2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二下学期第一次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为命题“”的否定是“”,‎ 所以命题“”的否定是，选D.‎ ‎2．复数的共轭复数是（ ）‎ A. -1 B. +1 C. -1- D. 1- ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为 ，‎ 所以复数的共轭复数是-1，选A.‎ ‎3．已知命题若，则；命题若，则.在命题①；②；③；④中真命题的序号是（ ）‎ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】是真命题， 是假命题， 是假命题，∴真命题是②③.‎ 点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.‎ ‎4．若复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，则， ‎ ‎，‎ 故选B ‎5．有一段演绎推理是这样的： “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为（ ） ‎ A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：演绎推理的错误有三种可能：一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑结构错误.要判断推理过程的错误原因，可以对推理过程的大前提和小前提及推理的整个过程，细心分析，不能得到正确的答案.‎ 在推理过程“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”中，“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线”是大前提，由线面平行的性质易得，这是一个假命题，故这个推理过程错误的原因是：大前提错误.‎ 故选A.‎ ‎【考点】归纳推理和演绎推理的基本方法.‎ ‎6．已知复数z满足，则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 ‎ 所以的最大值为3，选C.‎ ‎7．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】 ,对应点 ,位于第二象限,选B.‎ ‎8．下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆命题 B. 命题“若，则”的否命题 C. 命题“若，则”的逆否命题 D. 命题“若，则”的逆命题 ‎【答案】D ‎【解析】命题“若，则”的逆命题为“若，则”，由于 ‎ ，所以为假命题；‎ 命题“若，则”的否命题为“若，则”，由于，所以为假命题；‎ 命题“若，则”的逆否命题与原命题同真假，因为，所以为假命题；‎ 命题“若，则”的逆命题为“若，则”，因为，所以为真命题；选D.‎ ‎9．“”是“方程表示双曲线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当k>3时，k－3>0，k＋3>0，∴表示双曲线．‎ 反之，若该方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)>0，∴k>3，或k<－3.‎ 故k>3是方程表示双曲线的充分不必要条件．选A 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒ ”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒ 与非⇒非， ⇒ 与非⇒非， ⇔ 与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆ ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎10．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】B ‎【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；‎ 若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．‎ ‎11．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r ，则 ‎；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R的三棱锥，从而有S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝V.即(S1＋S2＋S3＋S4)R＝3V.所以R＝.‎ 选C.‎ ‎12．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ，则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则（ ）‎ A. 35 B. 48 C. 63 D. 80‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 ‎ 所以，选C.‎ 点睛：(一)　与数字有关的推理：解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．‎ ‎ (二)　与式子有关的推理：(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．‎ ‎(三)　与图形有关的推理：与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．‎ 二、填空题 ‎13．用反证法证明命题“若可被5整除，则中至少有一个能被5整除”，反设的内容是________.‎ ‎【答案】都不能被5整除 ‎【解析】反设的内容是：“中至少有一个能被5整除”的反面，即中没有一个能被5整除，‎ 即都不能被5整除.‎ 点睛：反证法中常见的结论和反设词 原结论词 反设词 至少有一个 一个都没有 至多有一个 至少有两个 至少有n个 至多有(n－1)个 至多有n个 至少有(n＋1)个 都是 不都是 对任意x成立 存在某个x不成立 对任意x不成立 存在某个x成立 p或q ‎ p且q p且q p或q 不都是 都是 ‎14．若“”为真命题，则实数的最大值为________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】因为“”为真命题，‎ 所以的最小值，‎ 因为为增函数，所以的最小值为，‎ 因此即实数的最大值为0.‎ ‎15．将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为_____. ‎ ‎【答案】91‎ ‎【解析】由三角形数组可推断出，第行共有项，且最后一项为，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.‎ ‎16．给出下列四个命题：‎ ‎①若，且，则；‎ ‎②设，命题“若，则”的否命题是真命题；‎ ‎③函数图象的一条对称轴是直线；‎ ‎④若定义在上的函数是奇函数，则对定义域内的任意必有．其中，所有正确命题的序号是_________________．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】①若，且，则；‎ ‎②设，命题“若，则”的否命题是“若，则”，为真命题；‎ ‎③因为，所以直线对称轴；‎ ‎④若定义在上的函数是奇函数，则对定义域内的任意必有．‎ 综上正确命题的序号是②④.‎ 三、解答题 ‎17．计算下列各式： ‎ ‎（1）； （2）‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据复数乘法法则进行运算，（2）根据复数除法法则进行运算.‎ 试题解析：（1）=；（2） ‎ ‎18．已知：实数满足，其中， ：实数满足 ‎（1）当， 且为真时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据一元二次不等式解法得p，再解方程组得q，由且 为真，得， 都真，根据交集即得实数的取值范围；（2）由是的充分不必要条件，得是的充分不必要条件，即对应的集合是对应集合的子集，根据数轴确定实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）当时， 对应的解集为， ；‎ 对应解为，因为且为真，所以， 都真， ‎ ‎（2）， 的解为， 对应解为， 是 的充分不必要条件，即，则，即对应的集合是对应集合的子集， ，所以.‎ ‎19．为何实数时，复数 在复平面内所对应的点（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）位于第四象限．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据复数概念得虚部为零，解得值，（2）根据复数概念得实部为零，解得值，（3）根据复数几何意义得实部大于零，虚部小于零，解得.‎ 试题解析：（1）若复数所对应的点在实轴上则，则；‎ ‎（2）若复数所对应的点在虚轴上则，则；‎ ‎（3）若复数所对应的点在第四象限 ‎ ‎20．已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为、（如图1），则.用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明.‎ ‎ ‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：矩形对角线类比为长方体对角线，线线角类比为线面角，等式类比为，最后根据直角三角形性质证明结论.‎ 试题解析：命题：长方体中(如图2)，对角线与棱、、所成的角分别为，则.‎ 证明：∵， ， ，‎ ‎∴.（此题答案不唯一）‎ 点睛：（1）类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；（2）类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；（3）类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移.‎ ‎21．在数列中， 且.‎ ‎（1）求出，，；‎ ‎（2）归纳猜想出数列的通项公式；‎ ‎（3）证明通项公式.‎ ‎【答案】（1）， ， （2）（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）依次代入n=1,2,3得， ， （2）根据分子规律得 1，由分母规律得 ，即得数列的通项公式；(3)利用数学归纳法进行证明，由证明 n=k+1时成立.‎ 试题解析： （1）， ， （2）（3）数学归纳法证明如下：‎ ‎（1）n=1时成立；（2）假设n=k成立，则，所以n=k+1时， ，由（1）（2）得结论成立 点睛: 用数学归纳法证明等式的策略(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值．(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．‎ ‎22．设：对任意的都有， ：存在，使，如果命题为真，命题为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：先根据恒成立得 最小值，得p，再根据方程有解得q，根据命题为真，命题为假，得一真一假，最后分类求实数的取值范围.‎ 试题解析：由题意：对于命题，∵对任意的，∴，即；对于命题，∵存在，使，‎ ‎∴,即或. ∵为真， 为假，‎ ‎∴一真一假，①真假时， , ②假真时， .‎ 综上， .‎