高中数学北师大版新教材必修一同步课件：5-2-2 用函数模型解决实际问题
2.2
用函数模型解决实际问题
必备知识
·
自主学习
1.
几种常见函数模型
(1)
常见函数模型
①正比例函数模型
:y=kx(k≠0);
②
反比例函数模型
:y= (k≠0);
③
一次函数模型
:y=kx+b(k≠0);
④
二次函数模型
:y=ax
2
+bx+c(a≠0);
导思
1.
如何构建函数模型解决实际问题
?
2.
各种常见函数模型之间有什么区别
?
⑤
指数函数模型
:y=m·a
x
+b(a>0,
且
a≠1,m≠0);
⑥
对数函数模型
:y=mlog
a
x+c(m≠0,a>0,
且
a≠1);
⑦
幂函数模型
:y=k·x
n
+b(k≠0).
(2)
本质
:
许多实际问题
,
一旦认定是函数关系
,
就可以通过研究函数及其性质
,
使问题得到解决
.
(3)
应用
:
用来解决实际生活中常见的函数类型问题
.
【
思考
】
选择函数模型时应注意什么问题
?
提示
:
选择函数模型时
,
要让函数的性质、图象与所解决的问题基本吻合
,
根据散点图选取适当的函数模型、通过待定系数法求解析式
,
再通过数据验证
.
2.
数学建模
(1)
定义
:
用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程
,
叫作数学建模
.
(2)
过程
:
如图所示
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”
,
错的打“
×”).
(1)
函数
y=x
2
比
y=2
x
增长的速度更快些
.(
)
(2)
当
a>1,n>0
时
,
在区间
(0,+∞)
上
,
对任意的
x,
总有
log
a
x
0),
为了保证鱼群的生长空间
,
实际养殖量
x
小于
m,
以便留出适当的空闲量
.
已知鱼群的年增长量
y
和实际养殖量与空闲率
(
空闲率是空闲量与最大养殖量的比值
)
的乘积成正比
,
比例系数为
k(k>0).
(1)
写出
y
关于
x
的函数关系式
,
并指出该函数的定义域
;
(2)
求鱼群年增长量的最大值
.
【
解析
】
(1)
根据题意知
,
空闲率是
,
故
y
关于
x
的函数关系式是
y=kx
·
,0≤x ,
所以
t> .
即 小时也就是
36
分钟后
,
学生才能回到教室
.
【
解题策略
】
1.
在实际问题中
,
常常遇到有关平均增长率的问题
,
如果原来产值的基础数为
N,
平均增长率为
p,
则对于时间
x
的总产值或总产量
y,
可以用下面的公式
y=N(1+p)
x
表示
.
解决平均增长率的问题
,
要用到这个函数式
.
2.
对数函数模型可设为
y=klog
a
x+b.
利用条件确定系数
,
对数函数模型解题的关键是对数运算
.
【
跟踪训练
】
燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬
,
研究燕子的科学家发现
,
燕子的飞行
速度可以表示为函数
v=5log
2
(
单位
:m/s),
其中
Q
表示燕子的耗氧量
.
(1)
求燕子静止时的耗氧量是多少个单位
;
(2)
当一只燕子的耗氧量是
80
个单位时
,
它的飞行速度是多少
?
【
解析
】
(1)
由题知
,
当燕子静止时
,
它的速度
v=0,
代入题中给出的函数关系式
,
可得
0=5log
2
,
解得
Q=10.
即燕子静止时的耗氧量是
10
个单位
.
(2)
将耗氧量
Q=80
代入题中给出的函数关系式
,
得
v=5log
2
=5log
2
8=15.
即当一只燕子的耗氧量是
80
个单位时
,
它的飞行速度为
15 m/s.
课堂检测
·
素养达标
1.
已知变量
y=1+2x,
当
x
减少
1
个单位时
,y
的变化情况是
(
)
A.y
减少
1
个单位
B.y
增加
1
个单位
C.y
减少
2
个单位
D.y
增加
2
个单位
【
解析
】
选
C.
结合函数
y=1+2x
的变化特征可知
C
正确
.
2.
下列函数中
,
增长速度最快的是
(
)
A.y=2 021
x
B.y=x
2 021
C.y=log
2 021
x D.y=2 021x
【
解析
】
选
A.
指数函数
y=a
x
,
在
a>1
时呈爆炸式增长
,
并且随
a
值的增大
,
增长速度越快
.
3.(
教材二次开发
:
练习改编
)
某商场以每件
30
元的价格购进一种商品
,
试销中发现
,
这种商品每天的销量
m(
件
)
与售价
x(
元
/
件
)
之间的关系满足一次函数
:m= 162-3x.
若要使每天获得最大的销售利润
,
则该商品的售价应定为
(
)
A.40
元
/
件
B.42
元
/
件
C.54
元
/
件
D.60
元
/
件
【
解析
】
选
B.
设每天获得的销售利润为
y
元
,
则
y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)
2
+ 432(30≤x≤54,x∈N),
所以当
x=42
时
,
获得的销售利润最大
,
故该商品的售价应定为
42
元
/
件
.
4.
如图
,
一动点
P
从边长为
1
的正方形
ABCD
的顶点
A
出发
,
沿正方形的边界逆时针运动一周
,
再回到点
A.
若点
P
经过的路程为
x,
点
P
到顶点
A
的距离为
y,
则
y
关于
x
的函数关系式是
.
【
解析
】
①
当
0≤x≤1
时
,AP=x,
也就是
y=x.
②
当
1
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