高考数学考点32 直线、平面垂直的判定及其性质

高考数学考点32 直线、平面垂直的判定及其性质

1 （1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理： ·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. ·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理，并能够证明： ·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. （2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 一、直线与平面垂直 1．定义 如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直.记作：l⊥α.图形表示 如下： 【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语． 2．直线与平面垂直的判定定理 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 简记为：线线垂直⇒线面垂直 图形语言 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， ⇒l⊥αa b P 2 作用 判断直线与平面垂直 【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直 线垂直，而不是任意的两条直线. 3．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行. 简记为：线面垂直⇒线线平行 图形语言 符号语言 ⇒ 作用 ①证明两直线平行； ②构造平行线. 4．直线与平面所成的角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平 面的交点叫做斜足． 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影． 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于 ；一条直线和平面平行，或在平面内， 我们说它们所成的角等于 .因此，直线与平面所成的角 α 的范围是 . 5．常用结论（熟记） （1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线． a b       a b∥ 90 0 π[0, ]2 3 （3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 二、平面与平面垂直 1．定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面 α 与平面 β 垂直， 记作 .图形表示如下： 2．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 简记为：线面垂直⇒面面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α， ⇒α⊥β 作用 判断两平面垂直 3．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 简记为：面面垂直⇒线线平行  ⊥ l  4 图形语言 符号语言 作用 证明直线与平面垂直 4．二面角 （1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面． 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于 棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. （3）二面角的范围： . 5．常用结论（熟记） （1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直． （2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． （3）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面 内． 三、垂直问题的转化关系 =l aa a l             ⊥ ⊥ [0,π] 5 考向一 线面垂直的判定与性质 线面垂直问题的常见类型及解题策略： (1)与命题真假判断有关的问题． 解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定． (2)证明直线和平面垂直的常用方法： ①线面垂直的定义； 学# ②判定定理； ③垂直于平面的传递性( )； ④面面平行的性质( )； ⑤面面垂直的性质． (3)线面垂直的证明． 证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定 理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． (4)线面垂直的探索性问题． ①对命题条件的探索常采用以下三种方法： a．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明； b．先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； c．