2017-2018学年河北省邯郸市第二中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2017-2018学年河北省邯郸市第二中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省邯郸市第二中学高二上学期期中考试 数学试卷 考试范围 必修五，简易逻辑；考试时间：120分钟； ‎ 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 第I卷（选择题）‎ 一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)‎ ‎1.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|＞1}，则∁BA=（　　） A. [3，+∞）           B. （3，+∞） C. （-∞，-1]∪[3，+∞）     D. （-∞，-1）∪（3，+∞）‎ ‎2.已知等差数列{an}中，a1+a3+a9=20，则‎4a5-a7=（　　） A. 20     B. 30     C. 40     D. 50‎ ‎3.在△ABC中，若acosC+ccosA=bsinB，则此三角形为（　　） A. 等边三角形           B. 等腰三角形 C. 直角三角形           D. 等腰直角三角形 ‎4.已知命题p：（x-3）（x+1）＞0，命题q：x2-2x+1＞0，则命题p是命题q的（　　） A. 充分不必要条件         B. 必要不充分条件 C. 充要条件            D. 既不充分又不必要条件 ‎5.在公差不为零的等差数列{an}中，‎2a5-a72+‎2a9=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则log2（b5b9）=（　　） A. 1     B. 2     C. 4     D. 8‎ ‎6.下列函数中，最小值为4的是（　　） A.y=log3x+4logx3 B. y= C. y=sinx+（0＜x＜π） D. y=x+‎ ‎7.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=5，那么2+2的最小值为（　　） A. 4     B. 2   C. 2     D.‎ ‎8.已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为‎3a+9，最小值为‎3a-3，则实数a的取值范围是（　　） A. {a|-1≤a≤1}          B. {a|a≤-1} C. {a|a≤-1或a≥1}        D. {a|a≥1}‎ ‎9.若a＜b＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②；③；④a2＜b2中，正确的有（　　） A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个 ‎10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，2b-c=2acosC，sinC=，则△ABC的面积为（　　） A.    B. C.或    D.或 ‎11.定义为n个正数P1，P2…Pn的“均倒数”，若已知正整数数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn=，则++…+=（　　） A.   B.   C.   D.‎ ‎12.给出下列命题： ①命题“若b2‎-4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题； ②命题“在△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题； ③命题“若a＞b＞0，则”的逆否命题； ④“若m≥1，则mx2-2（m+1）x+（m+3）＞0的解集为R”的逆命题． 其中真命题的序号为（　　） A. ①②③   B. ①②④   C. ②④    D. ①②③④‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)‎ ‎13.若实数a，b满足‎2a+2b=1，则a+b的最大值是 ______ ．‎ ‎14.如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退‎20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为 ______ 米．‎ ‎15.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为 ______ ．‎ ‎16.设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，则f（n）=（n∈N*）的最小值为 ______ ．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)‎ ‎17.已知数列{an}是公比为2的等比数列，且a2，a3+1，a4成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）记bn=an+log2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn． ‎ ‎18.在△ABC中，已知三内角A，B，C成等差数列，且sin（+A）=． （1）求tanA及角B的值； （2）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值． ‎ ‎19.（1）若x＞0，y＞0，且+=1，求xy的最小值． （2）已知x＞0，y＞0，满足x+2y=1，求的最小值． ‎ ‎ 20.解关于x的不等式 ． ‎ ‎21.命题p：不等式x2-（a+1）x+1＞0的解集是R．