数学卷·2018届河北省邢台市高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届河北省邢台市高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年河北省邢台市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在空间直角坐标系中，平面α内有M（m，﹣2，1）和N（0，m，3）两点，平面α的一个法向量为=（3，1，2），则m等于（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3‎ ‎2．某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为（　　）‎ A． B． C．5 D．‎ ‎3．已知，若直线xcosθ+2y+1=0与直线x﹣ysin2θ﹣3=0垂直，则sinθ等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知双曲线mx2﹣y2=m（m＞0）的一条渐近线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则m等于（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎5．已知命题p：∃x∈R，2x﹣3≤0．若（￢p）∧q是假命题，则命题q可以是（　　）‎ A．椭圆3x2+4y2=2的焦点在x轴上 B．圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣1=0与x轴相交 C．若集合A∪B=A，则B⊆A D．已知点A（1，2）和点B（3，0），则直线x+2y﹣3=0与线段AB无交点 ‎6．如图，空间四边形OABC中， =， =， =，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（　　）‎ A．﹣ ++ B． ﹣+ C． +﹣ D． +﹣‎ ‎7．“﹣1≤m≤1”是“圆（x+m）2+y2=1与圆（x﹣2）2+y2=4有公共点”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（　　）‎ ‎（ 1 ）若m⊥α，m⊂β，则α⊥β ‎（ 2 ）若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β ‎（ 3 ）如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交 ‎（ 4 ）若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且PA=AD=3，，E、F分别是AB、PD的中点，则点F到平面PCE的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知直线l：ax+y+b=0与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，，且，则等于（　　）‎ A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．4‎ ‎11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B．6 C．7 D．8‎ ‎12．已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（　　）‎ A．2 B．2 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13、底面半径为3的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为　　．‎ ‎14．在平面直角坐标系中，正方形的中心坐标为（1，0），其一边AB所在直线的方程为x﹣y+1=0，则边CD所在直线的方程为　　．‎ ‎15．椭圆的右顶点和上顶点分别为A和B，右焦点为F．若|AF|、|AB|、3|BF|成等比数列，则该椭圆的离心率为　　．‎ ‎16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是A1B1上一点，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角的正切值为，设三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径为a，则=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）在平面直角坐标系中，A（1，﹣1），B（1，3），点C在直线x﹣y+1=0上．‎ ‎（1）若直线AC的斜率是直线BC的斜率的2倍，求直线AC的方程；‎ ‎（2）点B关于y轴对称点为D，若以DC为直径的圆M过点A，求C的坐标．‎ ‎18．（12分）已知双曲线的离心率为e，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k，且e≥k．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）设条件p：e≥k；条件q：m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0．若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，PA=a，AD=2a．‎ ‎（1）若AE⊥PD，E为垂足，求异面直线AE与CD所成角的余弦值；‎ ‎（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值．‎ ‎20．（12分）已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线C：x2=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是时，．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．‎ ‎21．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且AD=2，NB=1，CD=MD=3．‎ ‎（1）过B作平面BFG∥平面MNC，平面BFG与CD、DM分别交于F、G，求AF与平面MNC所成角的正弦值；‎ ‎（2）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求的值．‎ ‎22．