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． ②对命题结论的探索常采用以下方法： 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设， 如果得到了矛盾的结果就否定假设. a b a b   ∥ , a a     , ∥ 6 典例 1 如图所示， 和 都是以 为直角顶点的等腰直角三角形，且 ，下列说法中 错误的是 A． 平面 B． 平面 C． 平面 D． 平面 【答案】D 1．如图,在棱长为 的正方体 中,点 、 分别是棱 、 的中点， 是底面 上（含边界）一动点，且满足 ，则线段 长度的取值范围是 1 1 1 1 1ABCD A B C D E F BC 1CC P ABCD 1A P EF 1A P 7 A． B． C． D． 典例 2 如图，在三棱柱 中，各个侧面均是边长为 的正方形， 为线段 的中点． （ ）求证： 平面 ； （ ）求证：直线 平面 ； （ ）设 为线段 上任意一点，在 内的平面区域（包括边界）是否存在点 ，使 ?请说 明理由． 【解析】（）∵三棱柱 中，各个侧面均是边长为 的正方形， ∴ ， ， ∴ 平面 ， 又∵ 平面 ， 51, 2       5 3,2 2       1, 3   2, 3   1BC D△ 8 ∴ ， （ ）在 内的平面区域（包括边界）存在点 ，使 ，此时 在线段 上，证明如下： 如图，过 作 ，交线段 于点 ， 由（ ）可知， 平面 ， 又 平面 ，∴ ， 由 ， ，得 平面 ， ∵ 平面 ， 1BC D△ 9 ∴ ． 2．如图 1 所示，在 中，∠C=90°，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将 沿 DE 折起到 的位置，使 A1F⊥CD，如图 2 所示． （1）求证： ； （2）线段 上是否存在点 Q，使 平面 ？说明理由． 考向二 面面垂直的判定与性质 判定面面垂直的常见策略： (1)利用定义(直二面角)． (2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直． (3)在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个 平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直． 典例 3 已知在梯形 中， ， 分别为底 上的点，且 ， ， ，沿 将平面 折起至 平面 ，如图. Rt ABC△ ADE△ 1A DE△ 1A F BE 1A B 1AC  DEQ 10 （1）求证：平面 平面 ； （2）若 ，求多面体 的体积． @网 典例 4 如图,直三棱柱 中, 分别是 的中点, . （1）证明: 平面 ; （2）证明:平面 平面 . 11 则四边形 是平行四边形. 所以 // , 因为 ,所以 . 又 , 学@ 所以直线 平面 ． 因为 // ,所以直线 平面 . 因为 平面 , 所以平面 平面 3．如图所示，M，N，P 分别是正方体 的棱 AB，BC，DD1 上的点.1 1 1 1ABCD A B C D 12 （1）若 ，求证:无论点 P 在 DD1 上如何移动，总有 BP⊥MN; （2）棱 DD1 上是否存在这样的点 P，使得平面 ⊥平面 ?证明你的结论. 考向三 线面角与二面角 求直线与平面所成的角的方法： (1)求直线和平面所成角的步骤： ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． (2)求线面角的技巧： 在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的 依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 求二面角大小的步骤： 简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择． 典例 5 正三棱柱 的所有棱长都相等，D 是 的中点，则直线 AD 与平面 所成角的 正弦值为 BM BN MA NC 1APC 1 1A ACC 1 1 1ABC A B C 1 1AC 1B DC 13 A． B． C． D． 【答案】B 又 ，∴AH⊥平面 ，∴∠ 为所求的线面角． 设棱长为 2，在 中由等面积法得 ， ∴ ，故选 B. 3 5 4 5 3 4 5 5 1B D CD D 1B CD ADH ACD△ 4 5 5AH  4 5 45sin 55 ADH   14 典例 6 如图，直三棱柱 的底面是边长为 2 的正三角形， 分别是 的中点. （1）证明：平面 ⊥平面 ； （2）若直线 与平面 所成的角为 45°，求三棱锥 的体积. 【解析】（1）因为三棱柱 是直三棱柱， 所以 ， 又 是正三角形 的边 的中点， 所以 ，因此 平面 ， 而 平面 ， 所以平面 平面 . （2）如图，设 的中点为 ，连接 ， 1 1 1ABC A B C ,E F 1,BC CC AEF 1 1B BCC 1AC 1 1A ABB F AEC 1 1 1ABC A B C 1AE BB E ABC BC AE BC AE  1 1B BCC AE  AEF AEF  1 1B BCC AB D 1 ,A D CD 15 4．如图，四边形 为矩形，四边形 为直角梯形， . （1）求证: ; （2）求证: 平面 ; （3）若二面角 的大小为 ,求直线 与平面 所成的角. 典例 7 已知 ABCD 是正方形，E 是 AB 的中点，将 和 分别沿 DE、CE 折起，使 AE 与 BE 重合，A、B 两点重合后记为点 P，那么二面角 的大小为________． DAE△ CBE△ P CD E  16 【答案】 设正方形 ABCD 的边长为 2， 在 中，PE=1，EF=2，∴∠PFE=30°. 