高考数学专题复习练习:12-6 专项基础训练

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高考数学专题复习练习:12-6 专项基础训练

‎ A组 专项基础训练 ‎(时间:45分钟)‎ ‎1.(2017·河南八校联考)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(4,σ2)(σ>0),若ξ在(0,4)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,+∞)内取值的概率为(  )‎ A.0.2          B.0.4‎ C.0.8 D.0.9‎ ‎【解析】 ∵ξ服从正态分布N(4,σ2)(σ>0),∴曲线的对称轴是直线x=4,∴ξ在(4,+∞)内取值的概率为0.5.‎ ‎∵ξ在(0,4)内取值的概率为0.4,∴ξ在(0,+∞)内取值的概率为0.5+0.4=0.9.‎ ‎【答案】 D ‎2.(2017·浙江重点中学协作体第一次适应性训练)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 依题意,知ξ的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为+=.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=×=,P(ξ=6)==,故E(ξ)=2×+4×+6×=.‎ ‎【答案】 B ‎3.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 根据题意,学生一次发球成功的概率为p,即P(X=1)=p,发球二次的概率P(X ‎=2)=p(1-p),发球三次的概率P(X=3)=(1-p)2,则E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3,依题意有E(X)>1.75,则p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,结合p的实际意义,可得0<p<,即p∈.‎ ‎【答案】 B ‎4.已知某随机变量X的概率密度函数为P(x)=则随机变量X落在区间(1,2)内的概率为(  )‎ A.e2+e B. C.e2-e D. ‎【解析】 画出概率密度曲线,随机变量X落在区间(1,2)内的概率相当于直线x=1和x=2以及密度曲线和直线y=0围成的图形的面积,P=e-xdx=.‎ ‎【答案】 D ‎5.已知随机变量X+η=8,若X~B(10,0.6),则E(η),D(η)分别是(  )‎ A.6,2.4 B.2,2.4‎ C.2,5.6 D.6,5.6‎ ‎【解析】 由已知随机变量X+η=8,所以有η=8-X.‎ 因此,求得E(η)=8-E(X)=8-10×0.6=2,‎ D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.‎ ‎【答案】 B ‎6.(2017·浙江重点中学协作体摸底考试)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示,根据统计,随机变量ξ的概率分布列如下,则ξ的数学期望为________.‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎2a a ‎【解析】 由概率分布列的性质得0.1+0.3+2a+a=1,解得a=0.2,∴ξ的概率分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎∴E(ξ)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7.‎ ‎【答案】 1.7‎ ‎7.(2017·兰州一中模拟)若随机变量ξ~B,则D(3ξ+2)=________.‎ ‎【解析】 ∵随机变量ξ~B,∴D(ξ)=5××=,∴D(3ξ+2)=9D(ξ)=10.‎ ‎【答案】 10‎ ‎8.若随机变量服从正态分布ξ~N(2,1),且P(ξ>3)=0.158 7,则P(ξ>1)=________.‎ ‎【解析】 由题意可知正态分布密度函数的图象关于直线x=2对称,得P(ξ<1)=P(ξ>3)=0.158 7,∴P(ξ>1)=1-P(ξ<1)=1-0.158 7=0.841 3.‎ ‎【答案】 0.841 3‎ ‎9.(2017·南昌模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试,经分析,全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,σ2)(满分为100分),已知P(X<75)=0.3,P(X≥95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取3位同学.‎ ‎(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80,85),[85,95),[95,100]内各有1位同学的概率;‎ ‎(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]内的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).‎ ‎【解析】 (1)由题知,P(80≤X<85)=-P(X<75)=0.2,‎ P(85≤X<95)=0.3-0.1=0.2,‎ 所以所求概率P=A×0.2×0.2×0.1=0.024.‎ ‎(2)P(75≤X≤85)=1-2P(X<75)=0.4,‎ 所以ξ服从二项分布B(3,0.4),‎ P(ξ=0)=0.63=0.216,P(ξ=1)=3×0.4×0.62=0.432,‎ P(ξ=2)=3×0.42×0.6=0.288,P(ξ=3)=0.43=0.064,‎ 所以随机变量ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.216‎ ‎0.432‎ ‎0.288‎ ‎0.064‎ E(ξ)=3×0.4=1.2.‎ ‎10.(2017·洛阳模拟)某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有1,2,3三个问题,每位参赛者按问题1,2,3的顺序做答,竞赛规则如下:‎ ‎①每位参赛者计分器的初始分均为10分,答对问题1,2,3分别加1分,2分,3分,答错任一题减2分;‎ ‎②每回答一题,积分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于12分时,答题结束,进入下一轮;当答完三题,累计分数仍不足12分时,答题结束,淘汰出局.