数学卷·2018届江苏省盐城中学、淳辉高中等97校高三12月联考（2017

数学卷·2018届江苏省盐城中学、淳辉高中等97校高三12月联考（2017

高三数学考试卷 数学Ⅰ试题 注 意 事 项 ‎　　考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1.本试卷共4页,包含填空题(共14题)、解答题(共6题),满分为160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将答题卡交回。‎ ‎2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。‎ ‎3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作答一律无效。如有作图需要,可用2B铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.集合A={x|0≤x≤2},B={-1,2,3},则A∩B=　　▲　　. ‎ ‎2.若复数z满足z=i(2-i)(i是虚数单位),则复数z的模|z|=　　▲　　. ‎ ‎3.某市交通部门对某路段公路上行驶的汽车的速度实施监控,从速度在50~90 km/h的汽车中抽取200辆进行分析,得到数据的频率分布直方图(如图所示),则速度在70 km/h以下的汽车有　　▲　　 辆. ‎ ‎4.如图,若输入的x值为16,则相应输出的值y为　　▲　　. ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　第3题图　　　　　　　　　　　　　　　　　　第4题图 ‎5.已知变量x,y满足约束条件则x+y的最大值是　　▲　　. ‎ ‎6.某校高三年级学生会主席团共由4名学生组成,其中有两名学生来自同一班级,另外两名学生来自另两个不同班级.现从中随机选出两名学生参加会议,则选出的两名学生来自不同班级的概率为　　▲　　. ‎ ‎7.已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为　　▲　　. ‎ ‎8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是3x-4y=0,则该双曲线的离心率为　　▲　　. ‎ ‎9.在等差数列{an}中,若a4=4,-=96,则数列{an}的前10项和S10=　　▲　　. ‎ ‎10.将函数y=sin(2x+)的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后,所得的函数图象关于原点成中心对称,则φ=　　▲　　. ‎ ‎11.已知函数f(x)=在区间(0,+∞)上有且只有三个不同的零点,则实数m的取值范围是　　▲　　. ‎ ‎12.如图,已知点O是平面四边形ABCD的外接圆的圆心,AB=2,BC=6,AD=CD=4,则·=　　▲　　. ‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中,已知AB是圆O:x2+y2=1的直径,若直线l:kx-y-3k+1=0上存在点P,连接AP与圆O交于点Q,满足BP∥OQ,则实数k的取值范围是　　▲　　. ‎ ‎14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2c2+ab≥kbc,则实数k的最大值是　　▲　　. ‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(14分)‎ 在三棱锥P-ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,且PA=PB,∠PDC为锐角.‎ ‎(1)证明:BC∥平面PDE;‎ ‎(2)若平面PCD⊥平面ABC,证明:AB⊥PC.‎ ‎16.(14分)‎ 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin Bsin(B+)=.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)求sin A+sin C的取值范围.‎ ‎17.(14分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点(,)在椭圆C上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设P为椭圆上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A,点P关于x轴的对称点为Q,设=λ,直线AD与椭圆C的另一个交点为B,若PA⊥PB,求实数λ的值.‎ ‎18.(16分)‎ 一块圆柱形木料的底面半径为6 cm,高为16 cm.