【名师点睛】（1）二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点.为了解题方便，可以把其放在某一特殊位 置，这要具体问题具体分析. （2）求二面角的关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角， 即过二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直 可找到二面角的平面角或其补角. 学！ 典例 8 在 中， ，以 的中线 为折痕，将 沿 折起，如图所示， 构成二面角 ,在平面 内作 ，且 ． 30 Rt EFP△ 17 （1）求证： ∥平面 ； （2）如果二面角 的大小为 ，求二面角 的余弦值． 【解析】（1）由 得 ， 所以 为等腰直角三角形， 由 为 的中点得 ， 以 的中线 为折痕翻折后仍有 . 因为 ，所以 ∥ ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 ∥平面 ． （2）因为二面角 的大小为 ，所以平面 平面 ， 又平面 平面 , ， 18 在 中， ， 于是在 中， ． 在 中， ， 所以在 中， ． 因此二面角 的余弦值为 . 5．如图，在长方体 中， =1， ，点 E 是线段 AB 的中点. （1）求证： ； （2）求二面角 的正切值. 2 2 2 21 1 1 33 2 2 4 2BG A B BE A E     1 3312 62 2cos 322 2 3 2 BFG         6 3 1 1 1 1ABCD A B C D 1AD AA 2AB  1D E CE 1D EC D  19 1．下列命题中不正确的是 A．如果平面 α⊥平面 β，且直线 l∥平面 α，则直线 l⊥平面 β B．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β C．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β D．如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β=l，那么 l⊥γ 2．设 a，b，c 表示三条直线，α，β 表示两个平面，则下列命题中不正确的是 A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥 中， ⊥底面 ， ，则直线 与平面 所成角的大小为 A． B． C． D． 4．如图，三条相交于点 P 的线段 PA，PB，PC 两两垂直，P 在平面 ABC 外，PH⊥平面 ABC 于 H，则垂足 H 是△ABC 的 A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 c c       ∥ a b b b c c a        是 在 内的射影 b c b c c         ∥ ∥ a bb a      ∥ 20 5．如图,A,B,C,D 为空间四点,在△ABC 中,AB=2,AC=BC= ,等边三角形 ADB 以 AB 为轴旋转,当平面 ADB⊥ 平面 ABC 时,CD= A． B．2 C． D．1 6．如图，已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是 A．PB⊥AD B．平面 PAB⊥平面 PBC C．直线 BC∥平面 PAE D．直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45° 7．《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈， 问积几何？问题中“刍甍”指的是底面为矩形的屋脊状的几何体，如图 1，该几何体可由图 2 中的八边形 沿 ， 向上折起，使得 与 重合而成，设网格纸上每个小正方形的边长为 1，则此“刍 甍”中 与平面 所成角的正弦值为 A． B． C． D． 21 8．如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=3,点 E 为 AD 的中点,现分别沿 BE,CE 将△ABE,△DCE 翻折,使得点 A,D 重合于点 F,此时二面角 E-BC-F 的余弦值为 　　　　 （1） （2） A． B． C． D． 9．已知 α，β 是平面，m、n 是直线，给出下列命题： ①若 m⊥α，m⊂β，则 α⊥β； ②若 m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则 α∥β； ③如果 m⊂α，n⊄α，m，n 是异面直线，那么 n 与 α 相交； ④若 α∩β=m，n∥m，且 n⊄α，n⊄β，则 n∥α 且 n∥β. 其中命题正确的是__________． 10．如图,三棱锥 ,平面 平面 ,若 ,则△ 的形状为__________. 11．在四面体 中， 平面 ， ， ， ， ， 为棱 上一点，且平面 平面 ，则 __________. 12．如图，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥底面 ABC，∠BAC＝90°，F 是 AC 的中点，E 是 PC 上的点，且 EF⊥ BC，则 ________. 3 4 7 4 2 3 5 3 PE EC  22 13．如图所示，在四棱锥 中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当 DM ⊥________时，平面 MBD⊥平面 PCD. 14．