命题q：函数f（x）=（a+1）x在定义域内是增函数．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围． ‎ ‎22.已知数列 的前n 项和为，，数列 满足点在直线上.‎ ‎(1)求数列， 的通项 ，；‎ ‎(2)令，求数列 的前n项和；‎ ‎(3)若，求对所有的正整数n都有成立的的范围．‎ ‎ ‎ 解析 ‎ 【解析】 1. 解： A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}， B={x|2x+1＞1}={x|x＞-1}， CBA=[3，+∞）． 故选A． 根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得CBA． 此题是个基础题．考查对集合的理解和二次函数求值域以及对数函数定义域的求法，集合的补集及其运算． 2. 解：∵等差数列{an}中，a1+a3+a9=20， ∴a1+a1+2d+a1+8d=‎3a1+10d=20， ‎4a5-a7=4（a1+4d）-（a1+6d）=‎3a1+10d=20． 故选：A． 利用等差数列通项公式列出方程组，能求出结果． 本题考查等差数列的通项公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 3. 解：在△ABC中，由acosC+ccosA=bsinB以及正弦定理可知， sinAcosC+sinCcosA=sin2B， 即sin（A+C）=sinB=sin2B． ∵0＜B＜π，sinB≠0， ∴sinB=1，B=． 所以三角形为直角三角形． 故选：C． 由已知以及正弦定理可知sinAcosC+sinCcosA=sin2B，化简可得sinB=sin2‎ B，结合B的范围可求B=，从而得解． 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题． 4. 解：由p：（x-3）（x+1）＞0，得x＜-1或x＞3， ∴命题q：x2-2x+1＞0，解得x≠1， 显然前者可以推出后者，后者不能推出前者． 故选：A． 先分别化简，再根据定义或者集合之间的包含关系可以求解． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础． 5. 解：∵公差不为零的等差数列{an}中，‎2a5-a72+‎2a9=0， ∴，∴a7=4， ∵数列{bn}是等比数列，且b7=a7， ∴b7=4，， ∴log2（b5b9）=log216=4． 故选：C． 由已知条件推导出b7=4，，由此能求出log2（b5b9）． 本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列、对数性质的合理运用． 6. 解：A.0＜x＜1时，y＜0，不正确 B．∵ex＞0，∴=4，当且仅当x=ln2时取等号，正确． C．令sinx=t∈（0，1），则y=f（t）=t+，y′=1-＜0，因此函数f（t）在（0，1）上单调递减，∴f（t）＞f（1）=5，不正确． D．x＜0时，y＜0，不正确． 故选：B． A.0＜x＜1时，y＜0，即可判断出正误； B．由ex＞0，利用基本不等式的性质即可判断出正误． C．令sinx=t∈（0，1），则y=f（t）=t+，利用导数研究其单调性即可判断出正误．‎ ‎ D．x＜0时，y＜0，即可判断出正误． 本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7. 解：由等差数列的前n项和公式S5==5，即a1+a5=2， 由＞0，＞0+≥•==22=4， 当且仅当=，即a1=a5=1，取“=”， ∴+的最小值4， 故选：A． 根据等差数列的前n项和，S5==5，即a1+a5=2，根据基本不等式的性质知+≥•==22=4，即可求得+的最小值4． 本题考查等差数列前n项和公式，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题． 8. 解：由z=ax+y得y=-ax+z，直线y=-ax+z是斜率为-a，y轴上的截距为z的直线， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则A（3，9），B（-3，3），C（3，-3）， ∵z=ax+y的最大值为‎3a+9，最小值为‎3a-3， 可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值， 若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件， 若a＞0，则目标函数斜率k=-a＜0， 要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值， 则目标函数的斜率满足-a≥kBC=-1， 即a≤1，可得a∈（0，1]． 若a＜0，则目标函数斜率k=-a＞0， 要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得-a≤kBA=1∴-1≤a＜0，综上a∈[-1，1] 故选：A．‎ ‎ 由约束条件作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合分类讨论进行求解． 本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题． 9. 解：对于①，根据不等式的性质，可知若a＜b＜0，则|a|＞|b|，故正确， 对于②若a＜b＜0，两边同除以ab，则＜，即＜，故正确， 对于③若a＜b＜0，则＞0，＞0，根据基本不等式即可得到；故正确， 对于④若a＜b＜0，则a2＞b2，故不正确， 故选：C 根据不等式的性质即可判断． 本题考查不等式的性质，属于基础题． 10. 