2019年高考试题——数学（江苏卷）原卷版

2019年高考试题——数学（江苏卷）原卷版

绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试 时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位 置作答一律无效。 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： 样本数据 的方差 ，其中 ． 柱体的体积 ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高． 锥体的体积 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上． 1.已知集合 ， ，则 _____. 2.已知复数 的实部为 0，其中 为虚数单位，则实数 a 的值是_____. 3.下图是一个算法流程图，则输出 S 的值是_____. 1 2, , , nx x x…  22 1 1 n i i s x x n    1 1 n i i x xn    V Sh S h 1 3 V Sh S h { 1,0,1,6}A    0,B x x x R  A B  ( 2i)(1 i)a   i 的 4.函数 的定义域是_____. 5.已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____. 6.从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概 率是_____. 7.在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 _____. 8.已知数列 是等差数列， 是其前 n 项和.若 ，则 的值是_____. 9.如图，长方体 的体积是 120，E 为 的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积是_____. 10.在平面直角坐标系 中，P 是曲线 上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0 的距离的最小 值是_____. 11.在平面直角坐标系 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处 切线经过点（-e，-1)(e 为自然对 数的底数），则点 A 的坐标是____. 12.如图，在 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点 .若 ， 27 6y x x   xOy 2 2 2 1( 0)yx b b    *{ }( )na n N nS 2 5 8 90, 27a a a S   8S 1 1 1 1ABCD A B C D 1CC xOy 4 ( 0)y x x x    xOy 的 VABC O 6AB AC AO EC       则 的值是_____. 13.已知 ，则 的值是_____. 14.设 是定义在 R 上的两个周期函数， 的周期为 4， 的周期为 2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中 k>0.若在区间(0，9]上，关于 x 的 方程 有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是_____. 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c． （1）若 a=3c，b= ，cosB= ，求 c 的值； （2）若 ，求 的值． 16.如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面 DEC1； （2）BE⊥C1E． AB AC tan 2 π 3tan 4          πsin 2 4      ( ), ( )f x g x ( )f x ( )g x ( )f x (0, 2]x  2( ) 1 ( 1)f x x   ( 2),0 1 ( ) 1 ,1 2 2 k x x g x x         ( ) ( )f x g x 2 2 3 sin cos 2 A B a b  sin( ) 2 B   17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C: 的焦点为 F1（–1、0）， F2（1，0）．过 F2作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2: 交于点 A，与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1并延长交圆 F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C 于点 E，连结 DF1．已知 DF1= ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求点 E 的坐标． 18.如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥 AB（AB 是圆 O 的直 径）．规划在公路 l 上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA．规划要求:线段 PB、QA 上的所有 点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径．已知点 A、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD（C、D 为垂足），测 得 AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）． （1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长； （2） 规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由； （3）对规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米）.求当 d 最小时，P、Q 两点间的距 离． 19.设函数 ， 为 f（x）的导函数． （1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值； （2）若 a≠b，b=c，且 f（x）和 的零点均在集合 中，求 f（x）的极小值； 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     2 2 2( 1) 4x y a   5 2 在 ( ) ( )( )( ), , , Rf x x a x b x c a b c     ( )f ' x ( )f ' x { 3,1,3} （3）若 ，且 f（x）的极大值为 M，求证:M≤ ． 20.定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an}满足： ，求证:数列{an}为“M－数列”； （2）已知数列{bn}满足: ，其中 Sn为数列{bn}的前 n 项和． ①求数列{bn}的通项公式； ②设 m 为正整数，若存在“M－数列”{cn} ，对任意正整数 k，当 k≤m 时，都有 成立，求 m 的最大值． 数学Ⅱ(附加题) 【选做题】本题包括 21、22、23 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作 答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21.已知矩阵 （1）求 A2； （2）求矩阵 A 的特征值. 22.在极坐标系中，已知两点 ，直线 l 的方程为 . （1）求 A，B 两点间的距离； （2）求点 B 到直线 l 的距离. 23.设 ，解不等式 . 【必做题】第 24 题、第 25 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 24.设 已知 . （1）求 n 的值； （2）设 ，其中 ，求 的值. 25.在平面直角坐标系 xOy 中，设点集 ， 令 .从集合 Mn中任取两 0,0 1, 1a b c  „ 4 27 2 4 5 13 2, 4 4 0a a a a a a    1 1 1 2 21, n n n b S b b      1k k kc b c „ „ 3 1 2 2        A 3, , 2, 4 2 A B             sin 3 4         xR | |+|2 1|>2x x  2 * 0 1 2(1 ) , 4,n n nx a a x a x a x n n       N … . 2 3 2 42a a a (1 3) 3n a b   *,a b  N 2 23a b {(0,0), (1,0), (2,0), , ( ,0)}nA n  (0,1), ( ,1)}, {(0,2), (1, 2) , (2, 2), , ( , 2)}, .n nB n C n n N    n n n nM A B C   个不同的点，用随机变量 X 表示它们之间的距离. （1）当 n=1 时，求 X 的概率分布； （2）对给定 正整数 n（n≥3），求概率 P（X≤n）（用 n 表示）.的