四棱锥 中， ，且 平面 是棱 的 中点. （1）证明: 平面 ; （2）求三棱锥 的体积. P ABCD 23 15．如图，已知四边形 是正方形， 平面 ， ， ， ， ， 分别 为 ， ， 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 . 16．如图，在正方体 中，E 为棱 的中点，F 为棱 BC 的中点． （1）求证：直线 AE⊥直线 DA1； （2）在线段 AA1 上求一点 G，使得直线 AE⊥平面 DFG？并说明理由． 1 1 1 1ABCD A B C D 1 1C D 24 17．如图，已知三棱锥 P－ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D 为 AB 的中点，且 是正三角形， PA⊥PC． （1）求证：平面 PAC⊥平面 ABC； （2）求二面角 D－AP－C 的正弦值； （3）若 M 为 PB 的中点，求三棱锥 M－BCD 的体积． 18．如图,已知多面体 的底面 是边长为 2 的菱形, 底面 ,且 . （1）证明:平面 平面 ; （2）若直线 与平面 所成的角为 ,求直线 与平面 所成角的正弦值. 1．（2017 浙江）如图，已知正四面体 （所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R 分别为 AB，BC， PDB△ –D ABC 25 CA 上的点，AP=PB ， ，分别记二面角 D–PR–Q ，D–PQ–R ，D–QR–P 的平面角为 ， 则 A． B． C． D． 2．（2018 江苏）在平行六面体 中， ． 求证：（1） 平面 ； （2）平面 平面 ． 3．（2018 浙江）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，∠ABC=120°， A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． 2BQ CR QC RA    , ,                 1 1 1 1ABCD A B C D 1 1 1 1,AA AB AB B C  AB∥ 1 1A B C 1 1ABB A  1A BC 26 （Ⅰ）证明：AB1⊥平面 A1B1C1； （Ⅱ）求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值． 4．（2018 新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折 痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 . （1）证明：平面 平面 ； （2）求 与平面 所成角的正弦值. 5．（2017 新课标全国Ⅲ理科节选）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形， ∠ABD=∠CBD，AB=BD． ABCD ,E F ,AD BC DF DFC△ C P PF BF PEF  ABFD DP ABFD 27 （1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC. 6．（2016 新课标全国Ⅱ理科节选）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5，AC=6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE=CF= ，EF 交 BD 于点 H. 将△DEF 沿 EF 折到△ 的位置， . （1）证明： 平面 ABCD. 7．（2017 江苏）如图，在三棱锥 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面 ABC； 5 4 D EF 10OD  D H  A BCD 28 （2）AD⊥AC． 8．（2017 山东理科）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 （及其内部）以 边所在直线为 旋转轴旋转 得到的， 是 的中点. （1）设 是 上的一点，且 ，求 的大小； （2）当 ， 时，求二面角 的大小. ABCD AB 120 G DF P CE AP BE CBP 3AB  2AD  E AG C  29 1．【答案】D 2．【解析】（1）由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC， 所以 DE⊥AC. ￥网 所以 . 又 平面 平面 ， 所以 DE⊥平面 A1DC. 因为 A1F⊂平面 A1DC， 所以 DE⊥A1F. 又因为 平面 BCDE，DE⊂平面 BCDE， 所以 A1F⊥平面 BCDE， 又 BE⊂平面 BCDE， 所以 A1F⊥BE. （2）线段 上存在点 Q，使 ⊥平面 DEQ. 理由如下： 如图所示，分别取 A1C，A1B 的中点 P，Q，连接 DP，QE，PQ，则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC， 所以 DE∥PQ. 1DE A D DE CD , 1 1A D CD D A D  , 1A DC CD , 1A DC 1A F CD CD DE D CD  , , 1A B 1AC 30 3．【解析】（1）连接 BD，则 BD⊥AC. ∵ ， ∴MN∥AC， ∴BD⊥MN， ∵DD1⊥平面 ABCD，MN⊂平面 ABCD， ∴DD1⊥MN， ∴MN⊥平面 BDD1 B1. ∵无论 P 在 DD1 上如何移动，总有 BP⊂平面 BDD1 B1， ∴总有 MN⊥BP. （2）存在点 P，且 P 为 DD1 的中点，使得平面 APC1⊥平面 A1ACC1. 