‎6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】设是两条不同的直线,‎ 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )‎ A . 若,,,则 B．若,,,则 C．若,,,则 D．若,,,则 ‎7．(2012年高考浙江卷理科10)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，（ ）‎ A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 ‎8.(2012年高考安徽卷理科6)设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且,则“”是“”的（ ）‎ ‎ 充分不必要条件 必要不充分条件 ‎ ‎ 充要条件 即不充分不必要条件 ‎9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】‎ 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知 .‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥的体积.‎ ‎ ‎ ‎10. (2012年高考广东卷文科18)（本小题满分13分）‎ 如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB，PH为△PAD边上的高.‎ （1） 证明：PH⊥平面ABCD；‎ （2） 若PH=1，AD=，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；‎ （3） 证明：EF⊥平面PAB.‎ 图5‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.‎ ‎2.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直线面垂直面面垂直.‎ ‎3.面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.‎ 热点三 综合问题 ‎11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）‎ ‎ A、若,则 B、若,则 ‎ ‎ C、若,则 D、若,则m⊥β ‎12.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l则（ ）‎ ‎（A）α∥β且∥α （B）α⊥β且⊥β ‎ ‎（C）α与β相交，且交线垂直于 （D）α与β相交，且交线平行于 ‎13..(2012年高考浙江卷文科5) 设是直线，a，β是两个不同的平面（ ）‎ A. 若∥a，∥β，则a∥β B. 若∥a，⊥β，则a⊥β C. 若a⊥β，⊥a，则⊥β D. 若a⊥β, ∥a，则⊥β ‎14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中．‎ ‎(1) 证明：//平面；‎ ‎(2) 证明：平面；‎ ‎(3) 当时，求三棱锥的体积．‎ ‎15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】‎ 如图，四棱锥中，,,‎ 分别为的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证：;‎ ‎(Ⅱ)求证：.‎ ‎16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】‎ 如图，在四棱锥中，，，，平面底面，.和分别是和的中点，求证：‎ ‎（Ⅰ）底面；‎ ‎（Ⅱ）平面；‎ ‎（Ⅲ）平面平面. ‎ ‎17.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科】‎ 如图，‎ ‎（I）求证：‎ ‎（II）设 ‎18.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】如图，在三棱锥中，平面平面，，. 过点作，垂足为，点，分别为棱，的中点.‎ 求证：（1）平面∥平面；‎ ‎（2）.‎ ‎∴平面，∵平面，∴.‎ ‎[解析]（1）由线线平行线面平行面面平行. （2）平面平面平面.注意面面平行、垂直的判定定理与性质定理的区别.‎ ‎19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】‎ 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点。‎ ‎（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，求三棱锥的体积.（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）‎ 所以直线平面．……………………………………7分 又∵平面，∴平面,‎ 又∵平面，∴平面平面.‎ ‎（2）∵，为的中点，∴,‎ 求三棱锥A-MCC1的体积；‎ （1） 当A‎1M+MC取得最小值时，求证：B‎1M⊥平面MAC。‎ 解：（1）又长方体AD平面.点A到平面的距离AD=1，‎ ‎【考点剖析】‎ 一．明确要求 ‎1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定. ‎ ‎2. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定. ‎ ‎3.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理．能证明一些空间位置关系的简单命题. ‎ 二．命题方向 ‎1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属低中档题.‎ ‎2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用．题型多为选择题与解答题.‎ ‎3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．着重考查垂直关系的转化及应用．题型多以选择题、解答题为主．难度中、低档.‎ 三．规律总结 两种方法 异面直线的判定方法：‎ ‎(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．‎ ‎(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．‎ 三个作用 ‎(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．‎ ‎(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．‎ ‎(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．‎ 一个关系 平行问题的转化关系：‎ 两个防范 ‎(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．‎ ‎(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．