数学理卷·2018届辽宁省葫芦岛市六校协作体高二上学期期中联考（2016-11）

数学理卷·2018届辽宁省葫芦岛市六校协作体高二上学期期中联考（2016-11）

辽宁省六校2016-2017学年度上学期高二联考 数学（理科）试题 命题人：柳悦 审题人：王文 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1. 设是等差数列的前项和，若，则=（ ）．‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ ‎2.实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. ，或 D. ，或 ‎3. 下列命题错误的是 （ ） ‎ ‎ A．命题“若则”与命题“若，则”互为逆否命题 ‎ B．命题“R,”的否定是“R,”‎ C．且，都有 D．“若”的逆命题为真 ‎4.已知变量满足约束条件，则的最大值为 （ ）‎ ‎ A. 12 B. 11 C.3 D.－１‎ ‎5. 已知条件：，条件：<1，则是成立的 ( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎6.若等比数列的各项均为正数，且=2（e为自然对数的底数），则= （ ）‎ A. 20 B.30 C.40 D.50‎ 图1‎ ‎7. 在如图1所示的空间直角坐标系中,正方体棱长为2，为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点F的坐标为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8. 已知a+4b=ab, a、b均为正数，则使a+b>m恒成立的m的取值范围是( )‎ A．m<9 B.m≤9 C.m<8 D.m≤8‎ ‎9.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC 的重心，则PG与底面所成的角θ满足(　　)‎ A．cosθ＝ ‎ ‎ B．θ＝ ‎ C．tan θ＝ ‎ D．sin θ＝ ‎10. 已知双曲线过点，渐进线方程为，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离为 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知平行六面体ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，‎ ‎∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E.若直线BM与y轴交点为N,且，则C的离心率为( )‎ A． B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则椭圆方程为_____________‎ ‎14．过抛物线焦点F的直线交其于两点，O为坐标原点．若，则的面积为____________‎ ‎15. 若函数的值域为，则的最小值为_______________‎ ‎16. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列满足，则数列的前20项的和为________________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 设命题p:函数f(x)=lg(ax2-4x+a)的定义域为R;命题q:不等式2x2+x>2+ax,对x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前项和，求实数 ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线C于M、N两点，且．‎ ‎ （Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D(0，4)，若动圆P与x轴交于A、B两点，且，求的最小值．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知数列满足。‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，写出关于n的表达式，并求满足 ‎＞时n的取值范围.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆()的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形 的面积为． ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）四边形的顶点在椭圆上，且对角线均过坐标原点，若．‎ ‎(1) 求的取值范围；(2) 证明：四边形的面积为定值．‎ ‎ 辽宁省六校2016-2017学年度上学期联合考试数学试卷 高二数学（理科）答案 一． 选择题：‎ ‎ 1-6 A D D B B 7-10 B C A A C 11-12 C B 二．‎ ‎13. 　　　　 14．‎ ‎15. 　　　　　　　 　 16 ．‎ 三．‎ ‎17. 解:p:∆<0且a>0,故a>2;-----2分 q:a>,对x∈(-∞,-1),上恒成立,函数y=在上是增函数 所以y<1,‎ 故a≥1.------5分 ‎“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,等价于p,q一真一假.故1≤a≤‎ ‎2--------10分 ‎18. （1）设的公差为，由已知得 即，，‎ 故 -----6分 ‎（2）‎ ‎-------12分 ‎19. 解：(Ⅰ) 不论点E在何位置，都有BD⊥AE. 证明如下：‎ 由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2. ………………………1分 连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC. …………………………2分 ‎∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥PC. ……………………3分 又∵AC∩PC＝C，‎ ‎∴BD⊥平面PAC. …………………………………………………4分 不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC.∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE. ………6分 ‎(Ⅱ) 解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF. ‎ ‎∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝＝，AE＝AE＝，∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角 ……………………………9分． ‎ Rt△ADE中，DF＝＝, ∴BF＝.BD＝，△DFB中余弦定理得cos∠DFB＝，∴∠DFB＝，即二面角D－AE－B的大小为. ……………………………12分 解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． ………………………………………………………………………6分 ‎ D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，从而＝(0,1,0)，‎ ‎＝(－1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)． 设平面ADE和平面ABE的法向量分别为，由，取由，取…………………………10分 设二面角D－AE－B的平面角为θ，则，…………11分 ‎∴θ＝，即二面角D－AE－B的大小为 …………………………………………12分 ‎20. 解：(1) 设抛物线的焦点为，则直线，‎ 由，得（2分） ，，， （4分） 抛物线的方程为--------- 5分 ‎ (2) 设动圆圆心，则 且圆 令，整理得：，解得：，------ 7分 ‎，------- 9分 当时，，‎ 当时，，‎ ‎， ，‎ ‎ ‎ 所以的最小值为． ----------12分 ‎21.‎ ‎22. 解：（I）由已知， ‎ 于是 ‎ 所以椭圆的方程为 -----------------------------------------------4分 ‎（II）当直线AB的斜率不存在时，. ‎ 当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为，设 联立，得 ‎ ‎ ‎ ‎ （）---------------6‎ ‎ ∵ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎= ‎ 或 ‎ ‎ ‎ ‎ ------------分 ‎ ‎ ‎ ‎ ，且的最大值为2 ‎ 因此， ------------------------------------------8分 ‎ (ii)设原点到直线AB的距离为d，则 ‎ ‎ 为定值．---------------------------------------12分