证明如下： 由题意可得 BD⊥CC1， 又 BD⊥AC，AC∩CC1=C， 31 ∴BD⊥平面 A1ACC1. 连接 ，与 的交点为 E，连接 PE，则 PE∥BD， ∴PE⊥平面 A1ACC1. 又 PE⊂平面 APC1， ∴平面 APC1⊥平面 A1ACC1. 4．【解析】（1）∵四边形 为矩形,∴ , ∴ , @网 ∵ ,∴ , ∴在直角 中, , 过 作 与 的延长线垂直, 是垂足,连接 ND， ∴在 中, , 1BD 1AC 32 ∵ 平面 平面 ,∴平面 平面 , ∴ 平面 , ∴ 是直线 与平面 所成的角, 在 中, , ∴ . 则直线 与平面 所成的角为 . 5．【解析】（1）因为 平面 ， 平面 ， 3 1sin 22 3 FNFDN DF    1DD  ABCD CE  ABCD 33 1．【答案】A 【解析】对于选项 A，l∥平面 α，l 可能在平面 β 内，l 可能与平面 β 平行，l 可能与平面 β 相交．故本 题选 A. 2．【答案】D 【解析】对于选项 D，可能还有 b∥α，或者 b 在 α 内，所以 D 不正确． 3．【答案】B 【解析】由题意可知， ⊥底面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，因为 ，所以 为等腰直角三角形，所以 ，故选 B. 4．【答案】C 【解析】连接 并延长交 于 D，连接 ， ， ∴ 平面 ，则 ， 又 平 面 ， 则 ， 又 ， ∴ 平 面 ， 则 ， 同 理 ，故垂足 H 是△ABC 的垂心,选 C． 5．【答案】B 【解析】取 AB 的中点 E,连接 DE,CE,因为△ADB 是等边三角形,所以 DE⊥AB．当平面 ADB⊥平面 ABC 时，因为平面 ADB ∩平面 ABC=AB，所以 DE⊥平面 ABC，可知 DE⊥CE.由已知可得 DE= ,EC=1， 在 Rt△DEC 中,CD= =2. 6．【答案】D 【解析】在 A 中,因为 AD 与 PB 在平面内的射影 AB 不垂直,所以不成立; 在 B 中,因为平面 PAB⊥平面 PAE,所以平面 PAB⊥平面 PBC 也不成立,所以不正确; 在 C 中,因为 BC//AD,BC 不在平面 PAD 内,AD 在平面 PAD,所以 BC//平面 PAD,所以直线 BC∥平面 PAE 也不成立,所以 C 不成立. 在 D 中，在直角三角形 PAD 中，PA=AD=2AB，所以直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°，所以是正确 的，故选 D． 7．【答案】A 【解析】如图，取 中点 ，连接 ，过点 作 平面 ，连接 ， ，则 为直线 与 平 面 所 成 的 角 ， 易 知 ， ， ， 所 以 ， ， 则 . PCA△ 34 8．【答案】B 【解析】如图所示,取 BC 的中点 P,连接 EP,FP,由题意得 BF=CF=2,所以 PF⊥BC． 9．【答案】①④ 【解析】①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确； ②中，m，n 不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确； ③中，还可能 n∥α，所以③不正确；学@ ④中，由于 n∥m，n⊄α，m⊂α，则 n∥α，同理 n∥β，所以④正确． 故填①④. 10．【答案】直角三角形 【解析】 平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 平面 ， ， ∴△ 为直角三角形，故答案为直角三角形. 35 11．【答案】 【解析】过 A 作 ,因为平面 平面 ，且平面 平面 , 平面 ， , 又 , 平面 , . 12．【答案】1 13．【答案】PC 【解析】由相关定理可知，BD⊥PC.当 DM⊥PC 时，则有 PC⊥平面 MBD. 而 PC⊂平面 PCD，所以平面 MBD⊥平面 PCD.所以应填 PC. 14．【解析】（1）如图，取 中点 ,连接 , ∵ 是 中点,∴ ,且 . 又因为 ,∴ . 又∵ ,∴ , ∴四边形 是平行四边形,∴ , 又 ,∴△ 是等边三角形, ∴ , ∵ 平面 ,∴ 平面 ,∴ , ∴ 平面 ,∴ 平面 . 36 15．【解析】（1）如图，分别取 的中点 ， 的中点 .连接 ， ， ， 因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ， ， 因为 与 平行且相等，所以 平行且等于 ， 故四边形 是平行四边形.所以 . 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）因为 平面 ， 平面 ，所以 . 1 2MH CD∥ 1 2NG AB∥ 37 因为 ， ，所以 平面 . 因为 ， 分别为 、 的中点，所以 . 所以 平面 . 因为 平面 ，所以平面 平面 . 16．【解析】（1）如图，连接 ，由正方体的性质可知， ， 又 ， ∴ ⊥平面 ， 又 平面 ， ∴ . （2）所求 G 点即为 A1 点，证明如下： 由（1）可知 ，取 CD 的中点 H，连接 AH，EH，如图， 由 ，可证 DF⊥平面 AHE， ∵AE⊂平面 AHE， ∴DF⊥AE. 又 ， ∴AE⊥平面 ，即 AE⊥平面 DFG. 17．【解析】（1）∵D 是 AB 的中点， 是正三角形，AB=20， ∴ ， 1 1AD BC, 1 1 1DA AD DA AB , 1AB AD A 1DA 1 1ABC D AE  1 1ABC D 1DA AE 1AE DA DF AH DF EH AH EH H  , , 1DF A D D 1DFA PDB△ 1= =102PD AB 38 ∴AP⊥PB． 