解：∵2b-c=2acosC， ∴由正弦定理可得2sinB-sinC=2sinAcosC， ∴2sin（A+C）-sinC=2sinAcosC， ∴2cosAsinC=sinC， ∴cosA=∴A=30°， ∵sinC=，∴C=60°或120° A=30°，C=60°，B=90°，a=1，∴△ABC的面积为=， A=30°，C=120°，B=30°，a=1，∴△ABC的面积为=， 故选：C． 2b-c=2acosC，利用正弦定理，求出A；sinC=，可得C=60°或120°，分类讨论，可得三角形面积． 本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 11. 解：∵=，∴a1+a2+…+an=n（2n+1）， ∴n≥2时，an=n（2n+1）-（n-1）（2n-1）=4n-1． n=1时，a1=3，对于上式也成立． ∴an=4n-1．‎ ‎ ∴bn==n． ∴==． 则++…+=+…+=1-=． 故选：C． =，可得a1+a2+…+an=n（2n+1），利用递推关系可得an=4n-1．可得bn==n.==．再利用裂项求和方法即可得出． 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12. 解：①命题“若b2‎-4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题是“若b2‎-4ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实根”，是正确的； ②命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题是“△ABC是等边三角形，则AB=BC=CA”，是正确的； ③命题“若a＞b＞0，则”是正确的，∴它的逆否命题也是正确的； ④命题“若m≥1，则mx2-2（m+1）x+（m+3）＞0的解集为R”的逆命题是“若mx2-2（m+1）x+（m+3）＞0的解集为R，则m≥1， ∵不等式的解集为R时， ∴的解集为m＞1，∴逆命题是错误的； ∴正确命题有①②③； 故选：A 根据题意，按照要求写出命题①、②、③、④的否命题、逆命题或逆否命题，再判定它们是否正确． 本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假的判定问题，是基础题． 13. 解：∵‎2a+2b=1， ∴=，即， ∴a+b≤-2，当且仅当，即a=b=-1时取等号， ∴a=b=-1时，a+b取最大值-2． 故答案为：-2．‎ ‎ 由‎2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件． 该题考查基本不等式在求函数最值中的运用，属基础题，熟记基本不等式的使用条件是解题关键． 14. 解：设AB=hm，则BC=h，BD=h， 则h-h=20， ∴h=m， 故答案为． 利用AB表示出BC，BD．让BD减去BC等于20即可求得AB长． 本题主要考查了三角函数的定义，根据三角函数可以把问题转化为方程问题来解决． 15. 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 则的几何意义为动点P到定点Q（-1，-2）的斜率， 由图象可知当P位于A（0，1）时，直线AQ的斜率最大， 此时z==3， 故答案为：3． 作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键． 16. 解：∵对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，令p=n，q=1，可得an+1=an+a1，则-an=2， ∴数列{an}是等差数列，公差为2． ∴Sn=2n+=n+n2． 则f（n）===n+1+-1， 令g（x）=x+（x≥1），则g′（x）=1-=，可得x∈[1，时，函数g（x）单调递减；x∈时，函数g（x）单调递增．‎ ‎ 又f（7）=14+，f（8）=14+． ∴f（7）＜f（8）． ∴f（n）=（n∈N*）的最小值为． 故答案为：． 对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，令p=n，q=1，可得an+1=an+a1，则-an=2，利用等差数列的求和公式可得Sn．f（n）===n+1+-1，令g（x）=x+（x≥1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. （ I）由题意可得2（a3+1）=a2+a4，由公比为2，把a3、a4用a2表示，求得a2，进一步求出a1，数列{an}的通项公式． （Ⅱ）利用已知条件转化求出数列的通项公式，然后求解数列的和即可． 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题． 18. （Ⅰ）根据等差数列的性质可得B=，再根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出tanA． （Ⅱ）根据正弦定理求出b，再根据余弦定理求出c． 本题考查了正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及等差中项的性质的应用，属于基础题． 19. （1）利用基本不等式的性质即可得出． （2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题． 20. 由a＞0，把不等式化为 ‎，求出不等式对应方程的实数根，讨论两根的大小，写出对应不等式的解集． 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题． 21. 由题意可得p，q真时，a的范围，分别由p真q假，p假q真由集合的运算可得． 本题考查复合命题的真假，涉及一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，属基础题． 22. 本题考查了数列求和,等差数列的通项公式,错位相减法和不等式恒成立问题. (1)利用数列求和中的的关系得,再利用等差数列的通项公式得结论. (2)利用错位相减法计算得结论. (3)利用不等式恒成立问题得结论. ‎