（12分）已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆G：的左、右焦点，点M是椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，|MF1|﹣|MF2|=a．‎ ‎（1）求椭圆G的方程；‎ ‎（2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2），求△PAB的面积．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省邢台市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在空间直角坐标系中，平面α内有M（m，﹣2，1）和N（0，m，3）两点，平面α的一个法向量为=（3，1，2），则m等于（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3‎ ‎【考点】平面的法向量．‎ ‎【分析】先求出=（﹣m，m+2，2），由题意得，从而利用=0，能求出m的值．‎ ‎【解答】解：∵平面α内有M（m，﹣2，1）和N（0，m，3）两点，‎ 平面α的一个法向量为=（3，1，2），‎ ‎∴=（﹣m，m+2，2），‎ 由题意得，则=﹣3m+m+2+4=0，‎ 解得m=3．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为（　　）‎ A． B． C．5 D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知，俯视图是一个直角梯形，上、下底和高分别为2、3和，即可得出．‎ ‎【解答】解：由三视图可知，俯视图是一个直角梯形，上、下底和高分别为2、3和，‎ 其面积为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三视图的应用及其性质、梯形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．已知，若直线xcosθ+2y+1=0与直线x﹣ysin2θ﹣3=0垂直，则sinθ等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】利用直线与直线垂直的性质求解．‎ ‎【解答】解：由题意可得﹣•=﹣1，‎ 即sinθ=，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎4．已知双曲线mx2﹣y2=m（m＞0）的一条渐近线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则m等于（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由已知得双曲线的渐近线 的倾斜角为60°，则，即可求出m的值．‎ ‎【解答】解：由已知得双曲线的渐近线的倾斜角为60°，‎ 则，得m=3．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的渐近线，考查方程思想，比较基础．‎ ‎　‎ ‎5．已知命题p：∃x∈R，2x﹣3≤0．若（￢p）∧q是假命题，则命题q可以是（　　）‎ A．椭圆3x2+4y2=2的焦点在x轴上 B．圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣1=0与x轴相交 C．若集合A∪B=A，则B⊆A D．已知点A（1，2）和点B（3，0），则直线x+2y﹣3=0与线段AB无交点 ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】求出p是假命题，根据（￢p）∧q是假命题，得到q是假命题，判断出A、B、C是真命题，D是假命题，得到答案即可．‎ ‎【解答】解：命题p：∃x∈R，2x﹣3≤0，‎ 易判断命题p是假命题，‎ 若（￢p）∧q是假命题，则q为假命题，‎ 选项A、B、C均正确，‎ 对于D，直线x+2y﹣3=0与线段AB有交点，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了复合命题的判断，考查椭圆的定义，集合的定义，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎6．如图，空间四边形OABC中， =， =， =，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（　　）‎ A．﹣ ++ B． ﹣+ C． +﹣ D． +﹣‎ ‎【考点】空间向量的加减法．‎ ‎【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．‎ ‎【解答】解： =，‎ ‎=+﹣+，‎ ‎=++﹣，‎ ‎=﹣++，‎ ‎∵=， =， =，‎ ‎∴=﹣++，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．‎ ‎　‎ ‎7．“﹣1≤m≤1”是“圆（x+m）2+y2=1与圆（x﹣2）2+y2=4有公共点”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】结合圆与圆的位置关系，求出m的范围，再利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：若圆（x+m）2+y2=1与圆（x﹣2）2+y2=4有公共点，则2﹣1≤|2+m|‎ ‎≤2+1，‎ 解得﹣5≤m≤﹣3或﹣1≤m≤1，‎ 则“﹣1≤m≤1”是“圆（x+m）2+y2=1与圆（x﹣2）2+y2=4有公共点”的充分不必要条件 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎8．已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（　　）‎ ‎（ 1 ）若m⊥α，m⊂β，则α⊥β ‎（ 2 ）若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β ‎（ 3 ）如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交 ‎（ 4 ）若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】利用面面平行和妈妈垂直的判定定理分别分析解答．‎ ‎【解答】解：对于（ 1 ），若m⊥α，m⊂β，则满足面面垂直的判定定理，所以α⊥β正确；‎ 对于（ 2 ），若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，如果m∥n，则α，β可能相交，所以α∥β错误；‎ 对于（ 3 ），如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交或者平行；故（3）错误；‎ 对于（ 4 ），若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，满足线面平行的判定定理，所以n∥α且n∥β正确．