2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

‎2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二上学期开学考试数学试题 一、选择题 ‎1．若集合，则中元素的个数为（ ）‎ A. 3个 B. 4个 C. 1个 D. 2个 ‎【答案】B ‎【解析】 由题意得， ，‎ ‎ 又因为，所以集合中只有个元素，故选B.‎ ‎2．已知，，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得 ,所以 ,选A.‎ ‎3．设，则的值为（ ）‎ A. 0 B. ‎1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意可知，所以 ‎【考点】本小题主要考查分段函数的求值，考查学生的运算求解能力.‎ 点评：对于分段函数求值问题，只要将未知数分别代入各自的表达式中即可.‎ ‎4．已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 因为，‎ 根据余弦的二倍角公式可得，故选A.‎ ‎5．已知互相垂直的平面， 交于直线，若直线， 满足， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为互相垂直的平面交于直线，直线满足，所以或或与相交， ，因为，所以，故选C．‎ ‎【考点】线面位置关系的判定与证明．‎ ‎6．过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 根据题意得，当与直线垂直时距离最大，‎ ‎ 因为直线的斜率为，所求直线的斜率为，‎ 所以由点斜式方程得： ，化简得，故选A.‎ 点睛：本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中涉及到点到直线的距离的判断、两条直线的位置关系等知识点的考查，本题解答中根据题意，正确判断出直线的斜率的关系是解答的关键.‎ ‎7．在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知圆心（3，0）到直线y=kx的距离，解得，根据几何概型，选B.‎ ‎【点睛】直线与圆相交问题，都转化为圆心与直线的距离与半径关系。‎ ‎8．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意，框图首先给累加变量赋值为赋值，给循环变量赋值，‎ ‎ 由算法的功能是计算的值，‎ ‎ 得跳出循环的的值为，所以判断框的条件为或都可以，故选A.‎ ‎9．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A．12＋4 B．18＋8‎ C．28 D．20＋8‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底面为直角边为2的等腰直角三角形，高为4的三棱锥，所以表面积为，故选择D ‎【考点】三视图 ‎10．已知定义在上的奇函数满足，当时， ，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由题意得，因为，则，‎ 所以函数表示以为周期的周期函数，‎ 又因为为奇函数，所以，‎ 所以， ，‎ ‎，‎ 所以，故选B.‎ ‎11．四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为同一球面上，则（ ）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：连结交于点，取的中点，连结，则，所以底面，则到四棱锥的所有顶点的距离相等，即为球心，半径为,所以球的体积为，解得，故选B．‎ ‎【考点】球的内接多面体；求的体积和表面积公式．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了四面体的外接球的体积公式、球内接四棱锥的性质等知识的应用，同时考查了共定理的运用，解答值需要认真审题，注意空间思维能力的配用，解答中四棱锥的外接球是以为球心，半径为，利用体积公式列出等式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎12．设函数，若存在实数，使函数的图像关于直线对称且不等式成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：函数的对称轴为： ，所以，得成立，而的最小值为，k=0或k=-1，所以所以，故选择D ‎【考点】1．正弦函数的图象与性质；2．不等式的解法 二、填空题 ‎13．若一组样本数据4,5,7,9, 的平均数为6，则该组数据的方差__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为 ,所以方差为 ‎ ‎14．已知，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】 因为，所以，‎ ‎ 所以.‎ ‎15．已知函数的最大值为，则________．‎ ‎【答案】1或 ‎【解析】 ‎ 点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．‎ ‎16．已知函数（），其中是半径为4的圆的一条弦， 为原点， 为单位圆上的点，设函数的最小值为，当点在单位圆上运动时， 的最大值为3，则线段的长度为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，‎ 则函数，其中P为单位圆O上的点，‎ ‎∵，‎ ‎∴点A在直线MN上；‎ ‎∴函数f(x)的最小值t为点P到直线MN的距离，‎ 当tmax=3时，如图所示；‎ 线段MN的长度为.‎ 三、解答题 ‎17．已知向量， 互相垂直，其中.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若， ，求的值.‎ ‎【答案】(1) ， ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，得，求得，‎ 又根据三角函数的基本关系式，即可求解的值. ‎ ‎（2）由，可得，根据，根据两角差的正弦函数公式，即可求解的值，进而得到的值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，所以，即，‎ 又， ，所以， ‎ ‎（2）因为， ， ，‎ 从而 根据，得.‎ ‎18．