‎ 一个关系 垂直问题的转化关系 三类证法 ‎(1)证明线线垂直的方法 ‎①定义：两条直线所成的角为90°；‎ ‎②平面几何中证明线线垂直的方法；‎ ‎③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；‎ ‎④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.‎ ‎(2)证明线面垂直的方法 ‎①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；‎ ‎②判定定理1：⇒l⊥α；‎ ‎③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；‎ ‎④面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；‎ ‎⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.‎ ‎(3)证明面面垂直的方法 ‎①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；‎ ‎②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.‎ ‎【考点模拟】‎ 一．扎实基础 ‎1. 【山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试】已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：‎ ‎ ①若，则 ②若，则 ‎③若，则 ④若，则 其中正确的命题是（ ）‎ A．①② B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎2.【2013年山东省日照高三一模模拟考试】设a,b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则“”是 “”的（ ）[来源:Z&xx&k.Com]‎ A.充分条件 B.充分而不必要的条件 ‎ C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3. 【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是 (　 　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4. 【山东省济宁市2013届高三上学期期末考试文】下列命题中错误的是（ ）‎ A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ‎ C.如果平面平面，平面平面，，那么直线平面 D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 ‎5. 【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】若是空间三条不同的直线，是空间中不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．当且是在内的射影，若，则 D．当且时，若，则 ‎ ‎6. 【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】下列命题正确的是（ ）‎ A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 ‎7. 【广东省华南师大附中2012-2013学年度高三第三次月考】已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题：‎ ‎ ①若，则； ②若，，则；‎ ‎ ③若，则； ④若，则；‎ ‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ ‎（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 ‎[来源:学。科。网]‎ ‎8. 【北京东城区普通校2012—2013学年高三第一学期联考】‎ 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎9. 【北京四中2012-2013年度第一学期高三年级期中】 设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题：①若；②若. 那么（ ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 ‎ ‎10. 【广东省惠州市2013届四月高三第一次模拟考试】.已知集合={直线}，={平面}，．若，给出下列四个命题：‎ ‎① ② ③‎ ‎④ 其中所有正确命题的序号是 .[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 二．能力拔高 ‎11. 【2013年安徽省安庆市高三模拟考试（三模）】设x、y、z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是 ( )‎ A. x为直线,y、z为平面 B. x、y、z为平面 ‎ C. x、y为直线,z为平面 D. x、y、z为直线 ‎12. 【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】若平面，满足，，，，则下列命题中是假命题的为(　　)‎ ‎(A)过点垂直于平面的直线平行于平面 ‎(B)过点在平面内作垂直于l的直线必垂直于平面 ‎(C)过点垂直于平面的直线在平面内 ‎(D)过点垂直于直线的直线在平面内 ‎13. 【2013届河北省重点中学联合考试】设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）‎ A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β B．b⊂α，cα，若c∥α，则b∥c C．b⊂β，若b⊥α，则β⊥α D．a，b⊂，，c⊥a，c⊥b，若⊥，则 ‎14. 【广东省珠海市2013年9月高三摸底考试】已知为不重合的两个平面，直线那么“”是“”的（ ）‎ ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎15. 【2012-2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测】已知是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，②存在一个平面，③存在两个平行直线a,b, ，，④存在两条异面直线a,b, ，。可以推出的是（ ）‎ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③‎ ‎16. 【2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】已知分别是两条不重合的直线，‎ 分别垂直于两不重合平面，有以下四个命题：①若，且，则；②若，且，则； ③若且，则；④若且，则．其中真命题的序号是（ ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ ‎ ‎17. 