要将这块木料加工成一只笔筒,在木料一端中间掏去一个小圆柱,使小圆柱与原木料同轴,并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一.设小圆柱底面半径为r,高为h,要求笔筒底面的厚度超过1 cm.‎ ‎(1)求r与h的关系,并指出r的取值范围;‎ ‎(2)笔筒成形后进行后续加工,要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆,其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a(元/ cm2),桶内侧面喷漆费用是2a(元/ cm2),而筒内底面铺贴金属薄片,其费用是7a(元/ cm2)(其中a为正常数).‎ ‎①将笔筒的后续加工费用y(元)表示为r的函数;‎ ‎②求出当r取何值时,能使笔筒的后续加工费用y最小,并求出y的最小值.‎ ‎19.(16分)‎ 已知函数f(x)=x(ln x-ax)(a∈R).‎ ‎(1)当a=0时,求函数f(x)的最小值;‎ ‎(2)若函数f(x)既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)设g(x)=ax2-(a-1)x+a,若对任意的x∈(1,+∞),都有f(x)+g(x)>0,求整数a的最大值.‎ ‎20.(16分)‎ 已知数列{an}的首项a1≠0,其前n项和为Sn,且Sn=3an-2a1对任意正整数n都成立.‎ ‎(1)证明:数列{an}为等比数列;‎ ‎(2)若a1=,设bn=,求数列{bn}的前n项和为Tn;‎ ‎(3)若a1,ak(k≥3,k∈N*)均为正整数,如果存在正整数q,使得a1≥qk-1, ak≤(q+1)k-1,证明:a1=2k-1.‎ ‎高三数学考试卷参考答案 ‎1.{2}　2.　3.100　4.4　5.4　6.　7.π　8.　9.70　10.　11.(,2]　12.-4‎ ‎13.(-,+∞)　14.2-1‎ ‎15.证明:(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,‎ 所以DE∥BC. 2分 又DE⊂平面PDE,BC⊄平面PDE,‎ 所以BC∥平面PDE. 5分 ‎(2)过点P作PO⊥CD,垂足为O.‎ 又平面PCD⊥平面ABC,PO⊂平面PCD,‎ 平面PCD∩平面ABC=CD,所以PO⊥平面ABC.‎ 又因为AB⊂平面ABC,所以AB⊥PO. 9分 因为PA=PB,D为AB的中点,所以AB⊥PD. 11分 又∠PDC为锐角,一定有PO∩PD=P,PO,PD⊂平面PCD,所以AB⊥平面PCD.‎ 又PC⊂平面PCD,‎ 所以AB⊥PC. 14分 ‎16.解:(1)由sin Bsin(B+)=,可得sin B(sin Bcos+cos Bsin)=,‎ 即sin2B+sin Bcos B=,故+sin 2B=,整理得sin(2B-)=1. 3分 又B为三角形的内角,即B∈(0,π),于是2B-∈(-,),‎ 所以2B-=,从而B=. 6分 ‎(2)sin A+sin C=sin A+sin(π-(A+B))=sin A+sin(-A)‎ ‎=sin A+sincos A-cossin A=cos A+sin A=sin(A+). 10分 因为A为三角形的内角,且B=,‎ 于是A∈(0,),故A+∈(,),所以sin(A+)∈(,1].‎ 所以sin A+sin C=sin(A+)∈(,].‎ 即sin A+sin C的取值范围是(,]. 14分 ‎17.解:(1)因为点(,)在椭圆C上,则+=1,‎ 又椭圆C的离心率为,可得=,即c=a,‎ 所以b2=a2-c2=a2-(a)2=a2,代入上式,可得+=1,‎ 解得a2=4,故b2=a2=1.‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1. 6分 ‎(2)设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),Q(x0,-y0).‎ 因为=λ,则(0,yD-y0)=λ(0,-2y0),故yD=(1-2λ)y0.‎ 所以点D的坐标为(x0,(1-2λ)y0). 8分 设B(x1,y1),则kPB·kBA=·===-. 11分 又kBA=kAD==(1-λ)·,‎ 故kPB=-=-.‎ 又PA⊥PB,且kPA=,‎ 所以kPBkPA=-1,即-·=-1,解得λ=.‎ 所以λ=. 14分 ‎18.解:(1)据题意,πr2h=(π×62×16),所以r2h=192,即h=. 3分 因为16-h>1,故h<15,即<15,解得r>.