2020高中数学 第2章 推理与证明 第2节 直接证明与间接证明学案 理 苏教版选修2-2

2020高中数学 第2章 推理与证明 第2节 直接证明与间接证明学案 理 苏教版选修2-2

第2节直接证明与间接证明 一、学习目标：‎ ‎1. 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。‎ ‎2. 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。‎ 二、重点、难点 重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。‎ 难点：运用分析法、综合法提高分析问题和解决问题的能力。‎ 三、考点分析：‎ 对两种直接证明方法的考查在选择题、填空题和解答题中都有出现，单纯的考查并不常见，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出。它可以和很多知识，如函数、数列、三角函数、导数等相联系，证明时不仅要用到不等式的相关知识，还要用到其他数学知识、技能和技巧，而且还考查了运算能力，分析问题和解决问题的能力。对于反证法很少单独命题，但是运用反证法分析问题、进行证题思路的判断则经常用到，有独到之处。‎ ‎ 三种证明方法的定义与步骤：‎ ‎1. 综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。‎ ‎2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。‎ ‎3. 假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法。用这种方法证明一个命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；（3）断言假设不成立；（4）肯定原命题的结论成立。‎ 知识点一：综合法 例1 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数。‎ ‎ （1）若函数为理想函数，求的值；‎ ‎ （2）判断函数（）是否为理想函数，并予以证明。‎ 思路分析：（1）取可得。由此可求出f（0）的值。（2）在[0，1]满足条件①； 也满足条件②。若 6‎ ‎，，，满足条件③，收此知故g（x）理想函数。‎ 解题过程：（1）取可得。 ‎ 又由条件①，故。 ‎ ‎（2）显然在[0，1]满足条件①； ‎ 也满足条件②。若，，，则 ‎ ，即满足条件③， ‎ ‎ 故为理想函数。 ‎ 解题后反思：要证明函数（）满足三个条件，得紧扣定义，逐个验证。‎ 知识点二：分析法 例2 △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，‎ 求证：‎ 思路分析：本题的关键是将等价转换，以及三个内角A、B、C成等差数列的应用。‎ 解题过程：证明：要证，‎ ‎ 需证。‎ ‎ 即证。‎ ‎ 需证，需证 ‎ ∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B＝60°。‎ ‎ 由余弦定理，有，即。‎ ‎ ∴成立，命题得证。‎ 解题后反思：注意分析法的书写“格式”是“要证……只需证……”，而不是“因为……所以……”‎ 知识点三：反证法 例3 已知，，求证：不能同时大于。‎ 思路分析：求证：不能同时大于，可用反证法假设可以同时大于，让三个等式左边右边分别相乘得到，根据可以判断错误，故假设不成立，即得证。‎ 解题过程：证法一：假设三式同时大于，即，，‎ 6‎ ‎，三式同向相乘得，又 ‎，同理，‎ ‎，这与假设矛盾，故原命题得证。‎ 证法二：假设三式同时大于，，‎ 同理三式相加得，这是矛盾的，故假设错误，所以原命题得证。‎ 解题后反思：“不能同时大于”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明。即正难则反：‎ ‎（1）当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法。‎ ‎（2）用反证法的步骤是：①否定结论；②而不合理；③因此结论不能否定，原结论成立。‎ 反证法属于“间接证明法”，是从反面角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理。反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。‎ 知识点四：综合法、分析法综合应用 例4 设，，为正实数，求证：。‎ 思路分析：由想到可应用不等式。‎ 解题过程：因为为正实数，由平均不等式可得，‎ 即 ，‎ 所以，‎ 而，‎ 所以。‎ 解题后反思：综合法是从已知到未知的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或从 6‎ 已证的命题出发，经过一系列的推理，最后导出要证的结论。证明不等式常用的性质有，等，但应用这些不等式证明时，要注意不等式应用的范围和“”取得的充要条件。‎ ‎ ‎ 例5 如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于、两点。‎ ‎（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；‎ ‎（2）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值。‎ 思路分析：使用常规思路，即可以采用综合法解决问题。‎ 解题过程：（1）抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为（2，0），准线l的方程为。‎ ‎（2）证明：如图，作，，垂足为、，则由抛物线的定义知，，记、的横坐标分别为，，则 解得类似地，解得。‎ 记直线与的交点为，则 ‎ ‎ ‎，所以。‎ 故。‎ 解题后反思：本题是应用综合法解决解析几何 6‎ 问题，掌握综合法证明的基本方法是“由因导果”，即由已知条件出发，顺着推证，逐步推出求证的结论，综合法的特点是表述简单，条理清晰，它常用的是“，”，或“因为，所以”，或“”等表述方法。‎ ‎（天津高考）对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 解题思路：在新定义下给出分段函数，利用数形结合求出参数C的取值范围。‎ 解答过程： ‎ 则的图象如图 ‎∵的图象与轴恰有两个公共点，‎ ‎∴与的图象恰有两个公共点，由图象知，或。‎ 解题后反思：新定义问题考查的是即时反应能力，数形结合能使问题形象化。‎ 6‎ ‎1. 分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知。‎ ‎2. 综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知。‎ ‎3. 分析法和综合法各有优缺点：分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，能较简捷地解决问题，但不便于思考，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明的思路，然后再用综合法叙述出来。‎ ‎4. 对证明的考查往往会结合函数、数列、解析几何、导数等知识，既要掌握基本的证明方法——综合法和分析法，又要结合相关的数学知识，证明时把两种方法结合起来综合应用。‎ 下节课同学们将学习直接证明当中的一种非常重要的方法——数学归纳法，请同学们阅读课本，思考：数学归纳法与多米诺骨牌之间有什么联系呢？根据多米诺骨牌的原理，你能理解数学归纳法吗？‎ 6‎