【2013年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）】‎ 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1‎ ‎(I)若M、N分别是AB，A‎1C的中点，求证：MN//平面BCC1B1‎ ‎(II)若三棱柱ABC－A1B‎1C1的各棱长均为2，∠B1BA＝∠B1BC＝60°，P为线段B1B上的动点，当PA＋PC最小时，求证：B1B⊥平面APC。‎ ‎（Ⅰ）证明：连接则,因为AM=MB,所以MN……………3分 又,‎ 所以MN//.…………5分 ‎（Ⅱ）将平面展开到与平面 共面, ‎ 到的位置，此时为菱形，…………7分 可知 ‎18. 【山东省潍坊市2013届高三3月第一次模拟考试】（本小题满分1 2分）‎ ‎ 如图，四边形ABCD中，,AD∥BC，AD =6，BC =4，AB =2，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABCD平面EFDC，设AD中点为P．‎ ‎ ( I )当E为BC中点时，求证：CP//平面ABEF ‎(Ⅱ)设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值。‎ 解：（Ⅰ）取的中点，连、，则，又∥，所以，即四边形为平行四边形，………………… 3分 所以∥，又平面，，‎ 故∥平面. ……………………………………………5分 ‎（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，‎ 又 所以平面 ……………………………………………………………………7分 由已知，所以 故……………………………………………………………………9分 ‎19. 【北京市顺义区2013届高三五月第二次统练】 如图，四棱柱中， 是上的点且为中边上的高.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎ （Ⅱ）求证：；‎ ‎ （Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由.‎ ‎ ‎ 所以平面 ‎……………………………………………………………14分 ‎20. 34.【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试】 在如图所示的组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合的一个点．[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎（Ⅰ）求证：无论点如何运动，平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比．‎ 三．提升自我 ‎21. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ A B C D M 如图，在长方体中，，，，是线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；[来源:学科网]‎ ‎（Ⅱ）求平面把长方体 ‎ 分成的两部分的体积比．‎ ‎22. 【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】‎ 如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面. ‎ ‎⑴ 求证：平面平面；‎ ‎⑵ 求四棱锥的体积. ‎ 解：(1) 证明：由题可知，‎ ‎ (3分)‎ ‎ (6分)‎ ‎(2) ，则. (12分)‎ ‎23. 【江西省南昌市2013届二模考试】（本小题满分12分）如图已知：菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，点H,G分别是线段EF,BC的中点. ‎ (1) 求证：平面AHC平面BCE;‎ (2) 试问在线段EF上是否存在点M，使得MG平面AFD,若存在,求FM的长并证明；若不存在，说明理由.‎ 所以四边形是平行四边形，所以，‎ 又平面，平面,所以平面。…………………12分 ‎24. P A B C 【2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）】（本小题满分14分）如图4， 在三棱锥中，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，，当三棱锥的体积最大时，‎ ‎ 求的长．‎ ‎25. 【江西省宜春市2013届高三四月模拟考试】如图（2）的多面体是由如图（1）的一个正方形和一个直角梯形沿翻折成一个直二面角所得到，,为的中点，在多面体中：‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若为的中点，为的中点，在上确定一点，使平面，并给出证明．‎ A ‎ D B C E F ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【考点预测】‎ ‎1. 如图1，⊙O的直径AB=4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB=45o， F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．‎ ‎（Ⅰ）求证：OF//平面ACD；‎ ‎（Ⅱ）在上是否存在点，使得平面平面ACD?若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎2. 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD = CD = 2AB = 2，E，F分别为PC，CD的中点，DE = EC。‎ ‎（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；‎ ‎（2）设PA = a，若三棱锥B－PED的体积，求a的取值范围。‎ ‎(Ⅰ)，分别为的中点，‎ 为矩形， ················· 2分 ‎,又 面,面,‎ 平面⊥平面 ····················· 4分 ‎ (Ⅱ) ,又，‎ 又,所以面,，面·······6分 三棱锥的体积=‎ ‎,到面的距离 ‎=··········· 10分 ‎ 可得. ·············12 分 ‎3.如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．‎ ‎（Ⅰ）求四面体的体积；‎ ‎（Ⅱ）证明：∥平面；‎ ‎（Ⅲ）证明：平面平面．‎ 所以 直线∥平面． ………………9分 B D C F G H A E P ‎4.如图，已知四边形是正方形，平面，，，,,‎ 分别为,,的中点. ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在一点,使平面？‎ 若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）证明：因为,分别为，的中点，‎ 所以.‎ A E B D C P F G H M 又因为平面，平面，‎ 所以平面. ……………4分 ‎ ‎（Ⅱ）因为平面，所以.‎ 又因为，，‎ 所以平面.‎ 由已知,分别为线段,的中点，‎ 所以.‎ 则平面.‎ ‎5.如图，平面四边形的4个顶点都在球的表面上， 为球的直径，为球面上一点，且 平面 ，，点为的中点. ‎ ‎(1) 证明：平面平面；‎ ‎(2) 求点到平面的距离.‎ 解： (1) 证明：且，‎ ‎ 则平行且等于，即四边形为平行四边形，所以.‎ ‎ ‎