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了面面垂直、面面平行、线面平行的判定定理的运用，熟练运用定理是关键．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且PA=AD=3，，E、F分别是AB、PD的中点，则点F到平面PCE的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出点F到平面PCE的距离．‎ ‎【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则E（，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），‎ ‎=（﹣，0，3），=（，3，0）．‎ 设平面PCE的法向量为=（x，y，z），‎ 则，即，取y=﹣1，得=（）．‎ 又=（0，，﹣），‎ ‎∴点F到平面PCE的距离为：d===．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎10．已知直线l：ax+y+b=0与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，，且，则等于（　　）‎ A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．4‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意，可得直线l与直线OM垂直，且圆心O到直线l的距离为，建立方程，求出a，b，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵，∴直线l与直线OM垂直，且圆心O到直线l的距离为，‎ 即，解得，则．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，体现方程思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】该几何体的直观图如图所示．连接BD，则该几何体由直三棱柱BCD﹣EFG和三棱锥E﹣ABD组合而成．‎ ‎【解答】解：该几何体的直观图如图所示．‎ 连接BD，则该几何体由直三棱柱BCD﹣EFG和三棱锥E﹣ABD组合而成，‎ 其体积为．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三棱柱与三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（　　）‎ A．2 B．2 C． D．‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合．‎ ‎【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，‎ ‎|AC|+|AF|=2a，‎ 由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，‎ 由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，‎ 可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，‎ 由C（0，4），F（，0），可得A（，2），‎ 代入抛物线的方程可得，4=2p•，解得p=2，‎ 即有a=+=，A（，2），‎ 可得C到直线OA：y=2x的距离为d==，‎ 可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查圆的弦长的求法，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13、底面半径为3的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为　3　．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】设圆柱的高为h，由题意、圆柱的侧面积和表面积的面积公式列出方程，求出h的值．‎ ‎【解答】解：设圆柱的高为h，‎ 因为圆柱的侧面积是圆柱表面积的，且半径为3，‎ 所以，解得h=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查圆柱的侧面积和圆柱表面积的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．在平面直角坐标系中，正方形的中心坐标为（1，0），其一边AB所在直线的方程为x﹣y+1=0，则边CD所在直线的方程为　x﹣y﹣3=0　．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】求出直线x﹣y+1=0上的点关于（1，0）的对称点，设出直线CD的方程，根据待定系数法求出直线CD的方程即可．‎ ‎【解答】解：直线x﹣y+1=0上的点（﹣1，0）关于点（1，0）对称点为（3，0），‎ 设直线CD的方程为x﹣y+m=0，则直线CD过（3，0），解得m=﹣3，‎ 所以边CD所在直线的方程为x﹣y﹣3=0，‎ 故答案为：x﹣y﹣3=0．‎ ‎【点评】本题考查了求直线方程问题，考查直线的平行关系以及关于点对称问题，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎15．椭圆的右顶点和上顶点分别为A和B，右焦点为F．若|AF|、|AB|、3|BF|成等比数列，则该椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】AF=a﹣c，，3BF=3a，AF•3BF=AB2，可得a2+b2=3a（a﹣c），c2﹣3ac+a2=0，即e2﹣3e+1=0，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：∵AF=a﹣c，，3BF=3a，‎ ‎∴由AF•3BF=AB2，a2+b2=3a（a﹣c），‎ ‎∵b2=a2﹣c2，∴c2﹣3ac+a2=0，‎ 则e2﹣3e+1=0，解得或（舍去）．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是A1B1上一点，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角的正切值为，设三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径为a，则=　　．