又 AP⊥PC，PB∩PC=P， ∴AP⊥平面 PBC． 又 BC⊂平面 PBC， ∵ ， ∴ . 学! 【名师点睛】本题的题设条件有三个：① 是直角三角形， ；② 是正三角形； ③D 是 AB 的中点，PD=DB=10.解答本题（1），只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直；对于 （2），首先应找出二面角的平面角，然后求其正弦值；解答第（3）小题的关键是用等体积法求解． 18．【解析】（1）如图，连接 ,交 于点 , 设 中点为 ,连接 . 1 2 212BCM PBCS S △ △ 1 5 3 2 21 10 73M BCD D BCMV V      △ABC BC AC △PDB 39 （2）∵直线 与平面 所成的角为 , ∴ ,∴ , ∴ ,故 为等边三角形, 设 的中点为 ,如图，连接 ,则 , 40 又 ,代入(*)得 = ,∴ , 则 与平面 所成角的正弦值为 . 1．【答案】B 【解析】设 O 为三角形 ABC 中心，则 O 到 PQ 距离最小，O 到 PR 距离最大，O 到 RQ 距离居中，而三 棱锥的高相等，因此 ，所以选 B． 2．【解析】（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB∥A1B1． 因为 AB 平面 A1B1C，A1B1 平面 A1B1C， 所以 AB∥平面 A1B1C． 1 2 4 h CD        41 3 ． 【 解 析 】 （ Ⅰ ） 由 得 ， 所 以 . 故 . 由 ， 得 ， 由 得 ， 由 ，得 ，所以 ，故 . 因此 平面 . （Ⅱ）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 . 由 平面 得平面 平面 ， 1 1 1 12, 4, 2, ,AB AA BB AA AB BB AB     1 1 1 2 2AB A B  2 2 2 1 1 1 1A B AB AA  1 1 1AB A B 2BC  1 12, 1,BB CC  1 1,BB BC CC BC  1 1 5B C  2, 120AB BC ABC     2 3AC  1CC AC 1 13AC  2 2 2 1 1 1 1AB B C AC  1 1 1AB B C 1AB  1 1 1A B C 1C 1 1 1C D A B 1 1A B D AD 1AB  1 1 1A B C 1 1 1A B C  1ABB 42 4．【解析】（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以 BF⊥平面 PEF. 又 平面 ABFD，所以平面 PEF⊥平面 ABFD. （2）在平面 DEF 中，过 P 作 PH⊥EF 于点 H，连接 DH，如图， 由于 EF 为平面 ABCD 和平面 PEF 的交线，PH⊥EF， 则 PH⊥平面 ABFD，故 PH⊥DH. 则 与平面 所成的角为 . 在三棱锥 P-DEF 中，可以利用等体积法求 PH. 因为 DE∥BF 且 PF⊥BF，所以 PF⊥DE， 又△PDF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°， 所以 PF⊥PD， 由于 DE∩PD=D，则 PF⊥平面 PDE， 故 ， 因为 BF∥DA 且 BF⊥平面 PEF， BF  DP ABFD PDH 1 3F PDE PDEV PF S   △ 43 故 与平面 所成角的正弦值为 . 5．【解析】（1）由题设可得， ，从而 . 又 是直角三角形， 所以 . 取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO=AO. 又由于 是正三角形，故 . 所以 为二面角 的平面角. 在 中， . 又 ， 所以 ， 故 . 所以平面ACD⊥平面ABC. 6．【解析】（1）由已知得 ， ， 又由 得 ，故 . 因此 ，从而 . DP ABFD 3 4 ABD CBD△ ≌△ AD DC ACD△ =90ADC  ABC△ BO AC DOB D AC B  Rt AOB△ 2 2 2BO AO AB  AB BD 2 2 2 2BO DO BO AO AB BD      90DOB   AC BD AD CD AE CF AE CF AD CD AC EF∥ EF HD EF D H 44 由 ， 得 . 由 得 . 所以 ， . 于是 ， 故 . 又 ，而 ， 所以 . 7．【解析】（1）在平面 内，因为 AB⊥AD， ，所以 ． 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转 化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明 线面垂直． 8．【解析】（1）因为 ， ， ， 平面 ， ， 所以 平面 ， 又 平面 ， 所以 ， 又 ， 因此 （2）取 的中点 ，连接 ， ， . 因为 ， 5AB  6AC  2 2 4DO BO AB AO    EF AC∥ 1 4 OH AE DO AD  1OH  = =3D H DH 2 2 2 2 23 1 10D H OH D O      D H OH  D H EF  OH EF H D H ABCD  平面 ABD EF AD EF AB∥ AP BE AB BE AB AP  ABP AB AP A BE  ABP BP  ABP BE BP 120EBC   30CBP   EC H EH GH CH 120EBC   45 所以四边形 为菱形，BEHC