某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段， ，…， ，画出如下图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：‎ ‎（1）估计这次考试中数学学科成绩的中位数；‎ ‎（2）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习.若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率.‎ ‎【答案】(1) 中位数为;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，利用中位数的计算方法，即可得到中位数的值；‎ ‎（2）列出所有的组合数，得到基本事件的个数，再根据古典概型的概率计算公式，即可求解选出的两组为“最佳组合”的概率.‎ 试题解析：‎ ‎（1）中位数在内.中位数为 ‎（2）所有的组合数：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6）‎ ‎（2,3），（2,4），（2,5），（2,6）‎ ‎（3,4），（3,5），（3,6）‎ ‎（4,5），（4,6）‎ ‎（5,6）‎ ‎，‎ 符合“最佳组合”条件的有：（1,4），（1,5），（1,6），（2,5），（2,6），（3,6）‎ ‎，所以.‎ ‎19．已知函数（， ）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.‎ ‎（1）当时，求的单调递减区间；‎ ‎（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，化简得到，根据相邻量对称轴间的距离求得函数的最小正周期，进而得到的值，根据奇函数，求解，得到函数的解析式，进而求解函数的单调区间即可；‎ ‎（2）根据三角函数的图象变换得到的解析式，根据题意求解 的取值范围，即可求解函数的值域.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可得： ，‎ 因为相邻量对称轴间的距离为，所以， ，‎ 因为函数为奇函数，所以， ， ，‎ 因为，所以，函数 ‎∵∴‎ 要使单调减，需满足， ‎ 所以函数的减区间为；‎ ‎（2）由题意可得： ‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，∴ ‎ 即函数的值域为.‎ ‎20．如图所示，矩形中， 平面， ， 为上的点，且平面.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意，利用面面垂直的性质，得，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证明平面.‎ ‎（2）由题意连接，得到，进而证得平面，在中， 的面积，利用，利用体积公式，即可求解三棱锥的体积.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵平面， ，‎ ‎∴平面，∴，‎ 又∵平面，∴，‎ 又∵，∴平面.‎ ‎（2）‎ 由题意可得， 是的中点，连接，‎ ‎∵平面，∴，又∵，‎ ‎∴是的中点，‎ ‎∴在中， ， ，‎ ‎∵平面，∴平面.‎ 在中， ,∴，‎ ‎∴‎ 点睛：本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及几何体的体积的计算等问题，此类问题的解答中正确把握空间几何体的结构特征和熟记线面位置关系的判定定理、性质定理是解答的关键，着重考查了学生的空间想象能力和逻辑推理能力.‎ ‎21．已知半径为5的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）设直线与圆相交于、两点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；（2）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数的取值范围；（3）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．‎ 试题解析：解：（1）设圆心为，由于圆与直线相切，且半径为5，所以，且，故．圆的方程： ‎ ‎（2）将代入圆的方程得，‎ ‎,即，且得．‎ ‎（3）假设存在，由于，则，所以直线方程：．‎ 由于垂直平分，故圆心必在上，所以，解得，‎ 由于，故存在实数． ‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【思路点睛】（1）设圆心为．由于圆与直线相切，且半径为5，所以 ‎ ‎，由此能求了圆的方程．（2）把直线代入圆的方程，得，由于直线交圆于两点，故，由此能求出实数的取值范围．（3）设符合条件的实数存在，则直线的斜率为，的方程为，由于垂直平分弦，故圆心必在上，由此推导出存在实数使得过点的直线垂直平分弦．‎ ‎22．已知且，函数.‎ ‎（1）求的定义域及其零点；‎ ‎（2）讨论并用函数单调性定义证明函数在定义域上的单调性；‎ ‎（3）设，当时，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 定义域为,函数的零点为-1;(2)见解析;(3) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意知求得函数 定义域为，再由，即可求解函数的零点；‎ ‎（2）根据函数的单调性的定义，即可证明函数的单调性；‎ ‎（3）由任意，存在，使得成立，得到 由（2）知当时， 在上单调递增，得到函数的最大值为，分三种情况讨论，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意知， ， ，解得，‎ 所以函数 定义域为.‎ 令，得，解得，故函数的零点为-1；‎ ‎（2）设， 是内的任意两个不相等的实数，且，则，‎ ‎∵，∴，即 所以当时， ，故在上单调递减，‎ 当时， ，故在上单调递增.‎ ‎（3）若对于任意，存在，使得成立，‎ 只需 由（2）知当时， 在上单调递增，则 ‎①当时， ， 成立 ‎②当时， 在上单调递增， ，由，解得，∴‎ ‎③当时， 在上单调递减， ，由，解得，∴‎ 综上，满足条件的的范围是.‎ 点睛：本题函数性质的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性的定义证明与判定，函数的奇偶性的应用，函数零点的概念与求解，同时考查了分类讨论思想和转化与化归思想，本题的解答中熟记函数的基本性质的概念和判定方法，合理转化恒成立与有解问题时解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.‎