‎ ‎【考点】球内接多面体；棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】过E作EF∥AA1交AB于F，过F作FG⊥BD于G，连接EG，则∠EGF为平面EBD与平面AB﹣CD所成锐二面角的平面角，设AB=3，求出A1E=1，可得三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：过E作EF∥AA1交AB于F，过F作FG⊥BD于G，连接EG，则∠EGF为平面EBD与平面AB﹣CD所成锐二面角的平面角，∵，∴，‎ 设AB=3，则EF=3，∴，则BF=2=B1E，‎ ‎∴A1E=1，则三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径，‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径，考查面面角，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）（2016秋•邢台期末）在平面直角坐标系中，A（1，﹣1），B（1，3），点C在直线x﹣y+1=0上．‎ ‎（1）若直线AC的斜率是直线BC的斜率的2倍，求直线AC的方程；‎ ‎（2）点B关于y轴对称点为D，若以DC为直径的圆M过点A，求C的坐标．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）设点C（x，x+1）（x≠1），利用直线AC的斜率是直线BC的斜率的2倍，建立方程，求出C的坐标，即可求直线AC的方程；‎ ‎（2）求出D的坐标，利用以DC为直径的圆M过点A，kAD•kAC=﹣1，即可求C的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵点C在直线x﹣y+1=0上，∴可设点C（x，x+1）（x≠1），‎ ‎∵直线AC的斜率是直线BC的斜率的2倍，∴，解得x=6，‎ 则点C（6，7），∴直线AC方程为，即8x﹣5y﹣13=0．‎ ‎（2）∵点B关于y轴对称点D，∴D（﹣1，3），‎ ‎∵以DC为直径的圆M过点A，∴kAD•kAC=﹣1，即，‎ 解得x=﹣5，即C（﹣5，﹣4），∴圆M的圆心坐标为．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的方程，考查斜率公式的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•邢台期末）已知双曲线的离心率为e，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k，且e≥k．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）设条件p：e≥k；条件q：m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0．若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由已知得：，，利用e≥k，m＞0，即可求m的取值范围；‎ ‎（2）求出q的等价结论，利用p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得：，，‎ ‎∵，∴，解得m≤3，‎ ‎∵m＞0，∴0＜m≤3，即m的取值范围（0，3]．‎ ‎（2）∵m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0，∴（m﹣a）（m﹣a﹣2）≤0，即a≤m≤a+2，‎ ‎∵p是q的必要不充分条件，∴‎ 解得0＜a≤1，即a的取值范围为（0，1]．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查充要条件，知识综合性强．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•邢台期末）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，PA=a，AD=2a．‎ ‎（1）若AE⊥PD，E为垂足，求异面直线AE与CD所成角的余弦值；‎ ‎（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）法一（几何法）：‎ 过点E作EM∥CD交PC于M，连接AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角．由此能求出异面直线AE与CD所成角的余弦值．‎ 法二（向量法）：‎ 建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线AE与CD所成角的余弦值．‎ ‎（2）求出平面PAB的一个法向量和平面PCD的一个法向量，利用向量法能求出平面PAB与平面PCD所成锐二面角的正切值．‎ ‎【解答】解：（1）法一（几何法）：‎ 过点E作EM∥CD交PC于M，连接AM，‎ 则AE与ME所成角即为AE与CD所成角．‎ 在Rt△PAD中，∠PAD=90°，‎ 由，得∠PDA=30°，∴．‎ ‎∴AE=AD•sin30°=a．‎ ‎∵，．‎ ‎∴．‎ 连接AC，∵在△ACD中，AD=2a，，，‎ ‎∴AD2=AC2+CD2，∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∴ME⊥AC．‎ 又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∴ME⊥PA．∴ME⊥平面PAC．‎ ‎∵MA⊂平面PAC，∵ME⊥AM．‎ ‎∴在Rt△AME中，．‎ ‎∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为．‎ 法二（向量法）：‎ 如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 则A（0，0，0），B（a，0，0），，C（a，a，0），D（0，2a，0），，‎ ‎=（0，），=（﹣a，a，0）．‎ 设AE与CD所成角为θ，‎ 则cosθ==，‎ ‎∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为．‎ 解：（2）由题设知，CB⊥AB，CB⊥PA，则CB⊥平面PAB．‎ ‎∴平面PAB的一个法向量为=（0，a，0）．‎ 设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），‎ ‎∵=（a，a，﹣ a），=（﹣a，a，0），∴由•=0， •=0．‎ 得，∴，令y=1，得=（1，1，）．‎ 设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为α，‎ 则cosα==．