‎ 又00,h(x)=f'(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ 故f'(x)在(0,+∞)上至多有一个零点,‎ 此时,函数f(x)在(0,+∞)上至多存在一个极小值,不存在极大值,不符题意; 4分 ‎②当a>0时,令h'(x)=0,可得x=,列表:‎ x ‎(0,)‎ ‎(,+∞)‎ h'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ h(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 若h()≤0,即a≥时,h(x)≤h()≤0,即f'(x)≤0,‎ 故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,函数f(x)在(0,+∞)上不存在极值,与题意不符, 5分 若h()>0,即01>,且h()=ln-+1=-<0,‎ 故存在x1∈(,),使得h(x)=0,即f'(x)=0,‎ 且当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,x1)上单调递减;‎ 当x∈(x1,)时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,x1)上单调递增,函数f(x)在x=x1处取极小值. 7分 由于<,且h()=ln-+1=-2ln a-+1<0(事实上,令μ(a)=-2ln a-+1,μ'(a)=-+=>0,故μ(a)在(0,1)上单调递增,所以μ(a)<μ(1)=-1<0).‎ 故存在x2∈(,),使得h(x)=0,即f'(x)=0,‎ 且当x∈(,x2)时,f'(x)>0,函数f(x)在(,x2)上单调递增;‎ 当x∈(x2,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)在(x2,+∞)上单调递减,函数f(x)在x=x2处取极大值.‎ 综上所述,当00对任意的x∈(1,+∞)恒成立,‎ 可得xln x-(a-1)x+a>0对任意的x∈(1,+∞)恒成立.‎ 即a<对任意的x∈(1,+∞)恒成立.(*)‎ 记φ(x)=,得φ'(x)=,‎ 设t(x)=x-2-ln x,t'(x)=1-=>0,则t(x)在(1,+∞)是单调增函数,‎ 又t(3)=1-ln 3<0,t(4)=2-ln 4>0,且t(x)在[3,4]上的图象是不间断的,‎ 所以,存在唯一的实数x0∈(3,4),使得t(x0)=0,‎ 当1x0时,t(x)>0,φ'(x)>0,φ(x)在(x0,+∞)上递增.‎ 所以当x=x0时,φ(x)有极小值,即为最小值φ(x0)=,‎ 又t(x0)=x0-2-ln x0=0,故ln x0=x0-2,所以φ(x0)==x0.‎ 由(*)知,a===.‎ 据图可知,二面角P-A1C-A的余弦值为. 10分 ‎23.解:(1)张老师购买的杂志种数可能为0,1,2,3.‎ X的可能取值分别为1,3.‎ P(X=1)=()1(1-)2+()2(1-)1=2()3=;‎ P(X=3)=()0(1-)3+()3(1-)0=2()3=. 2分 X的概率分布为:‎ X ‎1‎ ‎3‎ P E(X)=1×+3×=. 3分 ‎(2)当n=2k+1,k∈N*时,张老师购买的杂志种数可能为0,1,…,2k+1.‎ X的可能取值分别为1,3,5,…,2k+1.‎ P(X=1)=()k(1-)k+1+()k+1(1-)k=2()2k+1;‎ P(X=3)=()k-1(1-)k+2+()k+2(1-)k-1=2()2k+1;‎ P(X=5)=()k-2(1-)k+3+()k+3(1-)k-2=2()2k+1;‎ ‎……‎ P(X=2k+1)=()0(1-)2k+1+()2k+1(1-)0=2()2k+1.‎ E(X)=1×2()2k+1+3×2()2k+1+5×2()2k+1+…+(2k+1)×2()2k+1‎ ‎=()2k·[1×+3×+5×+…+(2k+1)×]‎ ‎=()2k·[((k+1)-k)×+((k+2)-(k-1))×+((k+3)-(k-2))×+…+‎ ‎((2k+1)-0)×]‎ ‎=()2k·[((k+1)-k)+((k+2)-(k-1))+((k+3)-(k-2))‎ ‎ +…+((2k+1)-0)]‎ ‎=()2k·[((k+1)-k)+((k+2)-(k-1))+((k+3)-(k-2))‎ ‎ +…+((2k+1)-0)]‎ ‎=()2k·[[(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(2k+1)]-‎ ‎[k+(k-1)+(k-2)+…+1]] 7分 由于i=i·==n=n,i=1,2,…,n,所以E(X)=()2k·[[(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(2k+1)]-[k+(k-1)+(k-2)+…+1]]‎ ‎=()2k·[[(2k+1)+(2k+1)+(2k+1)+…+(2k+1)]-[(2k+1)+(2k+1)+(2k+1)+…+(2k+1)]]‎ ‎=()2k(2k+1)·[(+++…+)-(+++…+)]‎ ‎=()2k(2k+1)· ‎=·.‎ 所以X的数学期望是·. 10分