‎ 已知甲同学回答1,2,3三个问题正确的概率依次为,,,且各题回答正确与否相互之间没有影响.‎ ‎(1)求甲同学能进入下一轮的概率;‎ ‎(2)用X表示甲同学本轮答题结束时的累计分数,求X的分布列和数学期望.‎ ‎【解析】 (1)设事件A表示“甲同学问题1回答正确”,事件B表示“甲同学问题2回答正确”,事件C表示“甲同学问题3回答正确”,依题意P(A)=,P(B)=,P(C)=.‎ 记“甲同学能进入下一轮”为事件D,则 ‎ ‎ ‎∴X的分布列为 X ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎13‎ P X的数学期望E(X)=6×+7×+8×+12×+13×=.‎ B组 专项能力提升 ‎(时间:30分钟)‎ ‎11.(2017·福建厦门四校联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试,‎ 其数学考试成绩近似服从正态分布,即X~N(100,a2)(a>0),试卷满分为150分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的,则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为(  )‎ A.400 B.500‎ C.600 D.800‎ ‎【解析】 P(X<90)=P(X>110)=,P(90≤X≤110)=1-×2=,P(100≤X≤110)=,1 000×=400.故选A.‎ ‎【答案】 A ‎12.(2017·安徽皖南八校联考)某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务,若选出的男生人数为ξ,则ξ的方差D(ξ)=________.‎ ‎【解析】 从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务,选出的男生人数ξ可能为1,2,3,其中,P(ξ=1)==,‎ P(ξ=2)==,P(ξ=3)==.所以ξ的数学期望E(ξ)=1×+2×+3×=2,D(ξ)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=.‎ ‎【答案】 ‎13.(2016·课标全国Ⅰ)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎(1)求X的分布列;‎ ‎(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;‎ ‎(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?‎ ‎【解析】 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04;‎ P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;‎ P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;‎ P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;‎ P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;‎ P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;‎ P(X=22)=0.2×0.2=0.04.‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.‎ ‎(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).‎ 当n=19时,‎ E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.‎ 当n=20时,‎ E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.‎ 可知当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.‎ ‎14.(2017·昆明模拟)气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下:‎ 日最高气温t(单位:℃)‎ t≤22‎ ‎22<t≤28‎ ‎28<t≤32‎ t>32‎ 天数 ‎6‎ ‎12‎ Y Z 由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y和Z数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9.‎ 某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温t(单位:℃)对西瓜的销售影响如下表:‎ 日最高气温t(单位:℃)‎ t≤22‎ ‎22<t≤28‎ ‎28<t≤32‎ t>32‎ 日销售额X (单位:千元)‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎(1)求Y,Z的值;‎ ‎(2)若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的均值和方差;‎ ‎(3)在日最高气温不高于32 ℃时,求日销售额不低于5千元的概率.‎ ‎【解析】 (1)由已知得:P(t≤32)=0.9,‎ ‎∴P(t>32)=1-P(t≤32)=0.1.‎ ‎∴Z=30×0.1=3,‎ Y=30-(6+12+3)=9.‎ ‎(2)P(t≤22)==0.2,‎ P(22<t≤28)==0.4,‎ P(28<t≤32)==0.3,‎ P(t>32)==0.1,‎ ‎∴六月份西瓜日销售额X的分布列为 X ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎∴E(X)=2×0.2+5×0.4+6×0.3+8×0.1=5,‎ D(X)=(2-5)2×0.2+(5-5)2×0.4+(6-5)2×0.3+(8-5)2×0.1=3.‎ ‎(3)∵P(t≤32)=0.9,‎ P(22<t≤32)=0.4+0.3=0.7,‎
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