‎ ‎∴tanα=2．‎ ‎∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的正切值为2．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015•贵州模拟）已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线C：x2=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是时，．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）设出B，C的坐标，利用点斜式求得直线l的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，根据求得y2=4y1，最后联立方程求得y1，y2和p，则抛物线的方程可得．‎ ‎（2）设直线l的方程，AB中点坐标，把直线与抛物线方程联立，利用判别式求得k的范围，利用韦达定理表示出x1+x2，进而求得x0，利用直线方程求得y0，进而可表示出AB的中垂线的方程，求得其在y轴上的截距，根据k的范围确定b的范围．‎ ‎【解答】解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），由已知k1=时，l方程为y=（x+4）即x=2y﹣4．‎ 由得2y2﹣（8+p）y+8=0‎ ‎①②∴‎ 又∵，∴y2=4y1③‎ 由①②③及p＞0得：y1=1，y2=4，p=2，即抛物线方程为：x2=4y．‎ ‎（2）设l：y=k（x+4），BC中点坐标为（x0，y0）‎ 由得：x2﹣4kx﹣16k=0④‎ ‎∴．‎ ‎∴BC的中垂线方程为 ‎∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k2+4k+2=2（k+1）2‎ 对于方程④由△=16k2+64k＞0得：k＞0或k＜﹣4．‎ ‎∴b∈（2，+∞）‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解决此类问题要充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•邢台期末）如图，四边形ABCD是矩形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且AD=2，NB=1，CD=MD=3．‎ ‎（1）过B作平面BFG∥平面MNC，平面BFG与CD、DM分别交于F、G，求AF与平面MNC所成角的正弦值；‎ ‎（2）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求的值．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）作出图形，以D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面MNC的一个法向量，即可求AF与平面MNC所成角的正弦值；‎ ‎（2）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC，即可求的值．‎ ‎【解答】解：（1）当CF=MG=1时，平面BFG∥平面MNC．‎ 证明：连接BF，FG，GB，∵BN=GM=1，BN∥GM，∴四边形BNMG是平行四边形，∴BG∥NM，∵CD=MD，CF=MG，∴FG∥CM，∵BG∩FG=G，∴平面BFG∥平面MNC，‎ 以D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图），则A（2，0，0），C（0，3，0），F（0，2，0），M（0，0，3），N（2，3，1），∴=（﹣2，2，0），=（2，3，﹣2），=（0，3，﹣3），‎ 设平面MNC的一个法向量=（x，y，z），‎ 则令y=2，则z=2，x=﹣1，∴ =（﹣1，2，2），‎ 设AF与平面MNC所成角为θ，则 ‎．‎ ‎（2）设E（a，b，c），，则=λ，‎ ‎∵=（a，b，c﹣3），=（2，3，﹣2），∴点E的坐标为（2λ，3λ，3﹣2λ），‎ ‎∵AD⊥平面MDC，∴AD⊥MC，‎ 欲使平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC，‎ ‎∵=（2λ﹣2，3λ，3﹣2λ），=（0，3，﹣3），∴9λ﹣3（3﹣2λ）=0，得，∴．‎ ‎【点评】本题考查空间线面角、线面位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•邢台期末）已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆G：的左、右焦点，点M是椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，|MF1|﹣|MF2|=a．‎ ‎（1）求椭圆G的方程；‎ ‎（2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2），求△PAB的面积．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由已知结合椭圆定义求得|MF1|=，|MF2|=，再由MF2⊥F1F2，利用勾股定理求得a值，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出E的坐标，结合斜率求得m值，进一步求出A、B的坐标，得到AB所在直线方程，利用点到直线的距离公式求出P到AB的距离，代入三角形面积公式求得△PAB的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵|MF1|﹣|MF2|=a，|MF1|+|MF2|=2a，‎ ‎∴|MF1|=，|MF2|=，‎ ‎∵MF2⊥F1F2，∴．‎ 即，则，‎ ‎∵c2=a2﹣4，∴a2=12，‎ ‎∴椭圆；‎ ‎（2）设直线l的方程为y=x+m．‎ 由，得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①‎ 设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），‎ 则，．‎ ‎∵AB是等腰△PAB的底边，∴PE⊥AB．‎ ‎∴PE的斜率，解得m=2．‎ 此时方程①为4x2+12x=0，解得x1=﹣3，x2=0，∴y1=﹣1，y2=2，‎ ‎∴|AB|=3．‎ 此时，点P（﹣3，2）到直线AB：x﹣y+2=0的距离d=，‎ ‎∴△PAB的面积S=．‎ ‎【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了直线与椭圆位置关系的应用，属中档题．‎ ‎　‎